Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 (Có hướng dẫn giải)

1. ĐỀ ÔN TẬP. 4 x 8x x 1 2 Bài 1. Cho biểu thức: P : 2 x 4 x x 2 x x a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P 1 . c) Tìm m để với mọi giá trị x 9 ta có: m( x 3)P x 1 Bài 2. Cho phương trình: x(m2 là2 (thamm 1 số).)x m2 m 1 0 1) Giải phương trình với .m 0 1 1 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 4 . x1 x2 Bài 3. Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: 1 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 . 4 3 b) Cho đường thẳng (D): y x m đi qua điểm C(6; 7). Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P). 2 Bài 5. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. b) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo C·SD . c) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. d) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng , khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 x y x y y 1 . HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG 1 Ta có: x 2 x x( x 2) x 0 x 0 x 0 ĐKXĐ: 4 x 0 x 4 x 2 0 1
2. 4 x 8x x 1 2 Với x > 0 và x 4 ta có: P : 2 x 4 x x 2 x x 4 x x 2 8x x 1 2 x 2 : x 2 x 2 x x 2 4x 8 x 8x x 1 2 x 4 : x 2 x 2 x x 2 4 x 8 x x 3 : ( Đk: x 9) x 2 x 2 x x 2 4 x x 2 x x 2  x 2 x 2 3 x 4 x x x 2  x 2 3 x 4 x x x 2 3 x x 2 4 x x 3 4x Với x > 0 ,x 4, x 9 thì: P x 3 4x P 1 1( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 4x 3 x 4x 3 x 0 Đặt x y đk y > 0 Ta có phương trình: 4y2 y 3 0 . Các hệ số: a b c 4 1 3 0 c 3 y 1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), y ( thoả mãn ĐKXĐ 1 2 a 4 y > 0) 3 9 Với y x thì x ( thoả mãn đkxđ) 4 16 9 Vậy với x thì P 1 16 2
3. m x 3 P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 ) 4 x x 1 m x 3 x 1 m  4 x x 1 m x 3 4 x ( Do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 Xét Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) 4 x 4 x 4 x 4 4 x 1 1 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì x 9 nhỏ hơn) 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 x 3 6 4 4 x 4 3 6 4 4 x 1 8 5 x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trên ta có : m x 1 18 m 4x 5 Kết luận: Với m , x 9 thì m x 3 P x 1 18 2 x2 2(m 1)x m2 m 1 0 (1) Với m = 0, phương trình (1) trở thành: x2 2x 1 0 Ta có: b 2 ac 1 2 1 1 1 1 2 0 2 b 1 2 x 1 2 1 a 1 b 1 2 x 1 2 2 a 1 Vậy với m = 0 thì nghiệm của phương trình (1) là x1,2 1 2 . ' m 2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 2 x1 x2 2(m 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x1x2 m m 1 Do đó: 1 1 x1 x2 2(m 1) 4 4 2 4 x1 x2 x1x2 m m 1 2 2 m 1 m m 1 0 m m 1 0 3 m 1 2(m2 m 1) 2m2 m 3 0 m 2 3 Kết hợp với điều kiện m 1;  là các giá trị cần tìm. 2 3
