Đề ôn luyện học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 trong thời gian tránh dịch Covid-19 – Đề số 1

Nội dung text: Đề ôn luyện học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 trong thời gian tránh dịch Covid-19 – Đề số 1

1. ĐỀ ÔN LUYỆN THỜI KỲ TRÁNH DỊCH COVID-19 – ĐỘI HSG TOÁN 10 Câu 1: (5 điểm) Đề 1 1/ Giải phương trình: a) 2x 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 2 . 3x 3 x 5 4 x 1 x 5 5 x 1 x 3 b) 3x 2. 1315 3135 5153 2/ Giải hệ phương trình: x 1 22 y x1 x y 1 y 1 xy3 a) x b) y xy 1 1 y x y1 2 x y 1 y 3 Câu 2: (5 điểm) 1/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x y x y 2. 2/ Một người đi với vận tốc 5km / h . Cứ sau 4km người ấy lại nghỉ, mỗi lần nghỉ tốn 10 phút, trừ lần 4. Lần nghỉ thứ 4 tốn 1h. Hỏi người ấy đã đi được bao nhiêu km? Biết rằng người ấy khởi hành lúc 4 giờ sáng và đến đích lúc 12h trưa. 3/ Cho ABC nhọn có BAC600 , BC 2 3 cm . Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm. Câu 3: (5 điểm) 1/ Cho a,, b c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 3. Tìm GTLN của biểu thức: P a2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 . 22 2/ Cho các số ab, 0 thỏa mãn điều kiện a b a b. Chứng minh rằng: 10 3 ab2. 2 Câu 4: (5 điểm) 1/ Cho ABC nội tiếp đường tròn O . Qua ABC,,vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt đường tròn tại ABC1,, 1 1 . Gọi các điểm HHH1,, 2 3 là trực tâm các tam giác A1 BC,,. AB 1 C ABC 1 Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng. 2/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi N là trung điểm của DC và lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho 1 AM AC. Tính diện tích tam giác BMN và độ dài đoạn thẳng CI với I là giao điểm của BN và AC. 4 3/ Cho hình thang AB CD . Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AC và BD. Lấy trung điểm cạnh là điểm M. Đường tròn AOD cắt lại đường tròn BOC tại điểm K. Chứng minh rằng KOC MOD. HẾT./. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu).