›
›
›

Chuyên đề toán thực tế - Đại số - Chương I: Các bài toán thực tế số học và đại số chương trình đánh giá học sinh quốc tế Pisa

doc 89 trang thaodu 3410
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề toán thực tế - Đại số - Chương I: Các bài toán thực tế số học và đại số chương trình đánh giá học sinh quốc tế Pisa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_toan_thuc_te_dai_so_chuong_i_cac_bai_toan_thuc_te.doc

Nội dung text: Chuyên đề toán thực tế - Đại số - Chương I: Các bài toán thực tế số học và đại số chương trình đánh giá học sinh quốc tế Pisa

  1. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Chương I CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ PISA A. VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Toán 9+ Tuyển sinh 10 link tải xem thử Bắt đầu từ một vấn đề thực tế Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan. Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa. Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học. Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định những hạn chế của lời giải. Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu Có thể minh họa phương pháp giải như hình vẽ 5 Lời giải thực tế Lời giải toán học 5 4 1,2,3 Vấn đề thực tế Vấn đề toán học Thế giới hiện thực Thế giới toán học Ví dụ 1 (Ván trượt) Eric là một người rất thích môn trượt ván. Anh ấy đến một cửa hàng có tên là SKATER để xem giá cả của các loại ván trượt. Ở cửa hàng này bạn có thể mua ván trượt hoàn chỉnh hoặc có thể mua các bộ phận rời của nó: thân ván, một bộ phận 4 bánh xe, 2 trục, 1 bộ các chi tiết đi kèm (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông và các đai ốc) và tự lắp cho mình một cái ván trượt. Sau đây là bảng giá của cửa hàng (Hình vẽ). Bảng giá của cửa hàng Các mặt hàng Gía (zed) Ván trượt hoàn chỉnh 82 hoặc 84 Thân ván 40, 60 hoặc 65 Một bộ 4 bánh xe 14 hoặc 36 1.
  2. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Một bộ gồm 2 trục 16 Một bộ các chi tiết 10 hoặc 20 (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông, đai ốc) Câu hỏi Eric có 120 zeds và muốn mua một ván trượt tốt nhất tỏng khả năng có thể. Eric có thể trả bao nhiêu tiền cho mỗi bộ phận của ván trượt. Hãy viết câu trả lời vào bảng dưới đây: Bảng liệt kê số tiền Eric trả khi mua các bô phận của ván trượt Bộ phận Số tiền (Zeds) Thân ván Một bộ 4 bánh xe Một bộ gồm 2 trục Một bộ các chi tiết (vòng bi, miếng đệm cao su, bu – lông, đai ốc) Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu Ta có những phân tích sau đối với bài toán: Vấn đề được đặt ra là chọn mua ván trượt có chất lượng tốt nhất. Đây là tình huống thực tế, thực sự phản ánh thực tế cuộc sống hàng ngày của nhiều Học sinh vì hầu hết chỉ có một lượng tiền nhất định để chi tiêu và muốn mua ván trượt chất lượng tốt nhất với số tiền mình có. Đối với những học sinh không quen với ván trượt thì các hình ảnh được đưa ra để cung cấp thêm các thông tin cần thiết. Có 4 thành phần cho một chiếc ván trượt và học sinh phải lựa chọn 3 trong số 4 thành phần đó (vì chỉ có một mức giá cho một bộ trục). Học sinh có thể dễ dàng xác định các số tiền để mua khi thay đổi các thành phần và so sánh nó với số tiền ban đầu. Có thể xây dựng bản tính ban đầu như sau: Thân ván 40 60 65 Một bộ 4 bánh xe 14 36 Một bộ gồm 2 trục 16 Một bộ các chi tiết 10 20 Tổng số tiền Eric có 120 Cần tìm 4 số mà tổng tối đa của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 120. Những hạn chế đối với những con số là: số đầu tiên là 40, 60 hoặc 65; số thứ hai là 14 hoặc 36; số thứ ba là 16; số thứ tư là 10 hoặc 20. Bài toán có thể được diễn đạt dưới dạng ngôn ngữ toán học như sau: Tìm 3 số a,b,c là số tự nhiên khác 0 biết rằng a + b + 16 + c £ 120 (hay a + b + c £ 104 ) với điều kiện a ¹ 0,b ¹ 0,c ¹ 0 và a Î { 40;60;65} ,b Î {14; 36} ,c Î {10;20} . Từ đây ta có lời giải bài toán: Cách 1: 2.
  3. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Học sinh sử dụng phuong pháp liệt kê được phương án có thể: 40 14 16 10 60 14 16 10 65 14 16 10 40 36 16 10 60 36 16 10 65 36 16 20 40 14 16 20 60 14 16 20 65 14 16 20 40 36 16 20 60 36 16 20 65 36 16 20 Và tính tổng của chúng để tìm ra phương án phù hợp là (65,14,16,20) . Tuy nhiên cách này mất nhiều thời gian vậy có cách nào đỡ tốn thời gian hơn không? Giáo viên có thể gợi ý học sinh tính số tiền nhiều nhất phải bỏ ra và tìm các phương án giảm giá thành. Cách 2: Có thể thấy rằng ván trượt tốt nhất có giá: 65 + 36 + 16 + 20 = 137 là quá nhiều so với số tiền ta có nên cần lựa chọn phương án khác. Cần giảm giá thành xuống ít nhất 17 zeds. Có những khả năng sau để có thể giảm giá thành: Thân ván: Có thể giảm 5 hoặc 25 zeds Một bộ trục 4 bánh xe: có thể giảm 22 zeds Trục: không giảm được gì Các chi tiết: giảm 10 zeds Danh sách trên làm ta thấy được phương pháp rõ ràng đó là giảm lượng tiền mua bánh xe Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu thì tổng số tiền mua sẽ là 115 zeds và là phương án tối ưu nhất. So sánh hai cách làm ta thấy điều phải liệt kê khả năng xảy ra nhưng cách giải quyết sau ngắn gọn, giúp ta tìm thấy được ngay lời giải tối ưu và đây cũng là một cách làm có thể áp dụng trong nhiều tình huống khác trong thực tế cuộc sống. Như vậy khi giải quyết một bài toán cần suy nghĩ đến tất cả những giải pháp có thể, đánh giá để tìm được giải pháp tối ưu nhất về một ý nghĩa nào đó (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức, ) Qua các bước trên ta thấy rằng phương án tốt nhất tìm được là (65,14,16,20 .) Tuy nhiên bài toán trên cũng cho thấy một thực tế rằng giữa lý thuyết và thực tế có những khác biệt nhất định. Cụ thể là ở ví dụ này với lập luận thích hợp, một trong những giải pháp đưa ra ở trên (40, 36,16,20) có thể được coi là “tốt hơn” ví dụ học sinh có thể lập luận rằng đối với một chiếc ván trượt có bộ bánh xe chất lượng tốt là vấn đề quan trọng hơn cả. Ví dụ 2 (Nhịp tim) 3.
  4. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Vì lý do sức khỏe, người ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ như trong thể thao nhịp tim không vượt quá tần số nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức sau: Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220- tuoi Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu Nghiên cứu gần thấy cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút. Công thức mới như sau: Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 - (0, 7xtuoi) Câu hỏi 1 Hoàn thiện bảng sau về nhịp tim tối đa được khuyến cáo: Bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo Tuổi (theo năm) 9 12 15 18 21 24 Nhịp tim tối đa được khuyến cáo 211 208 205 202 199 196 (công thức cũ) Nhịp tim tối đa được khuyến cáo 201,7 197,5 195,4 191,2 (công thức mới) Câu hỏi 2 Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao nhiêu? Câu hỏi 3 Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi. Câu hỏi 4 Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là 80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi. Câu hỏi 5 Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng. Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức khỏe con người. Để làm được bài toán này, học sinh cần phải chuyển được những thông tin đã cho trong đề bài thành phương trình đại số (hay hàm số), biết vận dụng các kỹ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra. Cụ thể là: Câu 1 chỉ yêu cầu học sinh kỹ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trước. Câu 2 đòi hỏi học sinh phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới lần lượt là hai hàm số f (x) = 220- x và g(x) = 208 - 0, 7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút và x đại diện cho tuổi tính theo năm. Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại một điểm. Học sinh có thể tìm ra được điểm này bằng cách giải phương trình 4.
  5. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu 220- x = 208 - 0, 7x . Hoặc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để suy ra là x = 40 và y = 180 . Nội dung của câu 3, 4 thực chất ứng với kỹ năng rút gọn biểu thức. Đó là rút gọn: 220- x - (208 - 0, 7x) và 0, 8(208 - 0, 7x) . Câu 5 sẽ được giải quyết dễ dàng nếu học sinh biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ (Hình vẽ). Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi x > 40 ta có đồ thị hàm f (x) = 220- x nằm phía dưới đồ thị hàm g(x) = 208 - 0, 7x và khi x < 40 thì đồ thị hàm f (x) = 220- x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 - 0, 7x . Điều đó có nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40. Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới Bài toán trên minh họa cho những lợi ích của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. Học sinh phải kết hợp nhiều kỹ năng đã học: kỹ năng xây dựng hàm số, kỹ năng rút gọn biểu thức, kỹ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị Ví dụ 3 (Gía sách) 5.
  6. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 1 2cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít. Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách? Ta có những phân tích sau đối với bài toán: Vấn đề đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra. Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14. Chúng ta có theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là 26, 33, 200, 20, 510. Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc có thể làm được bao nhiêu cái giá sách?” thành một vấn đề toán học. Đó có thể là tìm bội số lớn nhất của tập đầu tiên (4, 6, 12, 2 và 14) thỏa mãn tập còn lại (26, 33, 200, 20, 510). Từ đó học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm k là số tự nhiên lớn nhất (k ¹ 0) đồng thời thỏa mãn các điều kiện 4k £ 26, 6k £ 33,12k £ 200,2k £ 20,14k £ 510 (hay nói cách khác là k là số tự nhiên lớn nhất thỏa 26 33 200 20 510 mãn đồng thời các điều kiện: k £ ,k £ ,k £ ,k £ ,k £ ,k ¹ 0 ). 4 6 12 2 14 Từ đây ta có lời giải bài toán: Cách 1 Học sinh có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo bảng dưới đây: (4 6 12 2 14) cho 1 cái giá (8 12 24 4 28) cho 2 cái giá (12 18 36 6 42) cho 3 cái giá (16 24 48 8 56) cho 4 cái giá (20 30 60 10 70) cho 5 cái giá (24 36 72 12 84) chi 6 cái giá Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập còn lại. Ở bài toán trên, học sinh sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 cái giá sách. Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số rất lớn thì cách này không khả thi. Vậy còn cách nào khác không? Cách 2 26 Học sinh có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo sự ước tính: = 6 + soconlai, 4 33 200 20 510 = 5 + soconlai , các tỉ số ; ; đều lớn hơn hoặc bằng 10 . Vậy câu trả lời là 5 . 6 12 2 14 6.
  7. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu Ví dụ 4 Xây dựng những hình khối: Susan thích xếp những khối hình từ những khối lập phương nhỏ như hình 1 dưới đây: Hình 1 Susan có rất nhiều những hình khối lập phương nhỏ như thế. Bạn ấy sử dụng keo để gắn các hình khối với nhau để được những hình khối khác. Bạn ấy đã gắn 8 khối lập phương để được một khối như hình 2. Hình 2 Câu hỏi 1 Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 3? Hình 3 Câu hỏi 2 Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 4? Hình 4 Câu hỏi 3 Susan nhận ra rằng bạn ấy đã sử dụng nhiều các khối lập phương nhỏ hơn mức cần thiết để làm được hình khối như trong hình 2. Bạn ấy thấy có thể dán các khối nhỏ để được một khối trông giống như hình 2 nhưng rỗng bên trong. Em có biết số lượng tối thiểu các khối lập phương nhỏ mà bạn ấy cần để làm được hình khối như hình 2 nhưng rỗng bên trong là bao nhiêu không? Câu hỏi 4 Bây giờ Susan muốn làm một hình khối trông giống như một hình khối đặc có độ dài là 6 khối lập phương nhỏ, chiều rộng là 5 khối lập phương nhỏ và chiều cao là khối4 lập phương nhỏ. Bạn ấy muốn dùng ít nhất các khối lập phương nhỏ bằng cách để lỗ rỗng lớn nhất có thể ở bên trong hình khối này. Số tối thiểu các khối lâp phương nhỏ mà Susan cần dùng để làm hình khối như trên là bao nhiêu? Bài toán trên gồm một loại câu hỏi khai thác những kiến thức về thể tích của hình hộp chữ nhật tuy nhiên các kiến thức toán học không được đưa ra một cách tường minh mà ẩn giấu 7.
