100 Bài toán hình học ôn tập tốt nghiệp THCS

28 trang thaodu 2850

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "100 Bài toán hình học ôn tập tốt nghiệp THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

100_bai_toan_hinh_hoc_on_tap_tot_nghiep_thcs.pdf

Nội dung text: 100 Bài toán hình học ôn tập tốt nghiệp THCS

MOÄT TRAÊM BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC OÂN TAÄP TOÁT NGHIEÄP THCS Baøi 1 : Ñöôøng troøn (O,R) coù AB laø ñöôøng Baøi 3 : Cho ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R ) coù kính daây MN = R( Mvaø N thuoäc nöûa ñöôøng AK , BF , troøn theo thöù tö A, M ,N ,B).Goïi S laø giao CE laø ba ñöôøng cao caét nhau tai ïH .Goïi I laø trung ñieåm cuûa AM vaø BN, H laø giao ñieåm cuûa ñieåm BC BM vaø AN A Chöùng minh a)Tính soá ño cung MN. b)Tính soá ño caùc goùc ASB , MHN. c)Chöùng minh SMHN noäi tieáp . d) Chöùng minh: SH ⊥ AB . a) Neáu M vaø H ñoái xöùng nhau qua K thì M ∈ (O) e) Goïi I laø trung ñieåm SH. Chöùng minh IM laø . tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). b) Neáu D vaø H ñoái xöùng mhau qua I thì D ∈ (O) . Baøi 2 Cho hình veõ : Bieát ∆ABC noäi tieáp (O) c) OA ⊥ EF (ba caùch) vaø H laø taâm ñöôøng troøn coù AK , CE , BF laø ba ñöôøng cao , AD laø noäi tieáp ∆EKF . ñöôøng kính cuûa (O) , AK caét (O) taïi M (khaùc d) Tính R( ∆BHC ) theo R. A ). xy laø tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) Baøi 4 : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi tieáp (O;R ) AD , BE laø hai ñöôøng cao caét nhau taïi H . AK laø ñöôøng kính , AD caét ñöôøng troøn taïi I , Goïi F laø giao ñieåm CH vaø AB. Ñöôøng thaúng EF caét (O) taïi M vaø N I a) Tìm vaø chöùng minh ba töù giaùc coù ñænh laø H noäi tieáp ñöôùng troøn . b)Tìm vaø chöùng minh ba töù giaùc coù caïnh laàn löôït laø ba caïnh cuûa tam giaùc ABC noäi tieáp a)Chöùng minh BI KC laø hình thang caân. ñöôùng troøn . b)Chöùng minh BHCK laø hình bình haønh . c) Chöùng minh : c)Chöùng minh BH = BM ; HE = NE AE.AC = AF .AB d) Chöùng minh : EF//NP// xy .
d) Chöùng minh BHCD laø hình bình haønh . CD. CB = CE .CA e) Chöùng minh BMDC laø hình thang caân . AH.AD = AF.AB Baøi 5 : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi d)Chöùng minh AM = AN tieáp ñöôøng troøn (O) (AB < AC ) AH ; AK laàn e) Chöùng minh OA ⊥ EF löôït laø ñöôøng cao vaø phaân giaùc cuûa tam giaùc f) Cho bieát : AC = R 3 . Tính F Ê D v aø ñoä daøi ABC , AI caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai laø caùc ñoaïn thaúng DF , BH theo R . K ( K khaùc A ) g)Tính DA 2 +DB 2 + DC 2 + DI 2 theo R . Baøi 7 : Cho hình veõ : Bieát hai đưng tròn (O;R) a) Chöùng minh : BK = CK . và (O’;R’) ti p xúc ngoài t i A .CD laø tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ( C ∈ (O) , D ∈ (O )' b) Chöùng minh AK laø phaân giaùc cuûa O ÂH c) Keû ñöôøng kính AD cuûa ñöôøng troøn (O) a)Chöùng minh ∆ CAD vuoâng .Chöùng minh : AB.AC = AH.AD . b)Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD .Chöùng minh MA d) Chöùng minh : IA.I K = IB.IC . laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø vaø AB.KC = AK.BI . (O’) , töø ñoù suy ra OM ⊥ O’M e) Chöùng minh KB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn c) Caùc ñöôøng thaúng CA vaø DA laàn löôït caét (O) ngoaïi tieáp tam giaùc ABI. vaø (O’) ôû F vaø E .Chöùng minh C, O , E thaúng haøng vaø D , O , F thaúng haøng . Baøi 6: d) Tính CD 2 + EF 2 theo R vaø R’. Cho ñöôøng troøn (O; R) , Vôùi caùc kí hieäu coù e) Chöùng minh : ∆ = ∆ treân hình haõy chöùng minh: S CAD S EAF Baøi 8 : a)Töù giaùc CAIM , BDMI noäi tieáp . b)Tam giaùc CID vuoâng . c)EF // AB . d)Khi M coá ñinh I thay ñoåi treân AO , tìm vò trí cuûa I ñeå AC .BD lôùn nhaát . R e) Cho bieát khi OI = vaø AM = R .Haõy 3 Cho hình veõ , vôùi caùc kí hieäu coù treân hình chöùng tính ñoä daøi ñoaïn thaúng CD vaø dieän tích tam minh : a) CD = AC + BD vaø C ÔD = 90 0
