Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 52 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 52 (Có đáp án)

1. 4xy 1 1 Bài 1. Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Rỳt gọn A b) Tỡm x, y thỏa món 3x2 y2 2x 2y 1 0 và A 2 Bài 2 a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử x4 2016x2 2015x 2016 b) Cho A 11 155 56 với n Ơ * . Chứng minh A là số chớnh phương (n chữ số 1) (n - 1 chữ số 5) Bài 3 a) Cho a; b; c là ba số đụi một khỏc nhau thỏa món (a b c)2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tớnh giỏ trị của biểu thức P a2 2bc b2 2ac c2 2ab b) Tỡm tất cả cỏc số x, y, z nguyờn thỏa món x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z 4 0 Bài 4. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a, biết hai đường chộo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IãOM 900 (I và M khụng trựng cỏc đỉnh của hỡnh vuụng). a) Chứng minh BIO CMO và tớnh diện tớch tứ giỏc BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giỏc IMNB là hỡnh thang và BãKM BãCO . 1 1 1 c) Chứng minh CD2 AM 2 AN 2 Bài 5. Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Cỏc đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Tam giỏc đú là tam giỏc gỡ khi biểu thức a b c 2 2 2 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất? ha hb hc
2. Hướng dẫn Cõu 1 a) Rỳt gọn A 2x(x y) b) Ta cú 3x2 y2 2x 2y 1 0 2x2 2xy x2 2xy y2 2x 2y 1 0 (2x2 2xy) (x2 2xy y2 ) (2x 2y) 1 0 2x(x y) (x y)2 2(x y) 1 0 A (x y)2 2(x y) 1 2 A (x y 1)2 2 2 (x y 1)2 2 x y 1 0 (x y; y 0 ) Thay y x 1 vào A 2x(x y) ta được: x 1 2 2x x x 1 2 2x x 1 0 x 1 2x 1 0 1 x 2 Với x 1 , ta cú y 0 (loại) 1 3 Với x , ta cú y (thoả món) 2 2 1 3 Vậy x, y cần tỡm là x và y 2 2 Bài 2 a) x4 2016x2 2015x 2016 x2 x 1 x2 x 2016 b) Ta cú A 1{1 15{5 56 1{1 15{5 5 1 1{1 1 4.1{1 1 1 n n 1 n n 2n(c/s1) n(c/s1) 2 10 02 2n n 2n n n 2 1 2 3 10 1 10 1 10 4.10 4 (10 2) (n 1)cs0 4. 1 (33 34)2 9 9 9 9 9 14 2 43 (n 1)c/s3 là số chớnh phương. Bài 3 a) Ta cú a b c 2 a2 b2 c2 ab bc ac 0 a2 2bc a2 bc ac ab a a c b a c a c a b a2 a2 a2 , tương tự: a2 2bc a2 ab ac bc (a b)(a c) b2 b2 c2 c2 ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 (a b)(a c)(b c) P 1 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) b) Ta cú
3. Cỏch 1 x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z 4 0 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 2 4 Cỏch 2 Nhõn cả hai vế với 4, đưa về dạng 2x y 2 4 z 1 2 3 y 2 2 0 Cú cỏc giỏ trị x, y, z là (1;2;1) Bài 4 Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a, biết hai đường chộo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IãOM 900 (I và M khụng trựng cỏc đỉnh của hỡnh vuụng). a) Chứng minh BIO CMO và tớnh diện tớch tứ giỏc BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giỏc IMNB là hỡnh thang và BãKM BãCO . 1 1 1 c) Chứng minh CD2 AM 2 AN 2 N K B C M I 1 2 O A D a) Xột BIO và CMO cú IãBO Mã CO 450 OB OC à ả ã O1 O2 (cựng phụ với BOM ) Do đú BIO CMO (cạnh huyền-gúc nhọn), suy ra SBIO SCMO mà 1 1 S S S hay S S S S S a2 BMOI BOI BMO BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 b) Từ BIO CMO BI CM BM AM AI AM Vỡ CN / / AB IM / /BN nờn tứ giỏc IMNB là hỡnh thang BC MK AI MK Vỡ OM OI nờn IOM vuụng cõn tại O do đú BãKM IãMO 450 BãCO AB AM AD AM AD NC AD2 NC 2 c) Vỡ AB / /NC (AB AD ) NC MN NC MN AM MN AM 2 MN 2
4. AD AN AD MC AD2 MC 2 Vỡ AD / /MC MC MN AN MN AN 2 MN 2 AD2 AD2 NC 2 MC 2 MN 2 1 1 1 1 Từ đú suy ra 1 AM 2 AN 2 MN 2 MN 2 MN 2 AM 2 AN 2 AD2 CD2 Cỏch 2 N K B C M I 1 2 O A D E Qua A kẻ tia Ax vuụng gúc AN cắt CD tại E .Chứng minh ADE ABM (g.c.g) AE AM AD.NE AN.AE Ta cú ANE vuụng tại A cú AD  NE nờn S AEN 2 2 AD.NE AN.AE (AD.NE)2 (AN.AE)2 Áp dụng định lớ pitagota vào ANE ta cú AN 2 AE 2 NE 2 AD2.(AN 2 AE 2 ) AN 2.AE 2 AN 2 AE 2 1 1 1 1 AN 2.AE 2 AD2 AE 2 AN 2 AD2 1 1 1 Mà AE AM và CD AD CD2 AM 2 AN 2
5. Bài 5 A N hc x M B C D Qua C vẽ Cx song song với AB, lấy điểm D đối xứng với A qua Cx, khi đú tứ giỏc AMCN là hỡnh chữ nhật nờn AD 2NC , AC CD Xột ba điểm B, C, D, ta cú BD BC CD Theo định lý Pytago ta cú AB2 AD2 BD2 2 2 2 2 2 2 2 AB 4NC BC CD c 4hc a b 4hc a b c 2 2 2 2 Chứng minh tương tự ta cú: 4hb a c b ; 4ha b c a 2 2 a b c 4 ha hb hc a b c 4 , dấu đẳng thức xảy ra khi a b c ha hb hc