  8. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Liên hệ nhóm Thư Viện Tài Liệu qua Zalo 0988 166 193 để tư vấn tài liệu dưới một loạt tình huống xảy ra trong thực tế mà học sinh có thể quan sát được. Để giải quyết được bài tập học sinh cần phải hiểu được những kiến thức toán học ẩn dấu bên trong tình huống đưa ra là gì. Nếu chưa thể hiểu ngay được thực chất yêu cầu thì với câu 1 một cách tự nhiên là học sinh sẽ tìm cách để đếm các khối lập phương nhỏ. Ở hình 1 có 2 lớp khối lập phương mỗi lớp có 2x3 6 khối lập phương nhỏ. Vậy tổng số khối lập phương sẽ là 6x2 12 khối. Ở hình 2 với cách tính tương tự ta cũng tính được số khối lập phương cần thiết sẽ là 27 khối. GV có thể đưa ra câu hỏi: Vậy để tính được số khối lập phương cần thiết cho một khối hình hộp chữ nhật bất kì ta có thể làm thế nào? Dựa trên việc so sánh cách làm ở mỗi ví dụ, học sinh sẽ có thể nhận xét là về mặt thực chất ta có thể tính số lượng khối lập phương cần có thông qua tính thể tích hình hộp chữ nhật với mỗi khối lập phương nhỏ có thể hiểu là hình lập phương đơn vị. Đây cũng có thể là một cách xây dựng cách tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương rất tự nhiên. Câu 3, 4 là câu hỏi đòi hỏi vận dụng sâu hơn. Với hình vẽ trực quan học sinh có thể tính được ngay số khối lập phương tối thiểu ở câu 3 là 26 khối. Tuy nhiên mức độ khó tăng lên ở câu 4, học sinh không thể dựa trên hình vẽ trực quan nữa vì vậy GV có thể có những gợi ý để giúp học sinh tìm được cách làm. Cụ thể có thể coi hình cần xây dựng gồm 4 lớp mà mỗi lớp gồm có 5x6 = 30 khối lập phương nhỏ. Vậy ta có thể bỏ bớt các khối lập phương nhỏ ở lớp nào mà không làm ảnh hưởng đến hình dạng bên ngoài của khối? Câu trả lời là chỉ có thể bỏ các khối lập phương nhỏ nằm ở các lớp giữa trừ các khối bao quanh. Vậy số khối lập phương có thể bỏ bớt ở lớp thứ 2 là bao nhiêu? (12 khối). Từ đó tính được số lượng khối lập phương cần thiết là: 6x5x4 - 12x2 = 96 khối. B. LỜI BÌNH Pisa được xây dựng bởi các nhà khoa học có uy tín ở các nước phát triển nên đảm bảo tính chính xác. Nhiều nội dung của Pisa hoàn toàn áp dụng được trong chương trình Trung học cơ sở ở nước ta. Học sinh thông qua các nội dung của Pisa sẽ thấy được mối liên hệ giữa ứng dụng của toán học và thực tiễn cuộc sống. Học sinh cảm thấy thích thú hang say học toán hơn rất nhiều so với việc học các kiến thức toán học trừu tượng, khô khan. Pisa giúp học sinh thấy toán học thật sự hấp dẫn, thật sự bổ ích. Pisa kích thích lòng ham mê, học tập của các em học sinh. Với các câu hỏi đa dạng, phong phú, phù hợp với nhiều mức độ trình độ học sinh khác nhau, Pisa giúp giáo viên đánh giá đầy đủ được năng lực, tư duy, năng lực ngôn ngữ, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của học sinh. Pisa chính là tài liệu quan trọng và cần thiết cho việc dạy và học toán ở bậc Trung học cơ sở ở nước ta hiện nay. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán 1 (Tỉ giá) Mei – Ling từ Singapore đang chuẩn bị đến Nam Phi theo chương trình trao đổi sinh viên. Cô ấy cần đổi một số đô la Singapore (SGD) thành đồng rand Nam Phi (ZAR). Câu hỏi 1 8.
  9. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Mei – Ling biết rằng tỉ giá giữa đô la Singapore và đồng rand Nam Phi là: 1SGD = 4,2ZAR. Mei – Ling muốn đổi đô30 0la0 Singapore thành đồng rand Nam Phi với tỉ giá trên. Mei – Ling đổi được bao nhiêu đồng rand Nam Phi? Câu hỏi 2 Quay trở lại Singapore sau 3 tháng, Mei – Ling còn 3900ZAR . Cô ấy muốn đổi thành đô la Singapore và tỉ giá lúc này là: 1SGD = 4ZAR . Mei – Ling đổi được bao nhiêu đô la Singapore? Câu hỏi 3 Trong 3 tháng, tỉ giá đã thay đổi từ xuống4,2 4Z AchoR mỗi S .G MeiD – Ling có lợi không khi cô đổi đồng rand Nam Phi thành đô la Singapore? Hãy đưa ra lời giải thích cho câu trả lời của bạn. Bài toán 2 (Trò chuyện qua Internet) Mark (từ Sydney, Australia) và Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên trao đổi với nhau bằng cách sử dụng “Chat” trên Internet. Để có thể trò chuyện, họ phải đăng nhập cùng một lúc vào mạng. Để tìm thời điểm thích hợp, Mark tìm ở bảng múi giờ quốc tế (Hình vẽ) và thấy như sau: Bảng múi giờ quốc tế Greenwich 12 Nửa đêm Berlin 1:00 AM Sydney 10:00 AM Câu hỏi 1 Khi ở Sydney là 7 giờ chiều thì ở Berlin là mấy giờ? Câu hỏi 2 Mark và Hans không thể liên lạc với nhau vào khoảng thời gian từ 9 giờ sang đến 4 giờ 30 phút buổi chiều (giờ địa phương) vì họ phải đi học. Ngoài ra, từ 11 giờ tối đến 7:00 sáng (giờ địa phương) họ cũng thể trò chuyện vì đó là giờ đi ngủ. Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyện với nhau? Hãy viết giờ địa phương vào bảng dưới đây: Địa điểm Thời gian Sydney Berlin Bài toán 3 Bạn Lan nói với bạn Tuấn rằng: “Trái đất xoay quanh mặt trời và cách mặt trời 15 0triệu km. Nếu khoảng cách này tăng thêm một kilomet thì thời gian mà trái đất quay quanh mặt trời cũng chỉ mất 1 thêm chưa đầy giây thôi”. Bạn Lan nói có đúng không nếu ta coi quỹ đạo khi trái đất xoay quanh 5 mặt trời là hình tròn? Hình mô phỏng quỹ đạo của trái đất 9.
  10. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Bài toán 4 Cước phí bưu điện của Zealand dựa vào trọng lượng của các mặt hàng (tính theo gam), được cho ở bảng dưới đây: Bảng cước phí bưu điện của Zealand Trọng lượng (tính bằng gam) Cước phí Dưới 20g 0, 46 zeds 21- 50 g 0, 69 zeds 51- 100 g 1, 02 zeds 101- 200 g 1, 75 zeds 201- 350 g 2,13 zeds 351- 500 g 2, 44 zeds 501- 1000 g 3,20 zeds 1001- 2000 g 4,27 zeds 2001- 3000 g 5, 03 zeds Câu hỏi Jan muốn gửi 2 bưu phẩm cho một người bạn với trọng lượng lần lượt là 40 gam và 80 gam. Theo bảng cước phí trên thì Jan nên gửi 2 bưu phẩm thành một bưu kiện hay gửi tách riêng thành 2 bưu kiện thì có lợi hơn. Vì sao? Bài toán 5 (Sự tăng trưởng) Năm 1998, chiều cao trung bình của nam nữ thanh thiếu niên ở Hà Lan được biểu diễn bằng biểu đồ dưới đây: 10.
  11. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Biểu đồ về chiều cao của thanh thiếu niên Hà Lan năm 1998 Câu hỏi 1 So với năm, chiều cao trung bình của nữ thanh niên 20 tuổi đã tăng 2, 3cm lên tới 170, 6cm . Chiều cao trung bình của một nữ thanh niên 20 tuổi vào năm 1980 là bao nhiêu? Câu hỏi 2 Theo biểu đồ này, trung bình thời gian nào trong cuộc đời nữ giới cao nhanh hơn nam giới cùng độ tuổi? Câu hỏi 3 Giải thích biểu đồ để thấy rằng tốc độ tăng trưởng về chiều cao của trẻ em gái chậm lại sau 12 tuổi. D. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 (Tỉ giá) Câu hỏi 1 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng. Đáp án: .3000x4,2 = 12600(ZAR) Câ hỏi 2 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng. Đáp án: 975SGD . Câu hỏi 3 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở. Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận như - Có lợi vì cô ấy nhận 4,2ZAR cho 1SGD nhưng chỉ phải trả 4ZAR cho 1SGD . - Có, bởi tỷ giá hối đoái thấp hơn, Mei -Ling sẽ nhận được nhiều đô la Singapore hơn với số tiền đang có. - Có, bởi vì mỗi SGD rẻ hơn được 0,2ZAR . - Có, bởi vì khi bạn chia cho 4,2 kết quả sẽ nhỏ hơn so với khi bạn chia cho 4 . - Có, có lợi cho mình bởi nếu nó không xuống thì cô ấy sẽ nhận ít hơn khoảng 50SGD . Nhận xét Hai câu hỏi đầu tiên của bài tập thuộc về năng lực tái hiện. Cả hai đều yêu cầu học sinh liên kết các thông tin cung cấp theo yêu cầu tính toán tuy nhiên câu 2 khó hơn vì nó yêu cầu đảo ngược suy nghĩ. Câu 3 có mức độ khó cao hơn yêu cầu học sinh trước hết là xác định các dữ kiện toán học có liên quan, so sánh cả hai câu trả lời, kết luận và đồng thời giải thích kết luận đưa ra. Ở kì đánh giá 2003 có 79, 7% học sinh thuộc khối OECD trả lời đúng câu hỏi 3. Bài toán 2 Câu hỏi 1 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng. Đáp án: 10 giờ sáng. Câu hỏi 2 11.
  12. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắn. Đáp án: Học sinh sẽ trả lời đúng nếu đưa ra được bất kì thời gian nào phù hợp với điều kiện đã cho và chênh lệch về thời gian là 9 giờ. Đáp án có thể được lấy từ một trong những khoảng thời gian sau đây: Sydney: 4:30 PM – 6:0 PM; Berlin: 7:30 PM – 9:00 AM. Sydney: 7:00 AM – 8:00 AM; Berlin: 10:00 PM – 11:00 PM. Nhận xét Mặc dù các dữ kiện đưa ra ít và có vẻ đơn giản nhưng đây là một câu hỏi khá phức tạp. Học sinh cần hiểu được rằng thời gian ngủ và thời gian ở trường hạn chế thời gian thích hợp hai người có thể trò chuyện với nhau. Đầu tiên cần phải xác định thời gian rỗi của mỗi người theo giờ địa phương sau đó so sánh để tìm được thời gian mà cả hai có thể thực hiện chúng cùng một lúc. Theo báo cáo của PISA năm 2003, chỉ có 2học9% sinh các nước trong khối OECD trả lời thành công câu hỏi này. Bài toán 3 Nếu bán kính của quỹ đạo trái đất bằng R (km) thì chiều dài quỹ đạo là 2pR (km). Khi ta kéo dài bán kính thêm một km thì chiều dài của quỹ đạo mới sẽ là 2p(R + r ) = 2pR + 2 p (km) (hình vẽ): 1 Như vậy quỹ đạo mới chỉ dài thêm 2p km hay xấp xỉ 6 km. Ở đây dữ kiện chưa biết ở giả 4 thiết chính là tốc độ chuyển động của Trái đất xung quanh Mặt trời, tốc độ đó là 3 km/h0 1 như vậy thực chất thời gian chỉ tăng có gấn giây thôi. 5 Bài toán 4 Đây là một bài tập tuy không khó nhưng có nội dung rất thực tế giúp giáo dục cho học sinh ý thức tối ưu trong suy nghĩ cũng như trong việc làm. Giải bài toán này học sinh sẽ thấy rằng nếu gửi bưu phẩm như hai bưu kiện riêng biệt thì chi phí sẽ rẻ hơn nếu gửi thành một bưu kiện. Bài toán 5 Câu 1: 168, 3cm . Câu 2: Từ 11 – 13 tuổi. Câu 3: Có nhiều cách lý giải: 12.
  13. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ - Tốc độ tăng trưởng chiều cao từ 10 – 12 tuổi là khoảng 15cm nhưng từ 12 – 20 tuổi chỉ là 17cm . - Chiều cao trung bình tăng 7, 5 cm/năm từ 10 – 12 tuổi nhưng tăng 2 cm/năm trong giai đoạn 12 – 20 tuổi. - Đồ thị không đi lên mà kéo thẳng ra. §2. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Lãi đơn Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tinh trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đớn: T = M (1+ r .n) . Trong đó: T : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn; M : Tiền gửi ban đầu; n : Số kì hạn tính lãi; r : Lãi suất định kì, tính theo % . 2. Lãi kép Là sô tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc sinh ra thay đổi theo từng định kì. a. Lãi kép, gửi một lần T = M (1+ r )n . Trong đó: T : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn; M : Tiền gửi ban đầu; n : Số kì hạn tính lãi; r : Lãi suất định kì, tính theo % . b. Lãi kép, gửi định kì Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng. Gọi n là tháng thứ n (n là một số cụ thể). + Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền T1 = M + Cuối tháng thứ 2 , người đó có số tiền là: é ù M é 2 ù M (1+ r ) + M = M ê(1+ r ) + 1ú= (1+ r ) - 1 ë û é(1+ r ) - 1ùëê ûú ëê ûú M = é(1+ r )2 - 1ù r ëê ûú + Cuối tháng thứ 3 : M M M é(1+ r )2 - 1ù(1+ r ) + .r = é(1+ r )2 - 1ù. r ëê ûú r r ëê ûú + Cuối tháng thứ n , người đó có số tiền là: 13.
  14. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ M T = é(1+ r )n - 1ù . n r ëê ûú Ta tiếp cận công thức Tn bằng một cách khác như sau: + Tiền gửi tháng thứ nhất sau n - 1 kì hạn (n - 1 tháng) thành: M (1+ r )n- 1 + Tiền gửi tháng thứ 2 sau n - 2 kì hạn (n - 2 tháng) thành: M (1+ r )n- 2 + Tiền gửi tháng cuối cùng là M (1+ r )0 Số tiền cuối tháng n là: S = M (1+ r )n- 1 + M (1+ r )n- 2 + + M (1+ r )1 + M (1+ r )0 (1+ r )S = M (1+ r )n + M (1+ r )n- 2 + M (1+ r )n- 2 + + M (1+ r )1 rS = M (1+ r )n - M M S = é(1+ r )n - 1ù. r ëê ûú Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng M T = é(1+ r )n - 1ù(1+ r ) . n r ëê ûú B. VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng công thức tính lãi đơn, lãi kép. - Rút ra kết luận bài toán. Ví dụ 1 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% mỗi năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách vay đó là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. Lãi suất 12%/năm tương ứng 1% /tháng, nên r = 0, 01 (do vay ngắn hạn). Số tiền gốc sau 1 tháng là: T + T .r - m = T (1+ r ) - m . Số tiền gốc sau 2 tháng là: é ù é ù 2 é ù ëêT (1+ r ) - mûú+ ëêT (1+ r ) - mûúr - m = T (1+ r ) - m ëê(1+ r ) + 1ûú . 3 T (1+ r )3 - m é(1+ r )2 + 1+ r + 1ù= 0 Số tiền gốc sau tháng là: ëê ûú . T (1+ r )3 T (1+ r )3.r 1, 013 Do đó: m = = = » 34 triệu đồng. (1+ r )2 + 1+ r + 1 (1+ r )3 - 1 1, 013 - 1 Ví dụ 2 14.