giaùc CID theo R . CM DM b) = Baøi 9 : Cho ñöôøng troøn (O ;R ) vaø ñieåm M CE DE sao cho OM = 2R . Qua M veõ hai tieáp tuyeán c) CN = CA MA vaø MB vôùi ñöôøng troøn (O) ( A , B thuoäc d) Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø AD , F laø giao (O) ). C laø ñieåm baát kì thuoäc cung nhoû AB ñieåm cuûa MI vaø AB . Chöùng minh MI // AC vaø I .Tieáp tuyeán taïi C caét MA vaø MB laàn löôït taïi laø trung ñieåm cuûa MF. E vaø F . e) Chöùng minh : AB tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính CD. Baøi 11 : Cho ñöôøng troøn (O);R) vaø ñieåm M naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Qua ñieåm M veõ hai tieáp tuyeán MA , MB (A vaø B thuoäc (O) )vaø caùt tuyeán MCD (MC < MD) .Goïi I laø trung ñieåm cuûa CD .Ñöôøng thaúng OI caét ñöôøng thaúng AB taïi K .Ch ng minh a) Caùc töù giaùc MAOB , MHIK noäi tieáp ñöôøng troøn . 2 a)Chöùng minh : EF = EA + FB . b) OI .OK = R b) Tính chu vi cuûa tam giaùc MEF theo R . c) MH . MO = MC.MD c) Tính E Ô F . d) C ĤD = 2C ÂD c) Goïi I vaø K laàn löôït laø giao ñieåm cuûa OE vaø OF vôùi AB .Chöùng minh boán ñieåm F , I , O ,B BC AC cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn . e) = d) Khi Sñ cung BC baèng 90 0 ,Tính ñoä daøi EF BD AD vaø dieän tích tam giaùc OIK theo R. Baøi 10 : Cho ñöôøng troøn (O ; R ) coù AB laø ñöôøng kính Treân hai nöûa khaùc nhau cuûa ñöôøng troøn ta laáy hai ñieåm M vaø N sao cho AM = R 3 ; AN = R 2 .Caùc ñöôøng thaúng AM vaø AN caét tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn ôû C vaø D . Chöùng minh a) AM.AC = AN.AD . f)Cho bieát OM = 3R , CD = R 3 ,Tính dieän tích b)Töù giaùc MNDC noäi tieáp . tam giaùc MKC vaø MK theo R c) Goïi MK , NI , AJ laø ba ñöôøng cao cuûa tam Baøi 12 : giaùc AMN .Tính soá ño goùc vaø ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc KIJ. Cho ñöôøng troøn (O,R ) vaø ñieåm M sao cho OM = 3R .Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A vaø B thuoäc (O) ) Töø A veõ daây cung AD song song MB.Ñöôøng thaúng MD caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù
hai laø C khaùc D .Ñöôøng thaúng BC caét MA taïi F ,ñöôøng thaúng AC caét MB taïi E Baøi 13 : Cho đ ưng tròn tâm (O;R) có AB và 1)Chöùng minh : CD là hai đ ưng kính vuông góc nhau .I là m t a) Töù giaùc MAOB noäi tieáp . 1 2 đ i m n m trên OB sao cho OI = OB . Đ ưng b) EB = EC.EA 3 c) E laø trung ñieåm cuûa MB . th ng CI c t đ ưng tròn t i E và c t BD t i K. d) BC. MB = MC .AB Đưng th ng AE c t CD t i F .Ch ng minh: e) CF laø tia phaân giaùc M ĈA. 2)Tính dieän tích ∆ BAD theo R . 3)Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø MB. Baøi 15 : a)Töù giaùc OIED noäi tieáp vaø tính CI.CE theo R . c)Chöùng minh I laø troïng taâm cuûa tam giaùc CBD töø ñoù tính KE.KC theo R . d)Chöùng minh F laø trung ñieåm cuûa OD. e)Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACE theo R. f)Trong tröôøng hôïp I thay ñoåi treân OB chöùng minh dieän tích töù giaùc CAFI khoâng ñoåi. Vôùi hình veõ treân cho bieát : MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (O) , CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ; CF ⊥ Baøi 14 : MB a)Tìm vaø chöùng minh boán töù giaùc noäi tieáp coù trong hình veõ. b)Chöùng minh CE .CF = CD 2 c)Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø DE , K laø giao ñieåm BC vaø FD .Chöùng minh töù giaùc CHDK noäi tieáp . d)Chöùng minh KH // AB Baøi 16 : Vôùi hinh veõ treân cho bieát : MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (O) , CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ; CD ⊥ MB a) Tìm vaø chöùng minh boán töù giaùc noäi tieáp coù trong hình veõ. b) Chöùng minh CK .CD = CI 2. . c) Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø KI , E laø giao ñieåm BC vaø ID .Chöùng minh töù giaùc CHIE noäi tieáp .
