Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 31 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 31 (Có đáp án)

1. ĐỀ ễN TẬP 31. x2 x 2x x 2(x 1) Bài 1. Cho biểu thức: P với 0 x 1 . x x 1 x x 1 a) Rỳt gọn biểu thức P. b) Tỡm x để biểu thức P đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài 2. Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: x4 3x2 – 4 0 Bài 3. Hai người thợ cựng làm một cụng việc trong 9 ngày thỡ xong. Mỗi ngày, lượng cụng việc của người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng cụng việc của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mỡnh thỡ mỗi người làm xong cụng việc đú trong bao nhiờu ngày? Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (vàP) đường: y = x2 thẳng (d): y = 2(m- 1)x - m2 + 3m . a) Với m = 3 , tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) . b) Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của 7 hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng . 4 Bài 5. Cho đường trũn (O; R) cú đường kớnh AB cố định. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC R . Qua C kẻ đường thẳng d vuụng gúc với CA. Lấy điểm M bất kỳ trờn đường trũn (O) khụng trựng với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là Q. a) Chứng minh tứ giỏc ACPM là tứ giỏc nội tiếp. b) Chứng minh tớch BM.BP khụng đổi. c) Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song. d) Chứng minh trọng tõm G của tam giỏc CMB luụn nằm trờn một đường trũn cố định khi điểm M thay đổi trờn đường trũn (O). Bài 6. Xột cỏc số thực a;b;c (a 0) sao cho phương trỡnh bậc hai ax2 bx c 0 cú hai nghiệm m;n thỏa món: 0 m 1;0 n 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 1
2. 2a2 ac 2ab bc Q . a2 ab ac HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI NỘI DUNG 1 a) Rỳt gọn biểu thức P. Với 0 x 1 ta cú: x2 x x( x 1)(x x 1) x( x 1) x x x x 1 x x 1 2x x x(2 x 1) 2 x 1 x x 2(x 1) 2( x 1)( x 1) 2( x 1) x 1 x 1 P (x x) (2 x 1) 2( x 1) x x 1 Kết luận: P x x 1, 0 x 1 b) Tỡm x để biểu thức P đạt giỏ trị nhỏ nhất. Với 0 x 1 ta cú: 1 3 3 P x x 1 ( x )2 2 4 4 1 1 Dấu ‘=’ xóy ra khi và chỉ khi x 0 x 2 4 1 Kết luận: P đạt giỏ trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x . 4 2 Đặt : t x2 ,t0 x2 = y, y 0. Khi đú phương trỡnh đó cho cú dạng: y2 + 3y – 4 = 0 (1). 2
3. Phương trỡnh (1) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 nờn (1) cú hai nghiệm y 1 = 1; y2 = - 4. Do y 0 nờn chỉ cú y1 = 1 thỏa món. Với y1 = 1 ta tớnh được x = 1. Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 1. 3 Gọi thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mỡnh xong việc lần lượt là x (ngày) và y (ngày). ĐK: x, y > 9. 1 1 Mỗi ngày: người thứ nhất làm được cụng việc, người thứ hai làm được cụng x y 1 việc, hai người cựng làm được cụng việc. 9 1 1 1 Ta cú phương trỡnh: (1) x y 9 Vỡ mỗi ngày, lượng cụng việc của người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng cụng việc của người thứ nhất nờn ta cú phương trỡnh: 1 3 (2) y x Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh: 1 1 1 1 3 1 4 1 x y 9 x x 9 x 9 x 36 1 3 1 3 1 3 y 12 y x y x y x Vậy nếu làm một mỡnh thỡ người thợ thứ nhất cần 36 ngày, người thợ thứ hai cần 12 ngày để làm xong cụng việc. 4 Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 = 2(m- 1)x - m2 + 3m Û x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 (1) ộx = 0 a) Với m = 3 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 - 4x = 0 Û ờ ởờx = 4 Thay x = 0, x = 4 lần lượt vào phương trỡnh của parabol (taP )được: y = x2 3
4. y = 0, y = 16 . Vậy với m = 3 thỡ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A(0;0), B(4;16) . Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều 7 rộng của hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng thỡ phương trỡnh (1) phải cú hai 4 7 nghiệm dương phõn biệt x , x và thỏa món x .x = . 1 2 1 2 4 Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm dương phõn biệt ỡ 2 2 ỡ Â ù (m- 1) - (m - 3m)> 0 ùỡ ù D > 0 ù ù m + 1> 0 ù ù ù ùỡ m > 1 Û ớ x1 + x2 > 0 Û ớ 2(m- 1)> 0 Û ớ m > 1 Û ớ Û m > 3(*) ù ù ù ùợ m > 3 ù > ù 2 ù ợù x1x2 0 ù m - 3m > 0 ù m(m- 3)> 0 ợù ợ Ta cú: ộ 7 ờm = (thỏa mãn (*)) 7 2 7 2 ờ 2 x .x = Û m - 3m = Û 4m - 12m- 7 = 0 Û ờ 1 2 4 4 ờ 1 ờm = - (không thỏa mãn (*)) ởờ 2 7 Vậy m = là giỏ trị cần tỡm. 2 4
5. 5 Hỡnh vẽ d P N M G C A K E O B Q Ta cú ãACP 900 (do d  CA). (1) ãAMB 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) ãAMP 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra ãACP ãAMP 1800 KL: tứ giỏc ACPM nội tiếp. Xột hai tam giỏc vuụng BMA và BCP cú Bà chung nờn BMA ∽ BCP ( g - g) BM BA BM.BP BA.BC BC BP Mà BA 2R, BC 3R nờn BM.BP 2R.3R 6R2. Vậy BM.BP 6R2. khụng đổi Chứng minh được CãPA CãMA Chứng minh được CãMA Nã QA Suy ra được CãPA Nã QA 5
6. KL: PC // NQ. Gọi E là trung điểm của CB suy ra E cố định. EO EG 1 Ta cú , suy ra GO // MB . EB EM 3 Qua G kẻ GK // MA. EK EG 1 Ta cú EA EM 3 Suy ra K cố định. 6 b m n 2 a ax bx c 0 a 0 cúm m;n nờ: a 0 nờn: c mn a b c 2 1 2 2a ac 2ab bc (a b)(2a c) a a (1 m n)(2 mn) Q a2 ab ac a2 ab ac b c 1 m n mn 1 a a Vỡ 0 m 1;0 n 1 mn m ; mn n ; mn 1 ; 1 m n 0 1 2 mn 1 ; mn (1 m n) 3 1 m n 1 3 Q 1 1 1 m n (1 m n) 1 4 3 3 b 3 b m n 1 a c . Vậy minQ a c 2 4 2 6