  15. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Ông Tân mong muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000 đồng vào ngày 02/03/2012 ở một tài khoản lãi suất năm là 6, 05% . Hỏi ông Tân cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 02/03/2007 để đạt được mục tiêu đề ra? Gọi V0 là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có: 5 20000000 = V0.(1+ 0, 0605) - 5 Þ V0 = 20000000.(1+ 0, 0605) = 14909965,25 (đ). Ví dụ 3 Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7% . Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền? Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3 , anh ta nhận được u1 = 700000´ 36 Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6 , anh ta nhận được u2 = 700000(1+ 7%)´ 36 Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9 , anh ta nhận được 2 u3 = 700000(1+ 7%) ´ 36 Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36 , anh ta nhận được 11 u12 = 700000(1+ 7%) ´ 36 Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là: 1- (1+ 7%)12 u + u + u + + u = 700000´ 36´ 1 2 3 12 1- (1+ 7%) = 450788972 (đồng). Ví dụ 4 Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nữa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm? Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số tiền là: 100(1+ 8%)5 = 146, 932(triệu đồng). 5 Suy ra số tiền lãi là: 100(1+ 8%) - 100 = L1 . Bà Hoa dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng. Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73, 466(1+ 8%)5 = 107, 946 (triệu đồng). Suy ra số tiền lãi là: 107, 946- 73, 466 = L2 . Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là: L1 + L2 » 81, 412 (triệu đồng). Ví dụ 5 15.
  16. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Một người lần đầu gửi tiền vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% /quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền là bao nhiêu? Ba tháng =quý1 nên tháng6 quý= và2 năm ứng1 với quý. 4 Sau 6 tháng người đó có tổng số tiền là: 100.(1+ 2%)2 = 104, 04 (triệu đồng). Người đó gửi thêm 100 triệu nên sau đó tổng số tiền khi đó là: 104, 04 + 100 = 204, 04 (triệu đồng). Suy ra số tiền sau 1 năm nữa là: 204, 04´ (1+ 2%)4 » 220 (triệu đồng). Ví dụ 6 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau một năm lãi suất tăng 0, 3% . Hỏi sau 4 năm tổng số tiền người đó nhận được là bao nhiêu? æ 4 ö ç ÷ Năm thứ 1: T1 = 100.ç1+ ÷ ; Số tiền lãi năm thứ nhất là; èç 100ø÷ L1 = T1 - T = 4 (triệu đồng). æ 4, 3ö ç ÷ Tương tự, năm thứ 2: T2 = T1.ç1+ ÷ ; thì số tiền lãi năm thứ hai so với năm thứ nhất là; èç 100ø÷ L2 = T2 - T1 = 4, 47 (triệu đồng). æ 4, 6ö ç ÷ Năm thứ 3: T3 = T2.ç1+ ÷ ; Số tiền lãi năm thứ ba so với năm thứ hai là; èç 100ø÷ L3 = T3 - T2 = 4, 99(triệu đồng). æ 4, 9ö ç ÷ Năm thứ 4: T4 = T3.ç1+ ÷ ; Số tiền lãi năm thứ tư so với năm thứ ba là; èç 100÷ø L4 = T4 - T3 = 5, 56(triệu đồng). Tổng số tiền nhận được sau 4 năm là: 100 + L1 + L2 + L3 + L4 = 100 + 4 + 4.47 + 4.99 + 5.56 = 119, 02 (triệu đồng). Ví dụ 7 Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 6, 9%/năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi suất theo loại lãi suất không kì hạn là 0, 002% /ngày (1 tháng tính 30 ngày). Kì hạn 6 tháng nên mỗi năm có 2 kì hạn. 6, 9% Suy ra lãi suất mỗi kì hạn là: r = = 3, 45% . 2 6 năm 9 tháng = 81 tháng = 13.6 + 3 tháng = 13 kì hạn + 3 tháng. 16.
  17. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 13 Số tiền cô giáo thu được sau 13 kì hạn là: T1 = 200.(1+ 3, 45%) . Số tiền cô giáo thu được trong 3 tháng tiếp theo là: 13 T2 = 200´ (1+ 3, 45%) ´ 0, 002%´ 3´ 30 . Vậy số tiền cô giáo nhận được sau 6 năm 9 tháng là: T = T1 + T2 » 311392005,1 (đồng). Ví dụ 8 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T = A(1+ r )n , trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền. Sau 6 tháng (2 quý = 2 kì hạn) người đó có số tiền: 2 T1 = 100.(1+ 5%) - 110,25(triệu đồng). Sau khi gửi thêm 50 triệu thì số tiền trong ngân hàng là: T2 = T1 + 50. Suy ra số tiền thu được sau 6 tháng nữa để tròn 1 năm là: 2 2 T3 = T2.(1+ 5%) = (T1 + 50).(1+ 5%) . Vậy tổng số tiền thu được sau 1 năm là: 2 2 T = T3 = T2.(1+ 5%) = (T1 + 50).(1+ 5%) = 176, 68 (triệu đồng). Ví dụ 9 Một người gửi ngân hàng 80 triệu đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 3% /quý. Hỏi sau ít nhất bao lâu số tiền thu về hơn gấp rưỡi số tiền vốn? æ ö ç1 ÷ Gọi x là số quý để thu về số tiền hơn gấp rưỡi vốn ç .80 = 40÷ . èç2 ø÷ Vì là hình thức lãi đơn nên ta có: 50 80.3%.x > 40 Û x > » 16, 67 . 3 Suy ra x phải bằng 17 quý. Vậy số tháng cần là: 17.3 = 51 (tháng). Ví dụ 10 Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 8%/năm. Hỏi sau 3 năm tổng số tiền thu về là bao nhiêu? Vì hình thức lãi đơn nên ta có tổng số tiền sau 1 năm là: 100 + 100.0, 8 = 108 (triệu đồng). Tổng số tiền sau 2 năm là: 108 + 100.0, 08 = 116 (triệu đồng). Tổng số tiền sau 3 năm là: 116 + 100.0, 08 = 124 (triệu đồng). Ví dụ 11 17.
  18. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Ông Bách dự định đầu tư khoản tiền 20.000.000 đồng vào một dự án với lãi suất tăng dần 3, 35% trong 3 năm đầu; 3, 75% trong 2 năm kế và 4, 8% ở 5 năm cuối. Tính giá trị khoản tiền ông Bách nhận được vào cuối năm thứ 10 . Số tiền ông Bách thu được trong 3 năm đầu: 3 T1 = 20000000.(1+ 3, 35%) = 22078087 (đồng). Số tiền ông Bách nhận được trong 2 năm tiếp theo: 2 T2 = T1.(1+ 3, 75%) = 23764991 (đồng). Số tiền ông Bách thu được ở 5 năm cuối: 2 T3 = T2.(1+ 4, 8%) = 30043053 (đồng). Vậy số tiền mà ông Bách thu được ở cuối năm thứ 10 là: T = T3 = 30043053 (đồng). Ví dụ 12 Ông Bách gửi vào tài khoản 7.000.000 đồng. Một năm sau ông rút ra 7.000.000đồng. Một năm sau ngày rút ông nhận được khoản tiền 272.340 đồng. Tính lãi suất áp dụng trên tài khoản ông Bách. Số tiền ông Bách nhận được sau 1 năm là: A(1+ r ) , trong đó A là số tiền ban đầu, r là lãi suất. Sau đó ông rút số tiền bằng số tiền ban đầu nên số tiền còn lại trong ngân hàng A(1+ r ) - A = Ar . Sau 1 năm ông nhận được số tiền 272.340 đồng. Vậy ta có: 272340 ér = 0, 0375 = 3.75% Ar(1+ r ) = 272340 Û r (1+ r ) = Û ê êr = - 1, 037 < 0. 7000000 ëê Vậy lãi suất là 3,75%. C. LỜI BÌNH Bài toán tính lãi suất ngân hàng có vai trò đặc biệt quan trọng trong đời sống, kinh tế. Các dạng toán này liên quan trực tiếp đến việc phát triển kinh tế, cũng như giúp cho đời sống nhân dân trở nên giàu hơn. Chính vì thế chúng ta cần quan tâm cũng như nghiên cứu đến dạng toán tính lãi suất ngân hàng này. D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán 1 Ông Bách mua chiếc xe giá 10, 5 triệu. Một công ty tài chính đề nghị ông Bách trả ngay 1.800.000 đồng tiền mặt, 2.900.000 đồng cuối 2 năm tiếp theo và 2.000.000 đồng cuối các năm thứ ba và thứ tư. Biết lãi suất áp dụng là 5, 85% hỏi ông Bách sau 4 năm còn nợ bao nhiêu tiền? Bài toán 2 Ông Bách dự tính mua trả chậm một chiếc xe gắn máy, máy bằng cách trả ngay 2.200.000đồng tiền mặt, 3.800.000 đồng cuối năm sau và 5.300.000 đồng cuối năm kế tiếp. Biết lãi suất áp dụng là 6,24% , hỏi rằng giá chiếc xe là bao nhiêu? 18.
  19. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Bài toán 3 Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng các kì khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kì khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8% . Hỏi giá trị chiếc xe ông Bách mua là bao nhiêu? Bài toán 4 Trong vòng 4 năm, ông Bách gửi vào một tài khoản lãi suất 8%với các khoản tiền lần lượt là: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng, 20.000.000 đồng. Ngay sau khi gửi tiền lần cuối cùng, tổng số tiền trong tài khoản của ông Bách là bao nhiêu? Bài toán 5 Ông Bách quyết định đầu tư mỗi năm 3.000.000 đồng vào một tài khoản tiết kiệm trong vòng 4 năm. Khoản tiền được đầu tư vào tháng 7/2006. Lãi suất năm trên tài khoản này là 3, 75% . Vào tháng 10/2010, ông Bách sở hữu bao nhiêu tiền? E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 Sau khi trả ngay ông Bách còn nợ lại: 8.700.000 đồng. Sau 2 năm ông Bách nợ lại: 8, 7.(1+ 5, 85%) - 2, 9 = 6, 31 (triệu đồng). Sau năm thứ 3 ông Bách nợ lại: 6, 31.(1+ 5, 85%) - 2 = 4, 68 (triệu đồng). Sau năm thứ 4 ông Bách còn nợ lại: 4, 68.(1+ 5, 85%) - 2 » 2, 95 (triệu đồng). Sau 4 năm ông Bách vẫn chưa trả hết nợ. Không nên nhận đề nghị. Bài toán 2 Gọi x là giá trị chiếc xe. m1,m2 lần lượt là số tiền cần trả còn lại cuối năm thứ nhất và năm thứ 2 . ïì ïì ï x - 2200000 = m1 ï x = 10472500, 77 ï ï Ta có í m (1+ 6,24%) - 3800000 = m Û í m = 8272500, 77 ï 1 2 ï 1 ï m (1+ 6,24%) - 5300000 = 0 ï m = 4988704, 819 îï 2 îï 2 Bài toán 3 32.412.582 đồng. Bài toán 4 44.096.960 đồng. Bài toán 5 » 12.692.033 đồng. §3. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 19.
  20. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Phương trình một ẩn Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến x . Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x được gọi là ẩn. Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm. Việc tìm được nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình. Một phương trình có thể có 1;2; 3 nghiệm; hoặc vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. 2. Hai phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những phương trình tương đương với nó. Phép biến đổi như thế gọi là phép biến đổi tương đương. 3. Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 trong đó a và b là các hằng số, a ¹ 0 . b Phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất x = - . a 4. Các dạng phương trình thường gặp Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0 . Để giải phương trình tích cần nhớ: A(x).B(x) = 0 Û A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 . Phương trình có ẩn số ở mẫu thức: Các bước giải: Tìm tập xác định. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu. Giải phương trình vừa tìm được. B. VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Gọi phương trình bậc nhất một ẩn cần tìm có dạng: ax + b = 0 trong đó a và b là các hằng số, a ¹ 0 . b Phương trình có nghiệm duy nhất x = - . a Ví dụ 1 20.
  21. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Hai ô tô khởi hành từ hai điểm A,B đi ngược chiều để gặp nhau. Xe thứ nhất chạy 0, 08 quảng 7 đường AB hết 3 giờ. Xe thứ hai chạy quảng đường AB hết 2 giờ 30 phút. Khi hai xe gặp nhau 120 thì xe thứ nhất đã chạy được 800 km. Tìm vận tốc xe thứ hai biết rằng hai xe khởi hành cùng một lúc. Gọi chiều dài quảng đường AB là x (km). 0, 08x Vận tốc xe 1 chạy từ A là: (km/h). 3 7x 5 7x Vận tốc xe thứ 2 chạy từ B là: : = (km/h). 120 2 300 Thời gian 2 xe chạy để gặp nhau: 0.08x 30000 800 : = (h). 3 x Vì hai xe khởi hành cùng một lúc nên ta có phương trình: æ ö ç0, 08x 7x ÷ 30000 ç + ÷. = x . èç 3 300ø÷ x Giải ra ta được x = 1500 (km). 7´ 1500 Vận tốc xe thứ hai là: = 35 (km/h). 300 Ví dụ 2 Hai thanh hợp kim đồng-kẽm có tỉ lệ khác nhau. Thanh thứ nhất khối lượng 10 kg có tỉ lệ đồng-kẽm 4:1. Thanh thứ hai có khối lượng 16 kg có tỉ lệ đồng-kẽm là 1:3. Người ta bỏ hai thanh đó vào lò luyện kim và cho thêm một lượng đồng nguyên chất để được một loại hợp kim đồng-kẽm có tỉ lệ đồng-kẽm là 3:2. Tính khối lượng hợp kim mới nhận được. Gọi m (kg), n (kg) lần lượt là khối lượng đồng, kẽm có trong thanh thứ nhất. m n m + n 10 Ta có = = = = 2 . 4 1 5 5 Vậy m = 8,n = 2 . Gọi m¢ (kg), n¢ (kg) lần lượt là khối lượng đồng, kẽm có trong thanh thứ hai. m¢ n¢ m¢+ n¢ 16 Ta có: = = = = 4 . 1 3 4 4 Vậy m¢= 4,n¢= 12 . Gọi x (kg) là lượng đồng nguyên chất cho thêm. Khối lượng đồng trong lò luyện kim là m + m¢+ x (kg), khối lượng kèm là n + n¢ . Tỉ lệ đồng-kẽm trong hợp kim mới là: m + m¢+ x 12 + x = . n + n¢ 14 12 + x 3 Theo giả thiết tỉ lệ này là 3:2. Ta có phương trình: = . 14 2 Giải ra được x = 9 (kg). Khối lượng của hợp kim mới là 10 + 16 + 9 = 35 (kg). Ví dụ 3 21.
  22. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Một đoàn tàu khác rời tỉnh A đi về phía tỉnh B . Cùng lúc đó một đoàn tàu hàng rời B đi về phía AB . Cả hai đoàn tàu đi với vận tốc không đổi. Sau khi chúng gặp nhau được 2 giờ thì chúng cách nhau 280 km. Kể từ khi gặpA nhau, tàu khách chạy thêm 9 giờ nữa thìC đến B , còn tàu hàngB chạy thêm 16 giờ nữa thì đến AB , Hỏi vận tốc của mỗi tàu, quảng đường AB và thời gian chạy cả quảng đường Tàu khách Tàu hàng AB của mỗi tàu? Gọi C là vị trí hai tàu gặp nhau. Sau khi đi qua C thì taù hàng và tàu khách mỗi lúc mỗi xa nhau hơn. Nếu gọi x (km/h) là vận tốc tàu khách, suy ra vận tốc tàu hàng là 280- 2x = 140- x (km/h). 2 Theo giả thiết, ta có: CB = 9x và AC = 16(140- x) (km). Mặt khác, nếu gọi t (h) là thời gian hai tàu chạy từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau tại C . Do đó ta có: AC = xt;CB = (140- x)t (km). 16(140- x) 9x Suy ra ta có phương trình: = x 140- x Hay 16(140- x)2 = 9x 2 trong đó x > 0,140- x > 0 nên 4(140- x) = 3x . Giải ra ta được: x = 80 . Vậy vân tốc tàu khách là 80 km/h; vận tốc tàu hàng là 60 km/h. Quảng đường AB = AC + CB = 16(1140- 80) + 9´ 80 = 1680 (km). Thời gian tàu khách chạy quảng đường AB là t + 9 (h). Thời gian tàu hàng chạy quảng đường AB là t + 16 (h), trong đó AC 16(140- x) 16(140- 80) t = = = = 12. x x 80 Vậy thời gian tàu khách chạy quảng đường AB là 21 giờ. Thời gian tàu hàng chạy cả quảng đường AB là 28 giờ. Ví dụ 4 Một công nhân có mức lương 1.000.000 đồng/tháng. Sau 2 lần nâng lương liên tiếp theo cùng tỉ lệ phần trăm, công nhân đó được lãnh lương mới là 1.254.400 đồng/tháng. Tính tỉ lệ phần trăm nâng lương? Gọi x% là tỉ lệ phần trăm lương được nâng mỗi kỳ. Sau lần nâng lương thứ nhất, công nhân đó được lãnh: x 1000000 + 1000000´ = 10000.(100 + x) (đồng/tháng). 100 Sau lần nâng lương thứ hai, công nhân đó được lãnh: x 10000.(100 + x) + 10000.(100 + x). 100 = 100.(100 + x)2 (đồng/tháng). Ta có phương trình: 100.(100 + x)2 = 1254400 . 22.
  23. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Hay (100 + x)2 = 12544 Þ 100 + x = 12544 = 112 . Vậy x = 12 . Ví dụ 5 Từ một cái bồn đầy đựng 729 lít axít nguyên chất người ta rót ra m (lít) rồi đổ thêm nước vào cho đầy bồn. Sau khi khuấy bồn cho đều người ta lại rót ra m (lít) dung dịch axít đó, rồi lại đổ nước vào cho đầy bồn và khuấy đều. Sau khi người ta liên tiếp làm công việc đó 6 lần thì dung dịch axít trong bồn chứa 64 lít axít nguyên chất. Tính m . Thể tích axít nguyên chất có trong bồn sau lần rót ra lần thứ nhất là 729- m (lít). Nếu rót nước vào bồn cho đầy thì thể tích axít nguyên chất có trong 1 lít dung dịch trong bồn 729- m là . 729 Do đó thể tích axít nguyên chất được rót ra trong lần thứ 2 là: (729- m).m (lít). 729 Thể tích axít nguyên chất còn lại trong bồn sau lần rót thứ 2 là: (729- m).m (729- m)2 729- m - = (lít). 729 729 Nếu rót nước vào bồn cho đầy thì thể tích axít nguyên chất có trong 1 lít dung dịch trong bồn là: (729- m)2 . 729 Do đó thể tích axít nguyên chất được rót ra trong lần thứ 3 là: (729- m)2.m (lít). 7292 Thể tích axít nguyên chất còn lại trong bồn sau lần rót thứ 3 là: (729- m)2 (729- m)2.m (729- m)3 - = . 729 7292 7292 Lý luận tương tự như các lần trước, thể tích axít nguyên chất được rót ra trong lần thứ 4 là: (729- m)3.m (lít). 7293 Thể tích axít nguyên chất còn lại trong bồn sau lần rót thứ 4 là: (729- m)3 (729- m)3.m (729- m)4 - = (lít). 7292 7293 7293 Thể tích axít nguyên chất còn lại trong bồn sau lần rót thứ 5 là: (729- m)5 (lít). 7294 Thể tích axít nguyên chất còn lại trong bồn sau lần rót thứ 6 là: (729- m)6 (lít). 7295 (729- m)6 Ta có phương trình = 64 . 7295 23.
  24. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Để ý rằng 729 = 272 = (33)2 = 36 . Vậy (729- m)6 = 26.(36)5 = (2.35)6 . Hiển nhiên rằng m 0 . Vậy 729- m = 2.35 = 486 . Vậy m = 243 (lít). Ví dụ 6 Ba ô tô khởi hành đồng thời từ A để chạy đến B theo cùng một đường. Vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 30 km/h nên đến B sớm hơn xe thứ nhất 3 giờ. Xe thứ ba đi một nửa thời gian của xe thứ nhất và nửa thời gian còn lại nó đi với vận tốc của xe thứ hai nên xe thứ ba đến B sớm hơn xe thứ nhất 2 giờ. Tính quảng đường AB ? Gọi t (h) là thời gian xe thứ nhất đi quảng đường AB(t > 3) . Suy ra t - 3 (h) là thời gian xe thứ hai đi quảng đường AB . t - 2 (h) là thời gian xe thứ ba đi quảng đường AB . AB Vận tốc của xe thứ nhất là (km/h). t AB Vận tốc của xe thứ hai là (km/h). t - 3 Ta có phương trình: AB t - 2 AB (t - 2) ´ + ´ = AB t 2 t - 3 2 t - 2 t - 2 + = 1 2t 2(t - 3) (t - 2)(t - 3) + t(t - 2) = 2t(t - 3) - 7t + 6 = - 6t t = 6 . Thay t = 6 vào các vận tốc xe thứ nhất và xe thứ hai ta có: AB AB - = 30. 3 6 Giải ra ta được AB = 180 (km). Quảng đường AB dài 180 (km). Ví dụ 7 Một tàu hàng rời ga A lúc 5 giờ sáng để đi về phía ga B . 1 giờ 30 phút sau đó một tàu khác rời ga A chạy về hướng B với vận tốc cao hơn tàu hàng 5 km/h. Vào lúc 9 h 30 phút tối cùng ngày khoảng cách giữa hai tàu là 21 km. Tính vận tốc của tàu hàng. A N M B 33 Thời gian tàu hàng chạy từ 5 giờ sáng đến 21 giờ 30 phút là 16 giờ 30 phút hay giờ. 2 Thời gian tàu khách chạy là 15 giờ. 24.
  25. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Gọi x (km/h) là vận tốc tàu hàng. Suy ra x + 5 (km/h) là vận tốc tàu khách. Giả sử vào lúc 9 giờ 30 phút tối cùng ngày tàu hàng đến vị trí M , tàu khách đến vị trí N thì MN = 21 (km). 33x Ta có: AM = và AN = 15(x + 5) . 2 33x Ta được phương trình: - 15(x + 5) = 21 Û 3x - 150 = 42 . 2 é3x - 150 = 42 Vậy ê nên x = 64 hay x = 36 . ê3x - 150 = - 42 ëê Do đó vận tốc của tàu hàng là 36 km/h hay 64 km/h. Ví dụ 8 Có hai thanh hợp kim A,B chứa tỉ lệ phần trăm chỉ khác nhau. Thanh A có khối lượng 6 kg, thanh B có khối lượng 12 kg. Người ta cắt từ A ra một khúc A¢ và cắt từ B ra một khúc B ¢ sao cho A¢ và B ¢có khối lượng bằng nhau. Sau đó ta cho phần còn lại của thanh A và khúc B ¢ vào lò luyện ra hợp kim 1 , cho phần còn lại của thanh B và khúc A¢ vào lò luyện kim ra loại hợp kim 2 . Cho biết hai loại hợp kim mới 1 và 2 có cùng tỉ lệ phần trăm chì. Tính khối lượng khúc A¢ hoặc B ¢ . Gọi x (kg) là khối lượng của khúc A¢ (hoặc B ¢ ). y% là tỉ lệ phần trăm chì trong thanh hợp kim A . z% là tỉ lệ phần trăm chì trong thanh hợp kim B,y,z Î (0;100).y ¹ z . xy Khối lượng chì trong khúc A¢ : (kg). 100 xy Khối lượng chì trong khúc B ¢ : (kg). 100 (6- x).y Khối lượng chì trong phần còn lại của thanh A là: (kg). 100 (12- x).z Khối lượng chì trong phần còn lại của thanh B là: (kg). 100 (6- x).y xz Khối lượng chì trong 6 kg hợp kim 1 là: + (kg). 100 100 (12- x).z xz Khối lượng chì trong 12 kg hợp kim 2 là: + (kg). 100 100 (6- x).y + xz Tỉ lệ phần trăm chì trong hợp kim 1 là: (%). 600 (12- x).z + xy Tỉ lệ phần trăm chì trong hợp kim 2 là: (%). 1200 (6- x).y + xz (12- x).z + xy Ta có phương trình: = . 600 1200 Phương trình tương đương với: 2(6- x)y + 2xz = (12- x)z + xy Û (12- 3x)y + (3x - 12)z = 0 25.
  26. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Û (12- 3x)(y - z) = 0 (với mọi y,z Î (0;100) ). Vậy ta phải có: 12- 3x = 0 (do y ¹ z ). Suy ra x = 4 . Do đó khối lượng của khúc A¢ hay khúc B ¢ là 4 kg. C. LỜI BÌNH Chúng ta cần thiết lập được phương trình bậc nhất theo biến x , trong đó x là đại lượng cần tính. Giải phương trình bậc nhất này chúng ta sẽ tìm được giá trị mà đề bài yêu cầu. Ở bậc Trung học cơ sở, dạng toán này là dạng toán quan trọng và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán 1 Khoảng cách giữa hai thành phố A,B là 30 km. Một xe buýt rời A chạy trên xa lộ để đến B với vận tốc không đổi. Mưới phút sau, một chiếc trực thăng rời A , bay dọc theo xa lộ hướng về B . Sau khi khởi hành được 5 phút, trực thăng bắt gặp xe buýt ở phía dưới, sau đó trực thăng tiếp tục bay về phía B . Khi đến B , trực thăng lập tức bay trở về A ngược lại đường cũ với cùng vận tốc và bắt gặp xe buýt 20 phút sau khi trực thăng rời A . Xác định vận tốc xe buýt và vận tốc của trực thăng. Bài toán 2 Trong vụ lúa hè thu năm nay hợp tác xa nông nghiệp 1 thu hoạch 21 tấn thóc mỗi hecta. Hợp tác xa nông nghiệp 2 có diện tích ít hơn 12 hecta nhưng thu hoạch được 25 tấn thóc mỗi hecta. Số thóc hợp tác xã 2 thu hoạch được nhiều hơn hợp tác xã 1 là 300 tấn thóc. Hỏi số thóc thu hoạch của mỗi hợp tác xã nông nghiệp. Bài toán 3 Có hai loại hợp kim đồng – kẽm. Loại thứ nhất có tỉ lệ khối lượng đồng – kẽm là 5:2 , loại thứ hai có tỉ lệ khối lượng đồng – kẽm là 3:4 . Hỏi phải sử dụng bao nhiêu kg loại thứ nhất và bao nhiêu kg loại thứ hai để tạo được 28 kg hợp kim mới có tỉ lệ đồng – kẽm là 1:1 . Bài toán 4 Người ta đổ 4 lít dung dịch axít sunfuríc 7vào0% bình có dung1 tích lít và6 đổ lít dung3 dịch axít sunfuríc 9vào0% bình cũng2 có dung tích lít. 6 a) Hỏi phải đổ bao nhiêu lít dung dịch axít sunfuríc từ bình 2 sang bình 1 để được một dung dịch axít sunfuríc p% ở bình 1 . b) Tìm điều kiện của p để bài toán có nghiệm. E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 A C D B Gọi C là vị trí trực thăng sẽ gặp xe buýt lúc đi. D là vị trí trực thăng gặp xe buýt lúc về. 26.
  27. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Ta tìm được xe buýt đi được quảng đường AC trong 15 phút trong khi đó theo giả thiết thì trực thăng bay qua quảng đường AC chỉ có 5 phút. Vậy nếu gọi v (km/h) là vận tốc xe buýt thì vận tốc trực thăng là 3v (km/h). Từ đó ta tính được: v v AC = ;CD = 4 4 AB + BD = v Þ BD = v - 30 . v v 3v Đưa đến phương trình: + + v - 30 = 30 Û = 60 Û v = 40 . 4 4 2 Vận tốc xe buýt: 40 (km/h), vận tốc trực thăng: 120 (km/h). Bài toán 2 Gọi x (tấn) là số thóc thu hoạch của hợp tác xã 1 . x x + 300 Sử dụng giả thiết đưa đến phương trình: - = 12 . 21 25 Vậy x(tấn).= 3150 Số thóc thu hoạch của hợp tác xã 2 là: 3150 + 300 = 3450 (tấn). Bài toán 3 Gọi x (kg) là khối lượng của hợp kim thứ nhất có tỉ lệ đồng – kẽm là 5 : 2 . 5x Suy ra khối lượng đồng trong x kg hợp kim thứ nhất: . 7 2x Khối lượng kẽm trong x kg hợp kim thứ nhất: . 7 Khối lượng hợp kim thứ hai là: 28 - x (kg). Suy ra tương tự khối lượng đồng, kẽm trong hợp kim thứ hai. 5x 3(28 - x) + Đưa đến phương trình 7 7 = 1 . 2x 4(28 - x) + 7 7 Giải phương trình ta có, loại thứ nhất: 7 kg; loại thứ hai: 21 kg. Bài toán 4 a) Gọi x (lít) là thể tích dung dịch axít sunfuríc 90% phải đổ từ bình 2 sang bình 1 . Điều kiện 0 £ x £ 2 . Thể tích axít nguyên chất có trong bình lúc đó: 4´ 70 x ´ 90 + (lít). 100 100 Thể tích dung dịch axít có trong bình 1 lúc đó là: x + 4 (lít). Ta được phương trình: 4´ 70 + 90x = p(x + 4) . 4p - 280 Vậy x = (lít); 90- p 27.
  28. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 4p - 280 b) Điều kiện: 0 £ x £ 2 dẫn đến 0 £ £ 2 . 90- p ì ï 4p - 280 ³ 0 230 Suy ra íï , suy ra 70 £ p £ . ï 4p - 280 £ 180- 2p îï 3 §4. DẠNG TOÁN SỐ TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Dạng toán giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường xuyên gặp trong những đề thi tuyển sinh lớp 10. Đây là dạng toán khó trong chương trình Trung học cơ sở. Học sinh thường xuyên quên và chưa biết áp dụng các kiến thức liên quan để giải toán. Khi lập được hệ phương trình ta áp dụng các phương pháp đã học để giải tìm nghiệm của bài toán. - Phương pháp giải tổng quát của loại toán này là: ta lần lượt đặt từng thành phần là x,y và dựa vào các giả thiết của bài toán để lập hai phương trình thể hiện mối liên quan của các ẩn và từ đó giải để được x,y . Đối chiếu điều kiện của ẩn. - Hiển nhiên, nếu sau này kết hợp với kiến thức phương trình bậc hai, ta có những hệ phương trình cao hơn nhưng chung quy lại vẫn dùng những kiến thức cơ sở này. - Loại toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có bốn dạng chính: Dạng toán về số; Dạng toán chuyển động; Dạng toán năng suất; Dạng toán ứng dụng hình học. Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư. Số bị chia = (Số chia) x (thương) + (số dư); (số dư < số chia). Nhắc lại cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số): Nếu a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b (với a,b Î N và 1 £ a £ 9, 0 £ b £ 9 ). B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁO GIẢI Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. Bước 2: - Giải phương trình 28.
  29. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Bước 3: - Chọn kết quả thích hợp và trả lời. Cách giải hệ phương trình - Bằng phương pháp thế: + Biểu thị một ẩn (giả sử x ) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình của hệ. + Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x . - Bằng phương pháp cộng đại số: + Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x . + Giải phương trình có một ẩn y , để có y . + Thay giá trị y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của x . + Kết luận nghiệm của hệ phương trình. Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình Tương tự như giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn, chỉ khác là: - Phải chọn hai ẩn số. - Lập một hệ hai phương trình. - Giải hệ bằng một trong hai cách: phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số như trên. Ví dụ 1 Bạn Vân và bạn Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt và 7 quả cam hết 17800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mua mỗi quả cam, quýt là bao nhiêu? Gọi x,y (đồng) lần lượt là số tiền của 1 quả quýt và 1 quả cam. Điều kiện x,y > 0 . Như vậy số tiền bạn Vân phải trả cho 10 quả quýt và 7 quả cam là: 10x + 7y (đồng). Theo giả thiết, ta có: 10x + 7y = 17800 (1) Số tiền bạn Lan trả cho 12 quả quýt và 6 quả cam là: 12x + 6y (đồng). Theo giả thiết, ta có: 12x + 6y = 18000 (2) ì ï 10x + 7y = 17800 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï 12x + 6y = 18000 îï ì ï x = 800 Giải hệ này ta có: í . ï y = 1400 îï Vậy giá tiền của một quả quýt là 800 đồng. Giá tiền của một quả cam là 1400 đồng. Ví dụ 2 Một công ty có 85 xe chở khách gồm hai loại, loại xe chở được 4 khách và loại xe chở được 7 khách. Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi mỗi loại công ty đó có mấy xe? Gọi x,y lần lượt là số xe chở được 4 chỗ/khách và loại xe chở được 7 chỗ/khách. Điều kiện x,y > 0 . 29.
  30. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Ta có: Số xe cả hai loại là 85 , do đó x + y = 85 . (1) Cả hai loại xe của công ty này chở tối đa là 445 người nên: 4x + 7y = 445 (2) ì ï x + y = 85 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï 4x + 7y = 445 îï ì ï x = 50 Giải hệ này ta được: í . ï y = 35 îï Vậy công ty này có 50 xe chở được 4 chỗ và 35 xe chở được 7 chỗ. Ví dụ 3 Một gia đình có bốn người lớn và ba em bé mua vé xem xiếc hết 370.000 đồng. Một gia đình khác có hai người lớn và hai e, bé cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200.000 đồng. Hỏi giá bán của mỗi loại vé người lớn và em bé là bao nhiêu? Biết rằng mỗi người vào xem phải có một vé đúng hạn. Gọi x,y (đồng) lần lượt là giá tiền của mỗi vé người lớn và em bé. Điều kiện: x,y > 0 . Bốn người lớn và ba em bé mua vé xem xiếc hết 370.000 đồng nên ta có phương trình: 4x + 3y = 370000 (1) Hai người lớn và hai em bé cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200000 đồng nên ta có phương trình: 2x + 2y = 200000 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ì ì ï 4x + 3y = 370000 (1) ï x = 70000 í Û í ï 2x + 2y = 200000 (2) ï y = 30000 îï îï Vậy giá mỗi vé loại người lớn 70.000 đồng. Giá mỗi vé loại em bé là 30.000 đồng. C. LỜI BÌNH Dạng toán số là dạng toán quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Để giải được dạng toán này học sinh cần phải lập được hệ phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các ẩn. Từ đó, rút ra lời giải bài toán. D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán 1 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư là 124 . Bài toán 2 Tìm mốt số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai của nó thì ta được một số lớn hơn số đã cho là 63 . Biết rằng tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 . Bài toán 3 Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng lấy số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 7 và dư 2 . Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số thì được thương là 4 và dư 6 . 30.
  31. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Bài toán 4 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10 . Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số và nếu lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì thương là 7 và dư là 12 . Bài toán 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng các chữ số bằng 8 , nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị. E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 Gọi số lớn hơn là x và số nhỏ hơn là y (điều kiện: (x,y Î ¥ ;y > 124). Theo đề bài, tổng hai số bằng 1006 nên ta có phương trình: x + y = 1006 (1) Vì lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 dư là 124 nên ta có phương trình: x = 2y + 124 (2) ì ï x + y = 1006 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï x = 2y + 124 îï ì ï x = 712 Giải hệ phương trình ta được: í ï y = 294 îï Vậy số lớn là 712 và số nhỏ là 294 . Bài toán 2 Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y . Điều kiện: x,y Î ¥ ;1 £ x,y £ 9 . Theo giả thiết ta có số đã cho là: xy = 10x + y . Đổi chỗ hai chữ số ban đầu thì ta được một số mới lớn hơn ban đầu là 63 nên ta có: (10y + x) - (10x + y) = 63 (1) Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 nên ta có: (10x + y) + (10y + x) = 99 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ì ï (10y + x) - (10x + y) = 63 í ï (10x + y) + (10y + x) = 99 îï ì ï x = 1 Giải hệ phương trình ta được: í ï y = 8 îï Vậy số cần tìm là 18 . Bài toán 3 Gọi số cần tìm có dạng là xy . Điều kiện: 1 < x £ 9, 0 £ y £ 9 . Khi đó giá trị của số xy là 10x + y . 31.
  32. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Khi lấy số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 7 và dư 2 nên ta có phương trình: 10x + y = 7y + 2 Û 10x - 6y = 2 (1) Khi lấy số đó chia cho tổng các chữ số thì được thương là 4 và dư 6 nên ta có phương trình: 10x + y = 4(x + y) + 6 Û 6x - 3y = 6 Û 2x - y = 2 (2) ì ì ï 10x - 6y = 2 ï x = 5 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í Û í ï 2x - y = 2 ï y = 8 îï îï Vậy số cần tìm là 58 . Bài toán 4 Gọi số cần tìm có dạng là xy . Điều kiện: 1 < x £ 9, 0 £ y £ 9 . Khi đó giá trị của số xy là 10x + y . Ta có tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: x + y = 10 (1) Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có chữ số là: x0y = 100x + y Nếu lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có phương trình: 100x + y = 7(10x + y) + 12 Û 30x - 6y = 12 Û 5x - y = 2 (2) ì ì ï x + y = 10 ï x = 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í Û í ï 5x - y = 2 ï y = 8 îï îï Vậy số cần tìm là 28 . Bài toán 5 Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện: x,y £ 9,x ¹ 0 và x,y là những số tự nhiên. Ta có: x + y = 8 Số đã cho được phân tích thành 10x + y . Nếu đổi hai chữ số ta được giá trị của số mới là 10y + x . 10y + x - 10x - y = 18 Û 9y - 9x = 18 Û - x + y = 2 ì ì ï x + y = 8 ï x = 5 Ta có hệ phương trình: í Û í ï - x + y = 2 ï y = 3 îï îï Vậy số cần tìm là 35 . §5. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào là: vận tốc, thời gian, quãng đường. Công thức: s = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian). 32.
  33. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Công thức tính vận tốc xuôi dòng và ngược dòng: Vt xuoi = Vt + Vn ;Vt nguoc = Vt - Vn . B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời. Ví dụ 1 Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A . Ta có bảng phân tích bài toán như sau: S (km) V (km/h) T (giờ) Dự định x y Nếu xe chạy chậm x 35 y + 2 Nếu xe chạy x 50 y - 1 nhanh Từ đây ta có lời giải như sau: Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 35) . Thời gian dự định đến B lúc 12 h trưa là y (h), (y > 1) . Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì sẽ đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định, ta có phương trình: x = 35(y + 2) (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 (km/h) thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định, ta có phương trình: x = 50(y - 1) (2) ì ï x = 35(y + 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï x = 50(y - 1) îï ì ï y = 8 Giải hệ phương trình ta được: í ï x = 350 îï Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô tô tại A là 12- 8 = 4 (giờ). Ví dụ 2 Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc của ô tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B . 33.
  34. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Gọi vận tốc của ô tô A là x (km/h), (x > 5) . Vận tốc của ô tô B là y (km.h), (y > 5) . Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ ta có phương trình: 2x + 2y = 150 (1) Vận tốc của ô tô A sau khi tăng thêm 5 km/h là: x + 5 (km/h). Vận tốc của ô tô B sau khi giảm 5 km/h là: y - 5 (km/h). Vì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B nên ta có phương trình: x + 5 = 2(y - 5) Û x - 2y = - 15 (2) ì ï 2x + 2y = 150 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï x - 2y = - 15 îï ì ï x = 45 Giải hệ phương trình ta được: í . ï y = 30 îï Vậy vận tốc của ô tô A là 45 km/h, vận tốc của ô tô B là 30 km/h. Ví dụ 3 Lúc 7 giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? 1 Đổi 8 giờ 30 phút = 8 (giờ). 2 17 Gọi x (h) là thời gian hai người gặp nhau (điều kiện: x > ). 2 Gọi y (km) là quãng đương từ A tới điểm gặp nhau (điều kiện: y > 0 ). Với giả thiết: Người thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xuất phát lúc 7 giờ, ta được: 40(x - 7) = y Û 40x - y = 280 (1) Người thứ hai đi với vận tốc 60 km/h và xuất phát lúc 8 giờ 30 phút, ta được: æ ö ç 17÷ 60çx - ÷= y Û 60x - y = 510 (2) èç 2 ø÷ ì ï 40x - y = 280 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï 60x - y = 510 îï ì ï 1 ï x = 11 Giải hệ phương trình, ta được: í 2 . ï y = 180 îï 1 Hai người gặp nhau lúc 11 h, hay 11 giờ 30 phút. 2 Ví dụ 4 34.
  35. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Một chiếc ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định, nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB . Gọi vận tốc dự định của ca nô đi từ A đến B là y (h); (y > 2) . Thời gian dự định đi từ A đến B là xy (km). Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x + 3)(y - 2) = xy (1) Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x - 3)(y + 3) = xy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ïì ì ï (x + 3)(y - 2) = xy ï 2x - 3y = - 6 íï Û í ï (x - 3)(y + 3) = xy ï 3x - 3y = 9 îï îï Giải hệ phương trình, ta được x = 15,y = 12 (thoả mãn). Vậy khúc sông AB dài 15.12 = 180 (km). Ví dụ 5 Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Gọi x (h) là thời gian dự định đi lúc đầu (x > 0) . y (km) là độ dài quãng đường AB (y > 0) . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được y = x + 2 Û 35x - y = - 70 (1) 35 Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta được: y = x - 1 Û 50x - y = 50 (2) 50 ì ï 35x - y = - 70 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: í ï 50x - y = 50 îï ì ï x = 8 Giải hệ phương trình ta được: í . ï y = 350 îï Vậy quãng đường AB bằng 350 km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ. Ví dụ 6 Một ô tô dự định đi từ A đến B trong khoảng thời gian nhất định. Nếu ô tô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Nếu ô tô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi chậm mất so với dự định là 5 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô. 35.
  36. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô và y là thời gian dự định của ô tô để đi hết quãng đường AB . Điều kiện x,y ³ 0 . Vậy quãng đường AB dài xy (km). Nếu ô tô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Nên ta có phương trình: (x + 10)(y - 3) = xy (1) Nếu ô tô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi chậm mất so với dự định là 5 giờ. Nên ta có phương trình: (x - 10)(y + 5) = xy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ïì ì ï (x + 10)(y - 3) = xy ï xy - 3x + 10y - 30 = xy íï Û í ï (x - 10)(y + 5) = xy ï xy + 5x - 10y - 50 = xy îï îï ì ì ï - 3x + 10y = 30 ï x = 40 Û í Û í . ï 5x - 10y = 50 ï y = 15 îï îï Vậy vận tốc của ô tô là 40 (km/h) và thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 15 giờ. Ví dụ 7 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút. Biết rằng vận tốc khi lên dốc cả đi và về là giống nhau và vận tốc khi xuống dốc cả đi và về là giống nhau. Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc khi xuống dốc. Gọi x,y (km/h) là vận tốc xe đạp lúc lên dốc và xuống dốc. Điều kiện: x,y > 0 . 4 5 Thời gian đi từ A đến B là + (h). x y 5 4 Thời gian đi từ B về A là + (h). x y ïì 4 5 40 ï + = ï x y 60 Theo giả thiết ta có hệ phương trình: íï . ï 5 4 41 ï + = îï x y 60 Giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta được nghiệm của hệ là ì ï x = 12 í . ï y = 15 îï Vậy vận tốc của xe đạp lúc lên dốc là: 12 (km/h) và vận tốc của xe đạp lúc xuống dốc là: 15 (km/h). Ví dụ 8 Hai người ở hai địa điểm cách nhau 8 km và khởi hành cùng lúc nhưng đi ngược chiều nhau. Gặp nhau ở một vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành là 5 km. Nếu vận tốc không đổi nhưng 36.
  37. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ người đi chậm xuất phát trước người kia là 32 phút thì hai người gặp nhau ở điểm giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi chậm hơn và y (km/h) là vận tốc của người đi nhanh hơn. Điều kiện x,y > 0 . Vì hai người gặp nhau tại điểm cách một trong hai người. Suy ra địa điểm đó cách người đi chậm là 5 km và cách người đi nhanh là 3 km. Do thời gian đi của hai người trên quãng đường họ bằng nhau nên ta có phương trình: 3 5 = (1) x y 32 Vì gặp nhau tại điểm ở giữa AB , mà người đi chậm xuất phát từ trước 32 phút tức 60 4 4 32 giờ. Nên ta có phương trình: = + (2) x y 60 ïì 3 5 ï = ï x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 4 4 32 ï = + îï x y 60 Giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta được nghiệm của hệ phương ì ï x = 3 trình là: í . ï y = 5 îï Vậy vận tốc của người đi chậm là: 3 (km/h), vận tốc người đi nhanh là: 5 (km/h). Ví dụ 9 Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của ca nô không đổi). Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi là x (km/h) và vận tốc thật của ca nô đi ngược là y (km/h) (x,y > 3) . Ta có hệ phương trình: ì ï x + 3- (y - 3) = 9 ì ï ï x = 27 í 5 5 Û í . ï (x + 3) + (y - 3) = 85 ï y = 24 îï 3 3 î Ví dụ 10 Một chiếc ca nô chạy trên sông 7 h, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác ca nô cũng chạy trong 7 h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc của dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô. Gọi x (km/h) là vận tốc riêng của ca nô, y (km/h) là vận tốc của dòng nước chảy. ì ï x > ï Điều kiện í y > 0 ï ï x > y îï 37.
  38. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: (x + y) (km/h). Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: (x - y) (km/h). 108 Ta có: Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là: (giờ). x + y 63 Thời gian ca nô lúc ngược dòng là: (giờ). x - y Chiếc ca nô chạy trên sông 7 h, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km nên ta có 108 63 phương trình: + = 7 (1) x + y x - y 81 Mặt khác: Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là: (giờ). x + y 84 Thời gian ca nô lúc ngược dòng là: (giờ). x - y Chiếc ca nô chạy trên sông 7 h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km nên ta có 81 84 phương trình: + = 7 (2) x + y x - y ïì 108 63 ï + = 7 ï x + y x - y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï ï 81 84 ï + = 7 îï x + y x - y Giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ , rồi đối chiếu điều kiện của bài ì ï x = 24 toán ta có nghiệm của phương trình là: í (thoả mãn). ï y = 3 îï Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h; vận tốc dòng nước y = 3 km/h. C. LỜI BÌNH Dạng toán chuyển động là dạng toán quan trọng trong chương trình Trung học cơ sở. Đây cũng là dạng toán thường xuất hiện trong các kì thi vào 10. Các công thức s = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian), Vt xuoi = Vt + Vn ;Vt nguoc = Vt - Vn thường được sử dụng giải dạng toán này. D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán 1 Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được 2 giờ. Một lần khác hau người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phút họ còn cách nhau 10, 5 km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38 km. Bài toán 2 Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km. Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khỏi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút 38.
  39. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng. Bài toán 3 Hai ô tô khỏi hành cùng lúc từ A và đi ngược chiều nhau. Sau 4 giờ hai ô tô cách nhau 380 km. tính vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc của ô tô thứ hai kém vận tốc của ô tô thứ nhất là 5 km/h. Bài toán 4 Đoạn đường AB dài 200 km. Cùng lúc một xe máy đi từ A và một ô tô đi từ B , xe máy và xe ô tô gặp nhau tại C cách A 120 km. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì gặp nhau tại D cách C 24 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy. Bài toán 5 Phi công A mất nhiều thời gian hơn phi công B 18 phút để vượt qua quãng đường 450 dặm. Nếu tăng vận tốc lên gấp đôi thì phi công A đến sớm hơn phi công B là 36 phút. Tính vận tốc lúc đầu của phi công A và vận tốc của phi công B . (đơn vị tính vận tốc là dặm/phút). E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 Gọi vận tốc của bác Toàn là x (km/h), x > 0 ; vận tốc của cô Ba Ngần là y (km/h), y > 0 . ì ï 1, 5x + 2y = 38 ï Ta có hệ phương trình: í 5 5 ï x + y = 38 - 10, 5 îï 4 4 Trả lời: Vận tốc của bác Toàn là 12 km/h, vận tốc của cô Ba Ngần là 10 km/h. Bài toán 2 Gọi vận tốc xe khách là x (km/h), x > 0 ; vận tốc của xe hàng là y (km/h), 0 0 . Vận tốc của ô tô thứ hai kém vận tốc của ô tô thứ nhất là 5 km/h nên ta có phương trình: x = y + 5 Û x - y = 5 (1) Trong 4 giờ ô tô thứ nhất đi được 4x (km); Trong 4 giờ ô tô thứ hai đi được 4y (km). Vậy sau 4 giờ hai ô tô cách nhau: 4x + 4y (km). 39.
  40. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Theo giả thiết hai ô tô cách nhau 380 km nên ta có phương trình: 4x + 4y = 380 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ïì ì ï x - y = 5 ï x = 50 íï Û í . ï 4x + 4y = 380 ï y = 45 îï îï Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 (km/h) và vận tốc của ô tô thứ hai là 45 (km/h). Bài toán 4 Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) và vận tốc của ô tô là y (km/h) (x,y > 0) . ì ï 120 80 ï = ì ï x y ï x = 60 Ta có hệ phương trình íï Û í . ï 104 96 ï y = 40 ï - = 1 îï îï y x Bài toán 5 Gọi x,y (dặm/phút) là vận tốc của phi công A và phi công B . Điều kiện: x,y > 0 Vì phi công A mất nhiều hơn phi công B là 18 phút để vượt qua quãng đường 450 dặm 450 450 nên ta có phương trình: = + 18 (1) x y Mặt khác khi tăng vận tốc lên gấp đôi thì phi công A đến sớm hơn phi công B là 36 450 450 phút nên ta có phương trình: = - 36 (2) 2x y ïì 450 450 ï = + 18 ï x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 450 450 ï = - 36 îï 2x y Giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có được nghiệm của hệ ì ï 25 ï x = phương trình là: í 6 (thoả mãn điều kiện). ï y = 5 îï 25 Vậy vận tốc của phi công A là (dặm/phút) và vận tốc của phi công B là 5 6 (dặm/phút). §6. DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cần phải “phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập hệ phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán. 40.
  41. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Để làm tốt công việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán như: Sanluong = NangsuatxThoigian Dạng bài toán làm chung, làm riêng thường phải phân tích được: - Năng suất làm riêng được một phần của công việc. - Thiết lập phương trình khi làm riêng công việc. - Thiết lập phương trình khi làm chung công việc. Dạng toán năng suất liên quan đến phần tram: x 100 x 100 + x x% = và tăng vượt mức x% tức là: + = . 100 100 100 100 B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. Bước 2: Giải hệ phương trình. Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời. Ví dụ 1 Hi đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phân việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Ta có bảng phân tích: Đội Thời gian hoàn thành công việc Năng suất 1 ngày (ngày) Đội A x 1 x Đội B y 1 y Hai đội 24 1 24 Từ đây ta có lời giải bài toán: Gọi x (ngày) là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc; y (ngày) là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc (điều kiện x,y > 24 ) 1 1 Mỗi ngày: Đội A làm được (công việc); đội B làm được (công việc). x y Do mỗi ngày, phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 41.
  42. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 1 1 1 3 1 = 1, 5. Û = . (1) x y x 2 y Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày 2 đội cùng làm thì 1 được (công việc), ta có phương trình: 24 1 1 1 + = (2) x y 24 ïì 1 3 1 ï = . ï x 2 y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 1 1 1 ï + = îï x y 24 Giải hệ phương trình ta được: x = 40 và y = 60 (thoả mãn). Vậy đội A làm một mình trong 40 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc, đội B làm một mình trong 60 ngày thì hoàn thành công việc. Ví dụ 2 Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng làm chung được 8 ngày thì đội một được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội hai làm việc, do cải tiến cách làm, năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3, 5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu., nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên? Ta có bảng phân tích sau: Đội Thời gian hoàn thành công việc Năng suất 1 ngày (ngày) Đội một x 1 (CV) x Đội hai y 1 (CV) y Hai đội 12 1 (CV) 12 Ta có lời giải bài toán: Gọi thời gian đội một làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là x (ngày), (x > 12) . Thời gian đội hai làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là y (ngày), (y > 12) . 1 1 Mỗi ngày đội một làm được (công việc), đội hai làm được (công việc). Hai đội làm x y 1 1 1 chung trong 12 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: + = (1) x y 12 42.
  43. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 8 2 Hai đội làm trong 8 ngày được = (công việc), do cải tiến cách làm năng suất của 12 3 2 đội hai tăng gấp đôi được , nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3, 5 ngày, ta có y phương trình: 2 2 7 7 1 + . = 1 Û = Û y = 21 (2) 3 y 2 y 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ïì 1 1 1 ï + = 1 1 1 íï x y 12 Þ + = Û x = 28. ï ï y = 21 x 21 12 îï ì ï x = 28 Giải hệ phương trình, ta được: í . ï y = 21 îï Vậy với năng suất ban đầu, để hoàn thành công việc đội một làm trong 28 ngày, đội hai làm trong 21 ngày. Ví dụ 3 Năm ngoái, hai đơn vị sản suất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoài. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Ta có bảng phân tích: Năm ngoái Năm nay Đơn vị một x (tấn) 115x% (tấn) Đơn vị hai y (tấn) 112y% (tấn) Hai đơn vị 720 (tấn) 819 (tấn) Từ đây ta có lời giải bài toán: Gọi x (tấn) là số thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị một, y (tấn) là số thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị hai (x,y > 0) . Năm ngoái cả hai đội thu hoạch được 720 (tấn) ta có phương trình: x + y = 720 (1) Năm nay đội một thu hoạch được 115% (tấn) thóc, đội hai thu hoạch được 112% (tấn) thóc, tổng 2 đội thu hoạch được 819 (tấn) ta có phương trình: 115%x + 112%y = 819 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ì ì ï x + y = 720 ï x + y = 720 í Û í ï 115%x + 112%y = 819 ï 115x + 112y = 81900 îï îï ì ï x = 420 Giải hệ phương trình, ta được: í . ï y = 300 îï 43.
  44. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Vậy năm ngoái đội một thu hoạch được 420 tấn thóc. Đội hai thu hoạch được 300 tấn thóc. Ví dụ 4 1 Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc, hai máy cày đã cày được cánh đồng trong 6 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ hai làm một mình trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì có thể xong cánh đồng trong bao lâu? Ta có bảng phân tích sau: Thời gian Khối lượng công việc Khối lượng công việc Khối lượng công của máy thứ nhất của máy thứ hai việc của máy 1, 2 Máy 1 và máy 2 15 15 1 cùng làm 15 giờ x y 6 Máy 1 làm 12 giờ 12 20 1 Máy 2 làm 20 giờ x y 5 Từ đây ta có lời giải bài toán: Gọi thời gian máy thứ nhất cày một mình xong cánh đồng là x (h); thời gian máy thứ hai cày một mình xong cánh đồng là y (h); điều kiện: x,y > 20 . Hai máy cày đã cùng cày cánh đồng trong 15 giờ; nên một giờ máy thứ nhất cày được là 15 15 (cánh đồng), một giờ máy thứ hai cày được (cánh đồng). x y 15 15 1 Nên ta có phương trình: + = (1) x y 6 12 Theo giả thiết, ta có 12 giờ máy thứ nhất cày được (cánh đồng), 20 máy thứ hai cày x 20 được là (cánh đồng). y 12 20 1 Nên ta có phương trình: + = (2) x y 5 ïì 15 15 1 ï + = ï x y 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 12 20 1 ï + = îï x y 5 Giải hệ phương trình, ta có x = 360;y = 120 (thoả mãn). Vậy máy cày thứ nhất làm một mình mất 360 giờ, máy thứ hai làm một mình mất 120 giờ. Ví dụ 5 44.
  45. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai dây chuyền thứ nhất tăng công suất lên 18% và dây chuyền thứ hai tăng năng suất lên 15% thì số áo của hai dây chuyền may được là 1083 cái áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu cái áo? Gọi x,y lần lượt là số áo của dây chuyền thứ nhất và dây chuyền thứ hai may được trong ngày thứ nhất. Ta có: x + y = 930 (1) Ngày thứ hai dây chuyền thứ nhất may được là: æ ö 18 ç 18 ÷ 118 x + x = ç1+ ÷x = (cái áo) 100 èç 100ø÷ 100 Ngày thứ hai dây chuyền thứ hai may được là: æ ö 15 ç 15 ÷ 115 y + y = ç1+ ÷y = y (cái áo). 100 èç 100ø÷ 100 Vậy trong ngày thứ hai cả hai dây chuyền may được là: 118 115 x + y (cái áo) 100 100 118 115 Do đó: x + y = 1083 (2) 100 100 ì ï x + y = 930 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í ï 118x + 115y = 108300 îï ì ï x = 450 Giải hệ này ta được: í . ï y = 480 îï Vậy ngày thứ nhất dây chuyền thứ nhât may được 450 cái áo và dây chuyền thứ hai may được 480 cái áo. Ví dụ 6 Hai người thợ xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai 3 xây dựng được bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong bức tường? 4 Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường, y (giờ) là thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tường (điều kiện x > 0,y > 0 ). 1 Trong một giờ người thứ nhất làm được (bức tường). x 1 Trong một giờ người thứ hai làm được (bức tường). y 36 Ta có: 7 giờ 12 phút = (giờ) 5 45.
  46. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Vì hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong nên ta có phương 1 1 5 trình: + = (1) x y 36 3 Người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì xây được bức 4 5 6 3 tường nên ta có phương trình: + = (2) x y 4 ïì 1 1 5 ï + = ï x y 36 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 5 6 3 ï + = îï x y 4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ rồi đối chiếu điều kiện ta được: x = 12,y = 18. Vậy người thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 12 giờ; người thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 18 giờ. Ví dụ 7 Trong tháng 3 hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4 , tổ 1 vượt mức 15% , tổ 2 vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3 mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh. Gọi x (cây) là số cây xanh tổ 1 trồng được trong tháng 3 (x Î N *) . Gọi y (cây) là sô cây xanh tổ trồng được trong tháng 3 (y Î N *) . Tháng 3 hai tổ trồng được 720 cây xanh, ta được x + y = 720 . Tháng 4 , tổ 1 vượt mức 15% , tổ 2 vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh, ta được: æ ö æ ö ç 15 ÷ ç 12 ÷ çx + x÷+ çy + .y÷= 819 Û 115x + 112y = 81900 . èç 100 ø÷ èç 100 ø÷ ì ï x + y = 720 Ta được hệ phương trình: í . ï 115x + 112y = 81900 îï ì ï x = 420 Giải hệ phương trình ta được: í . ï y = 300 îï Vậy trong tháng 3 tổ 1 trồng được 420 cây và tổ 2 trồng được 300 cây. Nhận xét Ví dụ 7 tương tự ví dụ 3. Ví dụ 8 Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ thì có năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc và cả bảy cần cẩu làm việc trong 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu sẽ xong công việc? Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc thì sau 4 giờ sẽ xong công việc. Gọi x (giờ) là thời gian mà một cần cẩu có công suất lớn làm xong công việc một mình. 46.
  47. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Gọi y (giờ) là thời gian mà một cần cẩu có công suất nhỏ làm xong công việc một mình. Điều kiện: x,y > 0 . 1 Trong một giờ thì một cần cẩu có công suất lớn bốc dỡ được (lô hàng). x 1 Trong một giờ thì một cần cẩu có công suất bé bốc dỡ được (lô hàng). y Hai cần cẩu lớn bốc dỡ lô hàng thì 3 giờ sau có thêm năm cần cẩu lớn đến cũng bốc dỡ và tất cả làm việc trong 3 giờ nữa mới xong nên ta có phương trình: 2.(3 + 3) 5.3 12 15 + = 1 Û + = 1 (1) x y x y Mặt khác khi cả bảy cần cẩu (cần cẩu công suất lớn và cần cẩu công suất nhỏ) cùng làm 8 20 việc thì sau 4 giờ sẽ bốc dỡ xong lô hàng nên ta có phương trình: + = 1 (2) x y ïì 12 15 ï + = 1 ï x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï . ï 8 20 ï + = 1 îï x y Giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta được nghiệm của hệ phương ì ï x = 24 trình là í , thoả mãn điều kiện. ï y = 30 îï Vậy một cần cẩu có công suất lớn làm việc một mình trong 24 giờ thì bốc dỡ xong lô hàng, một cần cẩu có công suất bé làm việc một mình trong 30 giờ thì bốc dỡ xong lô hàng. Ví dụ 9 Để sản xuất một máy điện thoại A cần 3 kg đồng và 2 kg chì, để sản xuất một máy điện thoại B cần 2 kg đồng và 1 kg chì. Sau khi sản xuất đã sử dụng hết 130 kg đồng và 80 kg chì. Hỏi đã sản xuất được bao nhiêu máy điện thoại loại A , bao nhiêu máy điện thoại loại B ? Gọi x là số máy điện thoại loại A đã sản xuất. y là số máy điện thoại loại B đã sản xuất. Số kg đồng đã sử dụng là: 3x + 2y (kg) Số kg chì đã sử dụng là: 2x + y (kg) ì ï 3x + 2y = 130 Ta có hệ phương trình: í . ï 2x + y = 80 îï Giải hệ phương trình ta được x = 30,y = 20 . Vậy đã sản xuất được 30 máy điện thoại loại A và 20 máy điện thoại loại B . Ví dụ 10 Mỗi vòi A,B khi mở chảy nước vào hồ chứa với lưu lượng đều. Nếu vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì nước trong hồ là 55 lít. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 47.
  48. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 4 giờ thì nước trong hồ là 57 lít. Vậy nếu hai vòi chảy cùng lúc thì làm đầy hồ với 320 lít nước trong bao lâu? Gọi x (lít) là lưu lượng nước mà vòi A chảy trong một giờ. Gọi y (lít) là lưu lượng nước mà vòi B chảy trong một giờ. Điều kiện: x,y > 0 . Vì khi mở vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì nước trong hồ là 55 lít. Nên ta có phương trình 4x + 3y = 55 (1) Mặt khác khi mở vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 4 giờ thì nước trong hồ là 57 lít. Nên ta có phương trình: 3x + 4y = 57 (2) ì ï 4x + 3y = 55 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: í . ï 3x + 4y = 57 îï ì ï x = 7 Giải hệ này, ta được: í . ï y = 9 îï Do đó trong một giờ vòi A chảy được lưu lượng là 7 lít và vòi B chảy được lưu lượng là 9 lít. Cả hai vòi chảy cùng lúc trong một giờ sẽ chảy được 7 + 9 = 16 (lít). 320 Vậy để khi mở hai vòi chảy đồng thời thì sau = 20 (giờ) sẽ chảy đầy bể 320 lít. 16 C. LỜI BÌNH Dạng toán năng suất là dạng toán quan trọng trong chương trình toán Trung học sơ sở. Chúng ta cần chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán: Sanluong = NangsuatxThoigian Đây là dạng toán thực tế cũng thường được sử dụng nhiều trong các kì thi lớp 9 vào lớp 10. D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán 1 Hai người phụ trách đánh máy lại một tài liệu. Nếu cả hai người cùng làm liên tục thì sẽ hoàn thành xong sau 4 giờ 48 phút. Một ngày, người thứ hai bận nên người thứ nhất đánh máy trong 4 giờ thì bàn giao lại cho người thứ hai. Người thứ hai đánh máy tiếp trong 3 giờ thì phải đi công việc. Vì vậy mà người thứ nhất quay lại đánh máy và sau 2 giờ thì hoàn thành xong. Hỏi nếu mỗi người làm riêng lẻ thì sau bao lâu thì đánh máy xong tập tài liệu, với giả thiết rằng năng suất đánh máy của mỗi người là như nhau tại mỗi thời điểm? Bài toán 2 Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn. Bài toán 3 48.
  49. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc? Bài toán 4 Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba ngươi thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mỗi thợ đều như nhau? E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 Gọi x và y lần lượt là số giờ nếu người thứ nhất và người thứ hai riêng lẻ đánh máy xong tập tài liệu. Điều kiện: x,y > 0 . Suy ra trong một giờ: 1 - Người thứ nhất đánh máy được tài liệu. x 1 - Người thứ hai đánh máy được tài liệu. y æ ö ç1 1÷ Vậy trong một giờ, nếu cả hai người cùng đánh máy sẽ hoàn thành được ç + ÷ tài liệu. èçx y ø÷ 48 24 Ta có 4 giờ 48 phút = 4 + = giờ. 60 5 24 Trong giờ, cả hai người cùng đánh máy sẽ hoàn thành xong tài liệu nên trong một giờ 5 24 5 sẽ hoàn thành trong 1 : = giờ. 5 24 1 1 5 Ta có phương trình: + = (1) x y 24 Người thứ nhất đánh máy lần đầu là 4 giờ và lần sau 2 giờ nên tổng số giờ đánh máy là 6 giờ. 1 Trong một giờ, người thứ nhất đánh máy được tài liệu nên trong 6 giờ sẽ đánh đươc x 6 tài liệu. x Người thứ hai đánh máy chỉ trong 3 giờ. Trong một giờ, người thứ hai đánh máy được 1 3 tài liệu nên trong 3 giờ sẽ đánh máy được tài liệu. y y 6 3 Ta có phương trình: + = 1 (2) x y 1 1 Đặt u = và v = . Điều kiện u,v ¹ 0 . x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 49.
  50. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ ïì ì ï ï 5 ïì 5 ï 5 ï u = - v ï u = - v ï u + v = ï 24 ï í 24 Û í Û í 24 ï ï æ5 ÷ö ï 1 ï 6u + 3v = 1 ï 6ç - v÷+ 3v = 1 ï - 3v = - ï ï ç ÷ ï îï îï è24 ø îï 4 ïì 5 ïì 1 ï u = - v ï u = ï ï Û íï 24 Û íï 8 . ï 1 ï 1 ï v = ï v = îï 12 îï 12 ïì 1 ïì 1 1 ï u = ï = ì ï ï ï x = 8 Khi íï 8 ta có íï x 8 Û í . ï 1 ï 1 1 ï y = 12 ï v = ï = îï îï 12 îï y 12 Vậy nếu đánh máy riêng lẻ thì sau 8 giờ thứ nhất hoàn thành xong và sau 12 giờ người thứ hai hoàn thành xong. Bài toán 2 Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), của lúa giống cũ là y (tấn); x > 0,y > 0. ì ï 60x + 40y = 460 Ta có hệ phương trình: í ï 4y - 3x = 1 îï Trả lời: Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn, năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn. Bài toán 3 Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (ngày), x > 0 ; thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (ngày), y > 0 . ïì 1 1 1 ï + = ï x y 4 Ta có hệ phương trình: íï . ï 10 1 ï + = 1 îï x y Giải hệ phương trình ta được (x;y) = (12;6) . Trả lời: Người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong việc, người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì xong việc. Bài toán 4 Gọi số thợ cần thiết là x (người), x Î N * , thời gian cần thiết là y (ngày), y > 0 . Gọi toàn bộ công việc như một đơn vị công việc, thì một người thợ trong 1 ngày làm 1 được (công việc). xy Nếu giảm đi ba người thì thời gian kéo dài thêm 6 ngày. Như vậy x - 3 người làm trong 1 y + 6 ngày thì được (x - 3)(y + 6) = 1 (toàn bộ công việc). xy Tương tự nếu tăng thêm hai người thì chỉ cần y - 2 ngày. Như vậy x + 2 người làm 1 trong y - 2 ngày được (x + 2)(y - 2) = 1 . xy 50.
  51. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ ì ï (x - 3)(y + 6) = xy Tóm lại ta có hệ phương trình: í . ï (x + 2)(y - 2) = xy îï Giải hệ ta được (x;y) = (8;10) . Trả lời: 8 người và 10 ngày. §7. BÀI TOÁN THỰC TẾ ĐƯA ĐẾN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN (SỐ ẨN LỚN HƠN 2) A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Giải toán hệ phương trình nhiều ẩn (số ẩn) cũng tương tự như giải toán hệ phương trình hai ẩn, chỉ khác là: - Phải chọn nhiều ẩn số. - Lập một hệ nhiều phương trình. Nói chung chọn bao nhiêu ẩn số thì phải có lập một hệ có bấy nhiêu phương trình. B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Gọi x,y,z,t, là các ẩn cần tìm. - Lập hệ phương trình chứa các ẩn x,y,z,t, này. - Giải hệ phương trình. - Rút ra kết quả bài toán. Ví dụ 1 Có 4 vòi nước có thể bơm nước vào một cái bể. Nếu mở các vòi 1,2, 3 cùng một lúc thì bể đầy trong 12 phút. Nếu mở các vòi 2, 3, 4 cùng một lúc thì bể đầy trong 15 phút. Nếu mở các vòi 1 và 4 cùng một lúc thì bể đầy trong 20 phút. Hỏi nếu mở cả 4 vòi 1,2, 3, 4 cùng một lúc thì bể sẽ đầy trong bao nhiêu phút? Gọi x (phút), y (phút), z (phút), v (phút) lần lượt là thời gian mà vòi 1,2, 3, 4 chảy một mình đầy bể. 1 Trong 1 phút vòi 1 chảy được bể; x 1 Vòi 2 chảy được bể; y 1 Vòi 3 chảy được bể; z 1 Vòi 4 chảy được bể. v 1 1 Theo giả thiết, trong 1 phút vòi 1,2, 3 cùng chảy được bể; vòi 2, 3, 4 cùng chảy được 12 15 bể. 1 Vòi 1, 4 cùng chảy được bể. 20 51.