d) Chöùng minh EH // AB. Cho ñöôøng troøn (O,R ) vaø ñieåm M sao cho OM = KI 2 CK 3R .Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A vaø B e) Chöùng minh : = . DI 2 CD thuoäc (O) ) .Goïi E laø trung ñieåm cuûa MB ,ñöôøng Baøi 17 : Cho nöûa ñöôøng troøn (O) coù ñöôøng thaúng EA caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai laø C kính AB .Töø A ,B veõ hai tieáp tuyeán Ax vaø By khaùc A .Ñöôøng thaúng MC caét ñöôøng troøn taïi D .Qua moät ñieåm M thuoäc nöûa ñöôøng troøn naøy khaùc C ,ñöôøng thaúng BC caét MA taïi F ,keû tieáp tuyeán thöù ba caét caùc tieáp tuyeán Ax 1)Chöùng minh : ,By taïi E vaø F a)Töù giaùc MAOB noäi tieáp . b)EB 2 = EC.EA c)AD // MB . d)BC. MB = MC .AB e)Tam giaùc DBA caân. 2)Tính dieän tích ∆ BAD theo R . 3) Tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng BD. Baøi 19 : Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O’; R’ ) caét nhau taïi A vaø B .Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O’) caét a) Chöùng minh töù giaùc AEMO noäi tieáp . (O) taïi C, tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) caét (O’) taïi b) AM caét OE taïi P ,BM caét OF taïi Q.Töù giaùc D.Goïi K laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B Chöùng MPOQ laø hình gì ? minh : c)Chöùng minh: OP.OE = OQ.OF vaø AE.BF = R2 d) Keû MH vuoâng goùc AB ,Klaø giao ñieåm MH vaø EB .So saùnh MK vaø HK. e) Cho AB= 2R vaø r laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc EOF .Chöùng minh 1 r 1 : < < 3 R 2 Baøi 18 : Cho nöûa ñöôøng troøn (O; R) coù ñöôøng kính AB,keû tieáp tuyeán Bx vôùi nöûa ñöôøng troøn ,C laø ñieåm treân nöøa ñöôøng troøn sao cho cung AC baèng cung CB .Treân cung CB laáy ñieåm D tuøy yù ( D khaùc C vaø B ) .Caùc tia AC vaø AD a)B ÔO’ = B ÊA 2 caét Bx laàn löôït taïi E vaø F . Chöùng minh: b)AB = BC.BD vaø BK laø phaân giaùc goùc CBD. c) ME 2 = MA.MB vaø M laø trung ñieåm cuûa EF. AC R d)Töù giaùc ACKD noäi tieáp vaø = AD R' Baøi 20 : Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O’; R’ ) caét nhau taïi A vaø B. Ñöôøng kính AC cuûa (O) caét (O’) taïi E , ñöôøng kính AD cuûa (O’) caét (O) taïi F. Goïi M laø giao ñieåm cuûa CF vaø DE . Chöùng minh : a)Tam giaùc ABE vuoâng caân . b)Töù giaùc CEFD noäi tieáp . c)Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn ,D di ñoäng treân cung CB thì AC.AE= ADAF vaø coù
giaù trò khoân g ñoåi . d) Khi Sñ cung CD baèng 60 0 vaø K thuoäc tia DA sao cho DK = DB .Tính dieän tích ∆ AKB vaø chu vi cuûa töù giaùc CDFE theo R. Baøi 21 : Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät daây cung AB .Treân tia AB laáy moät ñieåm C naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Töø ñieåm chính giöõa P cuûa cung lôùn AB ke ûñöôøng kính PQ caét daây AB taïi D .Tia CP caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai I .Caùc daây AB vaø QI caét nhau taïi K .Chöùng minh a) C , B , D thaúng haøng vaø CD = 2 OO’ b)Caùc töù giaùc AEMF ; CFED, OO’EF noäi tieáp . c) M , A , B thaúng haøng vaø A laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp EBF. d) CA.CE + DA.DF = CD 2 e) Caùc tieáp tuyeán taïi E vaø F cuûa ñöôøng troøn ngoaïi a)Töù giaùc PDKI noäi tieáp . tieáp töù giaùc CFED ñoàng quy taïi moät ñieåm treân b)CI.CP = CK.CD MB.â c)IC laø tia phaân giaùc cuûa goùc ngoaøi ñænh I cuûa Baøi 23: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn tam giaùc AIB. (O ,R ) coù hai ñöôøng cheùo AC vaø BD vuoâng goùc d) Khi A , B ,C coá ñònh ñöôøng troøn (O) thay nhau taïi ñieåm I khaùc O .Keû ñöôøng kính CE cuûa ñoåi nhöng vaãn ñi qua A ,B thì ñöôøng thaúng QI (O) .Chöùng minh luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh . Baøi 22: Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø moät ñöôøng thaúng d caét (O) taïi C vaø D .Moät ñieåm M di ñoäng treân d sao cho MC < MD vaø ôù ngoaøi ñöôøng troøn (O) .Qua M keû hai tieáp tuyeán MA vaø MB .Goïi H laø trung ñieåm cuûa CD vaø giao cuûa OM , d , OH vôùi AB laàn löôït laø I , E vaø F . a) IA.IC = IB.ID b) Ñöôøng thaúng qua I vuoâng goùc AB thì ñi qua trung ñieåm cuûa CD. c) Ñöôøng thaúng qua I vaø trung ñieåm cuûa BC thì vuoâng goùc AD. d) AB 2 +CD 2 = 4R 2 vaø AB 2+ BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2 Chöùng minh : Baøi 24: a) Caùc töù giaùc MIHF ; OHEI noäi tieáp .
b) MA 2 = MCMD vaø MC.MD = MI.MO 24.1 Cho tam giaùc ABC coù B = 60 0 , AB 2 c) FI . EI = vaø OH .OF = OI.OM BA = 6cm 4 BC = 8cm .AD , BE , CF laø ba d)Ñöôøng thaúng AB ñi qua ñieåm coá ñònh . ñöôøng Baøi 25 : cao caét nhau taïi H Cho ñöôøng troøn (O ,R ) coù AB laø ñöôøng kính a)Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng ,C vaø D laø hai ñieåm naèm treân hai nöûa ñöôøng AD , AC , BE , CF. troøn khaùc nhau sao cho AC = R vaø OD ⊥ AB .Tính b) Tính dieän tích;ø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp , baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc ABC. 24.2 Tam giaùc ABC coù BC =6cm B= 60 0 , Ĉ= 45 0 a) Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa tam a)Soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ACE vaø tam giaùc ABC. giaùc ACD b)Ñoä daøi caùc caïnh cuûa töù giaùc ACDB theo R b) Tính AB , AC , dieän tích tam giaùc ABC , baùn c) Ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng AE ,CE , BE , CD kính ñöôùng troøn ngoaïi tieáp ,baùn kính ñöôøng troøn theo R . noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. d) Dieän tích tam caùc tam giaùc ACE vaø CDB. 24.3 Tam giaùc ABC coù AB = 6cm, AC=8cm Baøi 26 : BC = 12cm . AK laø ñöôøng Cho ñöôøng troøn (O,R ) coù OM laø baùn kính . cao . BC laø daây cung trung tröïc cuûa OM .A laø moät a) Tinh BK , CK, ñieåm baát kyø treân cung lôùn BC .Goïi AD , BE , AK CF laø ba ñöôøng cao caét nhau taïi H . b)Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ,ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. Baøi 27 : Cho ñöôøng troøn (O,R ) vaø ñieåm M sao cho OM = 2R .Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB vôùi (O) ( A , B thuoäc (O) ) . Ñöôøng thaúng MO caét ñöôøng troøn taïi C vaø D ( MC < MD ) . a) Chöùng minh töù giaùc BOCM laø hình thoi . b) Tính soá ño caùc goùc BAC vaø BHC . c)Chöùng minh tam giaùc MOH caân . d)Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BHO
e) Goïi K laø trung ñi eåm HC .Chöùng minh töù giaùc EFDK noäi tieáp . f)Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc EFD Baøi 29 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O, R ) .Caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc keû töø caùc ñænh A , B , C ñoàng quy taïi S vaø laàn löôït caét ñöôøng troøn taïi Q , P , R . a) Chöùng minh CA = CB . a) Chöùng minh C laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc MAB c) Töù giaùc ACBO vaø MADBlaø hình gì?Tính dieän tích caùc töù giaùc treân theo R. d) Goïi N laø trung ñieåm AD ,ñöôøng thaúng MN caét AC taïi E .Chöùng minh E laø trung ñieåm MN e) Tính ñoä daøi MN vaø dieän tích caùc tam giaùc MND, MED theo R f) Haõy giaûi laïi caâu e khi N laø giao ñieåm cuûa tia phaân giaùc goùc AMD vôùi AD. a)Chöùng minh Q caùch ñeàu caùc ñænh cuûa tam giaùc BSC. Baøi 28 : b) Goïi E vaø F laàn löôït laø giao ñieåm cuûa RP Cho tam giaùc ABC nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn vôùi AB vaø AC .Chöùng minh AQ vuoâng goùc (O,R) RP; Ñieåm S goïi laø gì trong tam giaùc QRP? M laø moät ñieåm treân cung nhoû BC. Chöùng minh: c)Goïi I laø giao ñieåm cuûa RQ vaø AB , J laø giao ñieåm cuûa PQ vaø AC Chöùng minh töù giaùc ARIS noäi tieáp . d) Chöùng minh ba ñieåm I , S , J thaúng haøng . Baøi 30 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) AD , AM laàn löôït laø ñöôøng cao vaø trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC , d laø trung tröïc cuûa ñoaïn BC. Chöùng minh a)Neáu MH ⊥ AB , MI ⊥ BC vaø K laø giao ñieåm cuûa HI vaø AC thì MK ⊥ AC. b) Neáu MH ⊥ AB , MK ⊥ AC vaø I laø giao ñieåm cuûa HK vaø BC thì MI ⊥ BC. c)Neáu MH ⊥ AB , MI ⊥ BC vaø MK ⊥ AC. thì ba ñieåm H , I , K thaúng haøng (Ñöôøng thaúng IHK noùi treân goïi laø ñöôøng thaúng SimSon*). * Robert Simson(1687-1768) nhaø toaùn hoïc a) Neáu H laø giao ñieåm cuûaAD vôùi ñöôøng Scotland thaúng noái O vaø troïng taâm G cuûa tam giaùc c) Neáu O laø giao ñieåm cuûa d vôùi ñöôøng thaúng noái