4. HƯỚNG DẪN GIẢI. Các quá trình Quãng đường Vận tốc Thời gian 1 80 km x km / h 80 h x 2 20 20 km x 15 km / h h x 15 3 60 60 km x 10 km / h h x 10 Thời gian dự định bằng thời gian đi đoạn đường đầu cộng thời gian đi đoạn đường sau: 80 20 60 x x 15 x 15 3 Gọi vận tốc dự định của người đi xe ô t ô khi đi từ A đến B là: x km / h , x 15 . 80 Thời gian dự định của người đi xe ô t ô khi đi từ A đến B là: h x 1 M ột ph ần t ư quãng đường đ ầu: 80 20 km 4 Vận tốc của người đi xe ô tô khi đi tr ên qu ãng đ ư ờng đầu: x 15 km / h 20 Thời gian của người đi xe ô t ô tr ên đo ạn đ ư ờng đ ầu là: h x 15 Quãng đường còn lại xe ô tô phải chạy: 80 20 60 km . Vận tốc của người đi xe ô tô khi đi tr ên qu ãng đ ư ờng c òn l ại: x 10 km / h 60 Thời gian của người đi xe ô t ô tr ên đo ạn đ ư ờng sau: h x 10 80 20 20 4 1 3 Nên: 1 x x 15 x 10 x x 15 x 10 Điều kiện: x 10, x 0, x 15 MTC: x x 15 x 10 Qui đồng và khử mẫu: 4 x 15 x 10 x x 10 3x x 15 80x 160 80x 4x2 3x2 6x x2 6x 160 0 Ta có: b 2 ac 32 1 160 9 160 169 0 169 13 b 3 13 x 10 (thỏa mãn điều kiện) 1 a 1 b 3 13 x 16 0 (không thỏa mãn điều kiện) 2 a 1 Vậy vận tốc d ự đ ịnh c ủa ng ư ời đi xe đạp là 10 km/h. 4 x 15 x 10 x 4x 35 15x 600 x = 40 (thoả mãn điều kiện). 4
5. 80 Từ đó thời gian dự định của xe là 2 giờ. 40 4 Lập bảng giá trị: x – 4 – 2 0 2 4 1 y x2 4 1 0 1 4 4 (P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4). y 4 2 1 -4 -2 O 2 4 x Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có: 3 6 m 7 m 2 2 3 (D) : y x 2 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): 1 3 x2 x 2 x2 6x 8 0 4 2 Giải được x1 = 4; x2 = 2 Với x1 = 4 thì y1 = 4 Với x2 = 2 thì y2 = 1 Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1). 5 Hình vẽ C N B K M H A O E S F D 5
6. SD, SC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OD ⊥ SD, OC ⊥ SD ⇒ D, C thuộc đường tròn đường kính SO (1) H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB⇒ ⇒S·H HO thuộc 900 đường tròn đường kính SO (2) Từ (1) và (2) suy ra: C, D, H, O, S cùng thuộc đường tròn đường kính SO. Tam giác SDO có: SO2 = SD2 + DO2 ⇒ SD2 = SO2 – DO2 = 4R2 – R2 = 3R2 ⇒ SD R 3 DO 1 sin D· SO D· SO 300 từ đó C·SD 600 (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) SO 2 Ta có S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn (câu 1) nên SHOD là tứ giác nội tiếp. 1 Suy ra: A·H D S·O D C·O D (cùng chắn cung SD) (1) 2 · · · 1 » 1 · Lại có AKD SCD (đồng vị, AN // SC) nên AK D sđ C D sđ C O D (2) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra A·HD A·KD ⇒ ADHK là tứ giác nội tiếp. Gọi M là giao điểm của BK và SC, N là giao điểm của AK với BC. Ta có: K·HA C· BS (Vì cùng bằng C·AD ) ⇒ HK // BC, mà H là trung điểm AB nên K là trung điểm AN. Suy ra: AK = KN. AK KN Ta có: (Talet đảo, AN // SC), mà AK = KN nên SM = CM hay M là SM CM trung điểm của SC. Vậy BK đi qua trung điểm M của đoạn thẳng SC. · 1 · 1 » · · · Ta có AOH AOB sđAB EDF ⇒ FED HAO 2 2 1 1 1 Lại có: B· FE D· EF H·AO Suy ra B·FD H·AO 900 2 2 2 1 1 Suy ra B·FA 1800 H·AO 900 900 H·AO (không đổi vì A, B, O cố 2 2 định) Vậy F nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi nên F luôn thuộc một đường tròn cố định. 6 ĐK: y > 0 ; x R. Ta có: P x2 x y x y y 1 2 y 1 3y y 3 x2 x y 1 4 4 2 4 1 x = 2 2 y 1 3 1 2 2 3 x y . Dấu “=” xảy ra . 1 2 4 3 3 3 2 y = Suy ra: Min P = . 9 3 6