  52. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 1 1 1 1 + + = x y z 12 1 1 1 1 Ta có hệ phương trình: + + = . y z v 15 1 1 1 + = x v 20 Cộng ba phương trình trên lại ta được: æ ö ç1 1 1 1÷ 1 1 1 2ç + + + ÷= + + . èçx y z vø÷ 12 15 20 1 1 1 1 1 Suy ra + + + = . x y z v 10 1 Nếu mở cả 4 vòi cùng một lúc thì trong 1 phút chảy được bể. 10 Vậy nểu mở cả 4 vòi cùng một lúc thì bể sẽ đầy trong 10 phút. Ví dụ 2 Ba công nhân phải sản suất 80 vật dụng giống nhau. Nếu cùng làm chung thì họ sản xuất được 20 vật dụng mỗi giờ. Trước tiên, công nhân 1 làm một mình được 20 vật. Phần còn lại của công việc dành cho công nhân 2 và công nhân 3 cùng làm chung trong 4 giờ mới xong. Hỏi công nhân 1 làm riêng một mình phải mất bao nhiêu giờ mới xong công việc? Gọi x (h) là số giờ công nhân 1 làm một mình xong công việc; y (h) là số giờ công nhân 2 làm một mình xong công việc; z (h) là số giờ công nhân 3 làm một mình xong công việc; 20 1 Trong 1 giờ, 3 công nhân cùng làm được = công việc. 80 4 1 1 1 1 Vậy ta có + + = (1) x y z 4 60 3 Phần việc còn lại dành cho 2 công nhân 2 và 3 làm chung trong 4 giờ là: = công việc. 80 4 4 4 3 1 1 3 Vậy + = (2), suy ra + = (2’) y z 4 y z 16 1 1 3 1 Từ (1) và (2’) ta có: = - = . x 4 16 16 Vậy công nhân 1 làm một mình trong 16 giờ thì xong công việc. Ví dụ 3 Năm người cùng có trách nhiệm làm một công việc. Nếu người 1 , người 2 , người 3 cùng làm thì công việc xong trong 7, 5 giờ. Nếu người 1 , người 3 , người 5 cùng làm thì công việc xong trong 5 giờ. Nếu người 1 , người 3 , người 4 cùng làm thì công việc xong trong 6 giờ. Nếu người 2 , người 4, người 5 cùng làm thì công việc xong trong 4 giờ. Hỏi cả năm người cùng làm thì công việc sẽ xong trong mấy giờ? Gọi x (h) là thời gian người 1 làm một mình xong công việc; y (h) là thời gian người 2 làm một mình xong công việc; 52.
  53. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ z (h) là thời gian người 3 làm một mình xong công việc; t (h) là thời gian người 4 làm một mình xong công việc; v (h) là thời gian người 5 làm một mình xong công việc. Trong 1 giờ, người 1 , người 2 , người 3 cùng làm được: 1 1 1 + + công việc. x y z Theo giả thiết nếu ba người 1,2, 3 cùng làm thì công việc xong trong 7, 5 giờ. Do đó, trong 1 1 2 giờ, ba người 1,2, 3 cùng làm được hay công việc. 7, 5 15 1 1 1 2 Vậy ta có phương trình: + + = (1) x y z 15 Trong 1 giờ, người 1 , người 3 , người 5 cùng làm được 1 1 1 + + công việc. x z v 1 1 1 1 Ta có phương trình: + + = (2) x z v 5 Trong 1 giờ, người 1 , người 3 , người 4 cùng làm được. 1 1 1 + + công việc. x z t 1 1 1 1 Ta có phương trình: + + = (3) x z t 6 Trong 1 giờ, người 2 , người 4 , người 5 cùng làm được 1 1 1 + + công việc. y t v 1 1 1 1 Ta có phương trình: + + = (4) y t v 4 ïì 1 1 1 2 ï + + = (1) ï x y z 15 ï ï 1 1 1 1 ï + + = (2) ï Ta được hệ phương trình: íï x z v 5 ï 1 1 1 1 ï + + = (3) ï x z t 6 ï 1 1 1 1 ï + + = (4) îï y t v 4 1 1 1 1 1 Từ hệ phương trình trên ta phải tình: + + + + . x y z t v Công ba phương trình (1), (2) (3), trong hệ: æ ö ç1 1÷ 1 1 1 2 1 1 1 3ç + ÷+ + + = + + = . èçx z÷ø y t v 15 5 6 2 æ ö æ ö æ ö ç1 1÷ 1 1 1 ç1 1 1÷ 1 ç1÷ Suy ra: 3ç + ÷+ + + + 2ç + + ÷= + 2.ç ÷ èçx zø÷ y t v èçy t vø÷ 2 èç4ø÷ 53.
  54. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ æ ö ç1 1 1 1 1÷ Û 3ç + + + + ÷= 1. èçx y z t vø÷ 1 1 1 1 1 1 Vậy: + + + + = . x y z t v 3 1 Trong 1 giờ cả năm người làm được công việc. 3 Vậy cả năm người cùng làm chung thì công việc sẽ xong trong 3 giờ. C. LỜI BÌNH Bài toán thực tế đưa về hệ phương trình nhiều ẩn thường đưa về phương trình là lời giải của bài toán yêu cầu. Dạng toán này không yêu cầu tìm một cách cụ thể các biến x,y,z,t, là gì mà thường tính một tổng có chứa các ẩn này. Dạng toán này là một dạng toán hay, đòi hỏi người giải toán không theo đường mòn nếp cũ là giải giống hệ phương trình hai ẩn. D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán 1 Ba công nhân cùng làm một công việc xong trong 10 ngày trong đó người thứ ba chỉ làm trong 3 ngày đầu. Trong 3 ngày làm chung, cả ba người làm được 37% công việc. Khối lượng công việc mà người 1 làm được trong 5 ngày bằng khối lượng công việc mà người 2 làm được trong 4 ngày. Hỏi mỗi người làm một mình xong công việc trong bao nhiêu ngày? Bài toán 2 Có ba người thợ năng lực khác nhau cùng làm một công việc. Người 1 làm trong 6 giờ, tiếp theo đó người 2 làm trong 4 giờ và cuối cùng người 3 làm trong 7 giờ thì xong công việc. Nếu người 1 làm trong 4 giờ, tiếp theo đó người 2 làm trong 2 giờ và cuối cùng người 3 làm trong 5 giờ thì họ chỉ 2 làm được công việc đó. Hỏi nếu cả 3 người đồng thời cùng làm công việc đó thì bao lâu sẽ xong 3 công việc? E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 Gọi x (ngày) là thời gian người 1 làm một mình xong công việc, y (ngày) là thời gian người 2 làm một mình xong công việc. 1 Trong 1 ngày, người 1 làm được công việc. x 1 Trong 1 ngày, người 2 làm được công việc. y 63 Trong 7 ngày cuối, hai người công nhân 1,2 làm được công việc. 100 ïì 1 1 63 : 7 9 ï + = = ï x y 100 100 Dùng giả thiết dẫn đến hệ: íï ï 5 4 ï - = 0 îï x y Giải hệ được x,y 54.
  55. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ æ ö 37 ç3 3÷ Người 3 làm trong 3 ngày được: : ç + ÷ công việc. 100 èçx y ø÷ Đáp số: Người 1 : 25 ngày; Người 2 : 20 ngày; Người 3 : 30 ngày. Bài toán 2 6 giờ. §8. BÀI TOÁN THỰC TẾ ĐƯA ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0, x là ẩn số; a,b,c là những số cho trước, gọi là hệ số và a ¹ 0 . 2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn đặc biệt - Trường hợp c = 0 , lúc đó phương trình có dạng ax 2 + bx = 0 . b ax 2 + bx = 0 Û x(ax + b) = 0 Û x = 0 hoặc x = - . a - Trường hợp b = 0 , lúc đó phương trình có dạng ax 2 + c = 0 . c ax 2 + c = 0 Û x 2 = - a c Nếu a và c cùng dấu thì - 0 , phương trình có hai nghiệm đối nhau x = ± - . a a 3. Cách giải phương trình bậc haii một ẩn tổng quát Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) . Xét biệt thức D = b2 - 4ac . D > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: - b + D - b - D x = ;x = . 1 2a 2 2a b D = 0 , phương trình có vô nghiệm kép: x = x = - . 1 2 2a D < 0, phương trình vô nghiệm. B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁO GIẢI - Gọi x là ẩn cần tìm. - Đưa bài toán về tìm nghiệm của phương trình bậc hai đối với ẩn x . - Tính biệt thức D . - Rút ra nghiệm. 55.
  56. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Ví dụ 1 1 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 3 quãng đường AB , người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại nên người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Tìm vận tốc dự định và thời gian người đó dự định đi từ A đến B . Gọi x (km/h) là vận tốc xe đạp dự định đi. 24 2 Điều kiện: x > 0 ; 24 phút = giờ = giờ. 60 5 120 Thời gian xe đạp đi từ A đến B là giờ. x 1 1 quãng đường đầu dài : .120 = 40 (km). 3 3 1 40 Thời gian người đó đi quãng đường đầu : giờ. 3 x 2 quãng đường còn lại dài : 120- 40 = 80 (km). 3 2 Vận tốc mà người đó đi quãng đường còn lại là: (x + 10) km/h. 3 2 80 Suy ra thời gian mà người đó đi quãng đường còn lại: giờ. 3 x + 10 Suy ra tổng thời gian mà người đó đi hết quãng đường AB là: 40 80 + . x x + 10 2 Mà người đó đến sớm hơn dự định giờ nên thời gian thực tế người đó đi hết quãng đường 5 120 2 AB là - . x 5 Ta có phương trình: 40 80 120 2 éx = 40 + = - Û x 2 + 10x - 2000 = 0 Û ê . êx = - 50 x x + 10 x 5 ëê Vậy vận tốc xe đạp là 40 km/h. Ví dụ 2 Hai người đồng thời khởi hành tại hai địa điểm A,B cách nhau 40 km đi ngược chiều để gặp nhau. Người đi bộ từ đi từ A , người đi xe đạp đi từ B . Họ gặp nhau tại C sau khi đi được 2 giờ. Sau khi gặp nhau người đi bộ tiếp tục đi về B và người đi xe đạp đi về A . Biết rằng người đi bộ về đến B trễ hơn người đi xe đạp về đến A 7 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của mỗi người. Gọi x (km/h) là vận tốc người đi bộ. Sau 2 giờ người đi bộ đi quãng đường AC = 2x (km). Vậy quãng đường người đi xe đạp đi trong 2 giờ là: CB = 40- 2x (km). 40- 2x Vận tốc người đi xe đạp là: = 20- x (km/h) (0 < x < 20) . 2 56.
  57. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ 40 Thời gian người đi bộ đi từ A đến B là (h). x 40 Thời gian người đi xe đạp đi từ B đến A là: (h). 20- x 40 40 15 Ta có phương trình: - = Û 80(20- x) - 80x = 15x(20- x) x 20- x 2 Û 16(20- x) - 16x = 3x(20- x) Û 3x 2 - 92x + 320 = 0 . 80 Giải ra x = 4,x = (loại). 3 Vậy vận tốc người đi bộ là 4 (km/h), vận tốc người đi xe đạp là 16 (km/h). Ví dụ 3 Hai người khởi hành đồng thời từ hai địa điểm A,B cách nhau 50 km đi để gặp nhau. Họ gặp nhau sau 5 giờ tại điểm C trên đoạn AB . Sau khi gặp nhau, người 1 (đi từ A đến B ) giảm vận tốc bớt đi 1 km/h và người 2 (đi từ B đến A ) tăng vận tốc thêm 1 km/h. Kết cuộc, người 1 về đến B sớm hơn 2 giờ so với người 2 về đến A . Tìm vận tốc lúc ban đầu của mỗi người. A C B Gọi x (km/h) là vận tốc của người 1 trên quãng đường AC . Quãng đường người 1 đi trong 5 giờ là: AC = 5x (km). Quãng đường người 2 đi trong 5 giờ là: CB = 50- 5x (km). 50- 5x Vận tốc người 2 trên quãng đường CB là: = 10- x (km/h) 5 Vận tốc người 1 trên quãng đường CB là: x - 1 (km/h). 50- 5x Thời gian người 1 đi từ C đến B là: (h). x - 1 Vận tốc người 2 trên quãng đường AC là: 11- x (km/h) 5x Thời gian người 2 đi từ C đến A là: (h). 11- x Theo giả thiết người 1 về đến B sớm hơn người 2 về đến A 2 giờ nên ta có phương trình: 5x 50- 5x - = 2 11- x x - 1 Û 5x(x - 1) - (50- 5x)(11- x) = 2(x - 1)(11- x) Û 100x - 550 = - 2x 2 + 24x - 22 Û 2x 2 + 76x - 528 = 0 . Giải phương trình ta có x = 6;x = - 44 (loại). Vậy lúc ban đầu vận tốc của người 1 là 6 km/h, vận tốc của người 2 là 4 km/h. Ví dụ 4 57.
  58. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ Một chuyến tàu hoả tốc nhanh đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 80 km. Tàu khởi hành chậm 16 phút so với dự kiến ban đầu nên người lái tàu phải tăng vận tốc thêm 10 km/h so với vận tốc dự kiến. Vì vậy tàu hoả B đến đúng giờ so với quy định. Hỏi vận tốc dự kiến ban đầu của tàu và thời gian tàu đã đi từ A đến B . Gọi x (km/h) là vận tốc dự kiến của tàu hoả, x > 0 . 16 4 Vì khởi hành trễ 16 phút = = giờ nên vận tốc tàu là x + 10 (km/h). 60 15 80 Thời gian tàu dự định chạy từ A đến B là: (h). x 80 Thời gian tàu thực sự chạy từ A đến B là: (h). x + 10 Vì tàu đến B đúng giờ dự định nên ta có phương trình: 80 80 4 - = . x x + 10 15 20 20 1 Hay - = x x + 10 15 Û 3000 = x 2 + 10x Û x 2 + 102 - 3000 = 0 Giải phương trình ta được x = 50,x = - 60 . Vậy vận tốc dự kiến ban đầu của tàu hoả là 50 km/h. Thời gian tàu đã chạy từ A đến B là: 80 4 = (h) hay 1 giờ 20 phút. 50 + 10 3 v A Ví dụ 5 1 Vị trí hai tàu A,B trên mặt biển và bến cảng A 1 P tạo thành tam giác đều PAB có cạnh là x . Hai tàu khởi hành cùng một lúc đi theo 2 đường AP P 60° x và BP , cùng hướng về P . Tàu 1 khởi hành từ A , tàu 2 khởi hành từ B . Khi tàu 2 đi được 80 km thì v2 tàu 1 đến vị trí hai tàu và cảng P tạo thành một tam B 1 giác vuông góc. Khi tàu 1 đến cảng P thì tàu 2 còn 80kmB cách P 120 km/h. Tìm x ? Gọi v1 (km/h) là vận tốc tàu 1 ; v2 (km/h) là vận tốc tàu 2 . Khi tàu 1 đến cảng P tức là tàu 1 đi x (km) thì tàu 2 đi: x - 120 (km). x x - 120 Vậy ta có: = (1) v1 v2 Điều này cho thấy tàu 2 đi chậm hơn tàu 1 . 58.