ABC thì H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. tröïc taâm H vaø troïng taâm G cuûa tam gia ùc ABC thì bNeáu G laø giao ñieåm cuûa AM vôùi ñöôøng O laø taâm cuûa (ABC). thaúng noái O vaø tröïc taâm H cuûa tam giaùc d) Vôùi H , G laàn löôït laø tröïc taâm ,troïng taâm cuûa ABC thì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC tam giaùc ABC. Chöùng minh O , H , G thaúng haøng. Baøi 31: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau Baøi 33 : Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø moät daây taïi A vaø B (Taâm ñöôøng troøn naøy naèm ngoaøi cung AB khoâng qua taâm .Caùc tieáp tuyeán taïi A ñöôøng troøn kia).Qua A veõ moät caùt tuyeán thay ñoåi vaø B cuûa ñöôøng troøn (O) caét nhau taïi C .Goïi P MN ( M ∈ (O), N ∈ (O )' ). Hai tieáp tuyeán taïi M vaø laø ñieåm treân daây AB sao cho AP = 2 N cuûa hai ñöôøng troøn caét nhau taïi K Hai tieáp BP.Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi OP keû töø P tuyeán taïi A cuûa (O) vaø (O’)laàn löôït caét (O’) vaø caét ñöôøng thaúng CA ôû E vaø caét ñöôøng thaúng (O) taïi D vaø C. CB ôû D . Chöùng minh: a) BMN vaø AOO’ ñoàng daïng . 1)Chöng minh: b)Soá ño caùc goùc MBN, ABC, AND khoâng thay a) Caùc töù giaùc OPDB , OPAE noäi tieáp . ñoåi. b) P laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng DE . c) Töù giaùc KMBN noäi tieáp vaø soá ño goùc MKN c) CE.CD = CA 2 - AE 2 khoâng ñoåi . 2) Cho bieát AB = R 3 .Tính dieän tích tam d) Tìm vò trí cuûa caùt tuyeán MN ñeå MN lôùn nhaát giaùc EOC theo R . Baøi 32 : Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp Baøi 34 : Cho ñöôøng troøn ( O,R ) ,ñöôøng thaúng (O,R) vaø Â= 45 0ù BM vaø CN laø hai ñöôøng cao caét d khoâng qua O caét ñöôøng troøn taïi hai ñieåm A nhau taïi H .Chöùng minh : vaø B .Töø moät ñieåm C treân d ( C naèm ngoaøi ñöôøng troøn ) ,keû hai tieáp tuyeán CM vaø CN ( M vaø N thuoäc (O) ) .GoÏi H laø trung ñieåm AB ,ñöôøng thaúng OH caét tia CN taïi K.Ñoaïn thaúng CO caét (O) taïi I . Chöùng minh: a)BM = CN , MN // BC , AH = BC b) Naêm ñieåm B,C , N , O , M cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn . c) MN. 2 = BC
d) Caùc töù giaùc BMON , MONH , BHCD laø hình gì? e)Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BD , AB theo R. Baøi 35 : Cho ñöôøng troøn (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Töø A veõ tieáp tuyeán AB vaø caùt tuyeán ACD (naèm giuõa A vaø D ) 1) C,O,H ,N cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn. 2) KN.KC= KH.KO 3) I caùch ñeàu CM , CN , MN 4) Moät ñöôøng thaúng qua O song song MN caét tia CM vaø CN taïi E vaø F .Xaùc ñònh vò trí C 2 treân d ñeå dieän tích tam giaùc CEF nhoû nhaát . 1) Chöùng minh AB = AC.AD. Baøi 37 : Cho ñöôøng troøn (O,R) , Mlaø moät 2) Goïi H laø trung ñieåm CD . Chöùng minh töù giaùc ñieåm sao cho OM = 2R .Qua M veõ hai tieáp ABOE coù boán ñieåm cuøng thuoäc moät ñöôøng tuyeán MA vaø MB ( A , B thuoäc (O) ) . Ñöôøng troøn . thaúng MO caét ñöôøng troøn taïi E vaø F ( ME < 3) Veõ tia Bx // CD caét (O) taïi I , IE caét (O) taïi K MF ) . .Chöùng minh AK laø tieáp tuyeán cuûa (O) . 1) Chöùng minh : 4) Ñöôøng thaúng BH caét (O) taïi F .Chöùng minh KF // CD. 5) Tím vò trí cuûa caùt tuyeán ACD ñeà dieän tích tam giaùc AID lôùn nhaát . Baøi 36.1 : Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi caïnh laø a .Goïi E laø trung ñieåm CD ,ñöôøng thaúng AE caét BC taïi F .Tia vuoâng goùc vôùi AE taïi A caét CD taïi K. a)MO laø trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vaø E caùch ñeàu ba caïnh cuûa tam giaùc MAB. b)Tam giaùc MAB ñeàu .Tính dieän tích MAB. c)MA = AF vaø töù giaùc MAFB laø hình thoi . 2) Goïi C laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua O .Ñöôøng thaúng MC caét AB taïi S . Chöùng minh 1)Chöùng minh töù giaùc KACF noäi tieáp ñöôøng troøn dieän tích hình troøn ngoaïi tieáp MBS gaáp ba .Xaùc ñònh taâm I. laàn dieän tích hình troøn ngoaïi tieáp ASC . 2) Chöùng minh tam giaùc KAF vuoâng caân vaø ba Baøi 38.1: Cho ñöôøng troøn (O,R) , Mlaø moät ñieåm B,D I thaúng haøng . ñieåm sao cho OM = 3R .Qua M veõ hai tieáp 3) BI caét AE taïi J .Chöùng minh töù giaùc IJCF noäi tuyeán MA vaø MB ( A , B thuoäc (O) ) . Tia tieáp .
ñoái cuûa tia MO caét ñöôøng troøn taïi C . Goïi D 4) Tính dieän tích tam giaùc BJC theo a . laø trung ñieåm MA ,ñöôøng thaúng MO laàn löôït 5) Tính chu vi töù giaùc IDEF theo a caét AB vaø BD taïi I vaø G .Tính Baøi 36.2 : Cho hình veõ : a) Chöùng minh ABOC laø hình vuoâng b) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BD , BE BF theo baùn kính R cuûa ñöôøng troøn (O) 1) Ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc MAB Baøi 39 :Cho ñöôøng troøn ( O ) vaø moät daây cung 2) Ñoä daøi caïnh C A . AB khoâng ñi qua taâm .Veõ ñöôøng kính CD taïi K 3) Ñoä daøi ñoaïn thaúng CD vaø dieän tích caùc (D ∈cung nhoû AB ).Treân cung nhoû BC laáy ñieåm tam giaùc MDC , DGC , DBC N ( N khaùc B vaø C ) .DN vaø KB caét nhau taïi F , 4) Tæ soá dieän tích hai tam giaùc DAK vaø BCK CN vaø AB keùo daøi caét nhau taïi E . (Vôùi K laø giao ñieåm CD vaø AB ) Baøi 38.2 : Xaùc ñònh caùc goùc B vaø C cuûa tam giaùc vuoâng ôû A bieát BC= 2 vaø dieän tích tam 3 giaùc ABC laø 2 Baøi 41 : Cho hai ñöôøng troøn taâm O ,hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc nhau , goïi I laø trung ñieåm cuûa OA .Qua I veõ daây cung MQ vuoâng goùc vôùi OA ( M ∈ cungAC ,Q ∈ cungAD ) .Ñöôøng thaúng vuoâng goùc MQ taïi M caét ñöôøng troøn (O) taïi P. a) Chöùng minh töù giaùc KFNC noäi tieáp moät ñöôøng troøn . b) Chöùngminh DF.DN = DK.DC . c) Tieáp tuyeán taïi N cuûa ñöôøng troøn (O) caét ñöôøng thaúng AB taïi I .Chöùng minh IE = IF . EB KE d) Chöùng minh = FB KA Baøi 40.1 : Cho ñöôøng troøn (O, 5cm ) coù AB laø ñöôøng kính (d) laø tieáp tuyeán taïi A .Goïi M laø ñieåm 1) Chöùng minh raèng : treân (O) vaø P ,Q laàn löôït laø hình chieáu cuûa M treân a)Töù giaùc PMIO laø hình thang vuoâng . AB vaø (d) , I laø trung ñieåm cuûa PQ. b) Caùc ñieåm P, O ,Q thaúng haøng . 2) Goïi S laø fgiao ñieåm cuûa AP vaø CQ .Tính soá ño goùc CSP. 3) Goïi H laø giao ñieåm cuûa AP vaø MQ .Chöùng minh raèng : a) MH.MQ = MP 2
b) MP laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc QHP. Bài 42 : Cho đ ưng tròn (O ; R), đ i m A n m ngoài đ ưng tròn (O). K ti p tuy n AM, AN ; đưng th ng ch a đ ưng kính, song song v i 1)Chöùng minh tam giaùc AIO vuoâng . MN c t AM, AN l n l ưt t i B và C. Ch ng 2)Tieáp tuyeán taïi M caét ñöôøng thaúng (d) ôû T minh : .Chöùng minh MA laø phaân giaùc cuûa hai goùc QMO vaø TMP . 3) Chöùng minh caùc caëp tam giaùc AIQ , ATM vaø AIP , AOM ñoàng daïng . 4 ) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AQ , AI , AP bieát AT = 10 cm Baøi 40.2 : Xaùc ñònh caùc goùc B vaø C cuûa tam giaùc vuoâng ôû A bieát BC= 2 vaø ñöôøng cao AH = 2 2 Bài 43 : Cho n a đ ưng tròn tâm O đưng kính a) T giác MNCB là hình thang cân. AB = 2R. C là trung đ i m c a đ o n th ng AO, b) MA . MB = R 2. đưng th ng Cx vuông góc v i đ ưng th ng AB, c) K thu c cung nh MN. K ti p tuy n t i K Cx c t n a đ ưng tròn trên t i I., K là m t đ i m ct AM, AN l n l ưt t i P và Q. Ch ng minh : bt kì n m trên đ o n th ng CI (K khác C ; K khác BP.CQ = BC 2/4 . I), tia AK c t n a đ ưng tròn đã cho t i M. Ti p tuy n v i n a đ ưng tròn tâm O t i đ i m M c t Cx d) Cho bieát : OA = 2R , Tính SMBCN theo R. Bài 45 : Cho hai đ ưng tròn (O) và (O’) c t t i N, tia BM c t Cx t i D. nhau t i A và B, ti p tuy n chung v i hai đưng tròn (O) và (O’) v phía n a m t ph ng b OO’ ch a đ i m B, có ti p đ i m th t là E và F. Qua A k cát tuy n song song v i EF c t đưng tròn (O), (O’) th t t i C, D. Đ ưng th ng CE và đ ưng th ng DF c t nhau t i I. 1) Ch ng minh r ng b n đ i m A, C, M, D cùng nm trên m t đ ưng tròn. 2) Ch ng minh ∆ MNK cân. 3) Tính di n tích ∆ ABD khi K là trung đ i m c a đ o n th ng CI. 4) Ch ng minh r ng : Khi K di đ ng trên đ o n th ng CI thì tâm c a đ ưng tròn ngo i ti p ∆ AKD nm trên m t đ ưng th ng c đ nh. 1) Ch ng minh IA vuông góc v i CD. Bài 44 :Cho đ ưng tròn (O), m t đ ưng kính AB 2) Ch ng minh t giác IEBF là t giác ni ti p. c đ nh, m t đ i m I n m gi a A và O sao cho AI = 3) Ch ng minh đ ưng th ng AB đ i qua trung 2/3AO . K dây MN vuông góc v i AB t i I. G i C đ i m c a EF. là đ i m tùy ý thu c cung l n MN, sao cho C không
Bài 46 : Cho đ ưng tròn tâm O bán kính R, trùng v i M, N v à B. N i AC c t MN t i E. hai đ i m C và D thu c đ ưng tròn, B là trung đ i m c a cung nh CD. K đ ưng kính BA ; trên tia đ i c a tia AB l y đ i m S, n i S v i C ct (O) t i M ; MD c t AB t i K ; MB c t AC ti H. a) Ch ng minh t giác IECB n i ti p đ ưc trong đưng tròn. b) Ch ng minh ∆ AME đng d ng v i ∆ ACM và AM 2 = AE.AC. c) Ch ng minh AE.AC - AI.IB = AI 2. d) Hãy xác đnh v trí c a đ i m C sao cho kho ng cách t N đ n tâm đ ưng tròn ngo i ti p tam giác CME là nh nh t. Bài 47 : T đ i m A ngoài đ ưng tròn (O), k a) Ch ng minh ∠ BMD = ∠ BAC, t đ ó suy ra các ti p tuy n AB, AC v i đ ưng tròn (B, C là các t giác AMHK n i ti p. ti p đ i m). Trên tia đ i c a tia BC l y đ i m D. G i b) Ch ng minh : HK // CD. E là giao đ i m c a DO và AC. Qua E v ti p tuy n c) Ch ng minh : OK.OS = R 2. th hai v i đ ưng tròn (O), ti p tuy n này c t đưng th ng AB K. Baøi 49 ( Ñeà thi toát nghieäp 04 -05 - Ñaø Naüng) Cho hình vuoâng ABCD ,goïi E laø trung ñieåm cuûa AD .Noái B vôùi E .Ñöôøng thaúng qua E vuoâng goùc vôùi EB caét CD taïi F . Chöùng minh : Ch ng minh b n đ i m D, B, O, K cùng thu c m t đưng tròn. Bài 48. 1 : Cho tam giác ABC vuông t i A có M a) Töù giaùc CBEF noäi tieáp ñöôïc trong moät là trung đ i m c a BC. Có hai đ ưng th ng l ưu ñöôøng troøn .Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn ñoù đng và vuông góc v i nhau t i M c t các đ o n AB và AC l n l ưt t i D và E. Xác đ nh các v trí . ca D và E đ di n tích tam giác DME đ t giá tr b) ED laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I nh nh t. c) BE = 2 EF . d) FE laø phaân giaùc cuûa goùc DFB . Baøi 50 : ( Ñeà thi toát nghieäp 04 -05 - Haø
noäi ) Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A .Laáy ñieåm M tuøy yù naèm giöõa A vaø B .Ñöôøng troøn ñöôøng kính BM caét ñöôøng thaúng BC taïi ñieåm thöù hai laø E . Caùc ñöôøng thaúng CM vaø AE laàn löôït caét ñöôøng troøn taïi caùc ñieåm thöù hai laø H vaø K Bài 48.2: Cho hai đ ưng tròn (O) và (O’) c t nhau hai đ i m A và B. Qua A v hai đ ưng th ng (d) và (d’), đ ưng th ng (d) c t (O) t i C và ct (O’) t i D, đ ưng th ng (d’) c t (O) t i M và ct (O’) t i N sao cho AB là phân giác c a góc MAD. 1) Chöùng minh : a) Töù giaùc AMEC laø töù giaùc noäi tieáp b) Goùc ACM baèng goùc KHM. c) Caùc ñöôøng thaúng BH , EM , vaø AC ñoàng qui. 2) Giaû söû AC< AB ,haõy xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå töù giaùc AHBC laø hình thang caân . Ch ng minh r ng CD = MN. Baøi 51 : ( Ñeà thi toát nghieäp 04 -05 - Thaønh phoá Hoà