Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 55 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 55 (Có đáp án)

1. y x x2 y xy2 Bài 1. Cho biểu thức P 2 2 . 2 2 x x y xy y x y a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x y 0 và thoả mãn 2x2 2y2 5xy Bài 2 x 2 3 x 3 2 a) Giải phương trình 3 x 2 2 x 3 b a 2 a b b) Chứng minh rằng nếu a b 1 (a,b 0 ) thì a3 1 b3 1 a2b2 3 c) Tìm dư trong phép chia f x x168 x84 x43 x21 x cho x2 1 Bài 3 a) Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 b2 2 và a d b c 1 Chứng minh rằng c2 d 2 2ad 2bc 2ab 2 5125 1 b) Cho A . Chứng minh rằng A là hợp số. 525 1 p2 11p 33 c) Tìm tất cả các số nguyên tố p thoả mãn 1 p2 3 Bài 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI ở N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chu vi tứ giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC c) Tính diện tích tam giác ADI theo a khi BE 2EC d) Xác định vị trí của E trên cạnh BC để diện tích tam giác CME lớn nhất 21 21 21 Bài 5. Cho x, y, z khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn 0 . 4x 4y 4z yz xz xy Tính giá trị biểu thức A x2 2yz y2 2xz z2 2xy
2. Hướng dẫn Bài 1 x y a) ĐKXĐ: x, y 0 2 2 y x x2 y xy2 x y xy x y x y P 2 2 . 2 2 . 2 2 x x y xy y x y xy x y x y y x b) Ta có 2x2 2y2 5xy x 2y 2x y 0 x 2y (vì x y 0 2x y 0 ) 3y Khi đó ta có P 3 y Bài 2 a) ĐKXĐ: x 2 ; x 3 x 2 3 x 3 2 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 3 2 0 3 2 x 2 x 3 13 x 13 x 0 6 x 2 x 3 1 1 13 x 2 0 6 x x 6 b) Ta có 2 2 2 2 b a b4 b a4 a a b a b a b a b a b 1 a b a3 1 b3 1 a3 1 b3 1 a3b3 a3 b3 1 a3b3 a2 ab b2 1 2 2 2 2 b a a b 1 a b a b 1 a b 3 3 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 ab a b 1 1 a b 1 a b 2 2 2 2 a b 1 a b 2 2 2 b a 2 a b 1 a b 2 a b a3 1 b3 1 a2b2 3 1 a2 b2 a2b2 3 c) Đa thức dư có dạng ax b , ta có f x x 1 x 1 .Q x ax b f 1 1 1 1 1 Q x a. 1 1 a b 5 a 2 f 1 1 1 1 1 Q x a. 1 1 a b 1 b 3 Bài 3 a) Ta có c2 d 2 2ad 2bc 2ab c2 d 2 2ad 2bc 2ab 2 a2 b2 4 c2 d 2 2ad 2bc 2ab a d 2 b c 2 a b 2 4 2 a d b c 4 2 4 2 b) Đặt a5 1 525 a A a4 a3 a2 a 1 a4 9a2 1 6a3 6a 2a2 5a3 10a2 5a a 1 2 2 2 2 2 A a2 3a 1 5a a 1 2 550 3.525 1 526 525 1 550 3.525 1 535 513 A 550 3.525 1 538 513 550 3.525 1 538 513 mà mỗi thừa số đều lớn hơn 1.
3. Vậy A là hợp số. c) Ta có p2 11p 33 1 p2 11p 33 p2 3 2 p2 11p 30 0 p 2 2 p 15 0 p2 3 2 p 7,5 p 2;3;5;7 Bài 4 A a B a-x N E x I F a-x D M y C a) Ta có NE / /MF nên N· EF M· FE , do đó EIN FIM IN IM Tứ giác ENFM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác ENFM là hình chũ nhật. b) Ta có ABE ADF nên BE DF PMCE EM MC CE FM MC CE FC CE FD DC CE BE EC DC 2a Vậy chu vi tam giác CME không đổi. 1 1 1 1 1 c) Ta có BE 2EC CE BC S S . S a2 3 ACE 3 ACB 3 2 ABCD 6 AI 1 AIE vuông cân tại I nên (1) AE 2 AD 1 ADC vuông cân tại D nên (2) AC 2 AI AD Từ (1) và (2) suy ra và ·ADI ·ACE 450 nên ADI ~ ACE AE AC 2 2 SADI 1 1 a Suy ra SADI SACE SACE 2 2 12 d) Đặt CE x ; MC y (x, y 0 ) 2 2 2 2 2 2 Ta có PCEM 2a x y x y , ta có x y 2 xy ; x y 2xy x y 2xy 2 2 2 2a 2a 2a x y x y 2 xy 2xy xy 2 2 xy xy 2 2 2 2 2 1 1 2a 1 2a2 2a2 xy xy 2 SCEM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a2 2a Vậy diện tích tam giác CME lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi x y 2 2 2 2