Chí Baøi 53: (Phoûng theo baøi taäp baùo Toaùn Minh) hoïc vaø tuoåi treû) Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong Goïi A vaø B laø caùc giao ñieåm cuûa hai ñöôøng ñöôøng troøn (O ,R ) ,hai ñöôøng cao AD vaø BE caét troøn (O,R ) vaø ( O’; R’) .Treân nöûa maët phaúng nhau taïi H ( D ∈ BC , E ∈ AC , AB < AC ) coù bôø laø ñöôøng thaúng OO’ vaø coù chöùa ñieåm B veõ T T’laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ( T thuoäc (O) vaø T’thuoäc (O’) ) .Goïi I laø giao ñieåm cuûa AB vaø TT’.Chöùng minh a)Ch ng minh AEDB vaø CDHE laø caùc töù giaùc noäi tieáp . b) Chöùng minh CE.CA = CD.CB 1) OO’ vuoâng goùc AB . DB .DC = DH.DA 2 2) IT = IB .IA suy ra I laø trung ñieåm c) Chöùng minh OC vuoâng goùc DE .
TT’ d) Ñöôøng phaân giaùc trong AN cuûa goùc A cuûa tam 1 giaùc ABC caét BC taïi N vaø caét ñöôøng troøn (O) taïi 3) SOIO’ = S OO’T’T 2 K khaùc A .Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam 4) B laø troïng taâm cuûa tam giaùc ATT’ khi giaùc CAN .Chöùng minh KO vaø CI caét nhau taïi 3 moät ñieåm thuoäc ñöôøng troøn (O) vaø chæ khi OO’ = ( R + R’ ) 2 Baøi 52 : ( Ñeà thi lôùp 10 02-03 - Haûi phoøng Baøi 54: (Phoûng theo baøi taäp baùo Toaùn hoïc ) vaø tuoåi treû) Moät ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi hai caïnh Ox vaø Oy Cho hình vuoâng ABCD .Treân caïnh BC vaø CD cuûa goùc xOy laàn löôït taïi A vaø B .Töø ñieåm A veõ laáy hai ñieåm töông öùng M vaø N sao cho M ÂN ñöôøng thaúng song song vôùi OB caét ñöôøng troøn ñaõ = 45 0 , BD caét AM vaø AN taïi I vaø K .Chöùng cho taïi ñieåm thöù hai laø C .Tia OC caét ñöôøng troøn minh taïi E ,Hai ñöôøng thaúng AE vaø OB caét nhau taïi K 1).Chöùng minh a)Töù giaùc AIND noäi tieáp ñöôøng troøn suy EB CB 1) Chöùng minh OK = KB vaø = ra NI ⊥ AM EA CA b) AK .AN = AI.AM 2) Goïi a, b ,c thöù töï laø khoaûng caùch töø C ñeán AB 2) Goïi H laø giao ñieåm cuûa NI vaø MK .Tính , OB KI 2 OA .Chöùng minh a = bc AH Baøi55.1 Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi 3) Chöùng minh SCIK = SMNIK tieáp ñöôøng troøn (O) vaø AD ,BE ,CF laàn löôït laø ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC . Goïi M,N,Q laàn Baøi 57 :( Ñeà thi HSG 03 -04- Tænh Thöøa löôït laø giao ñieåmcuûaAD,BE,CF vôùi ñöông troøn Thieân – Hueá - Voøng 1 ) (O) Cho tam giaùc ABC nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O ,goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,H laø tröïc taâm tam giaùc ABC vaø K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân caïnh BC. AM BN CQ Chöùng minh raèng : + + = 4 AD BE CF
BAØI 55.2 Chop tam giaùc ABC .Treân caùc tia ñoái cuûa tia BA vaø CA laáy caùc ñieåm E vaø F (khaùc B vaø C )theo thöù töï .BF caét CE taïi ñieåm M . MB MC AB .AC Chöùng minh: + ≥ 2 Khi MF ME AF .AE Tính ñoä daøi AK vaø dieän tích tam giaùc ABC naøo daáu “= “xaûy ra 1 bieát raèng OM= HK = KM vaø AM = 30cm. Baøi 56: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính 4 AB vaø moät ñieåm C thuoäc ñoaïn AB ,M laø moät Baøi 58: :( Ñeà thi HSG 03 -04- Tænh Thöøa ñieåm treân nöûa ñöôøng troøn .Ñöôøng thaúng qua M Thieân – Hueá - Voøng 2 ) vuoâng goùc MC caét caùc tieáp tuyeán qua A vaø B cuûa Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O nöûa ñöôøng troøn taïi E vaø F . , goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,M laø ñieåm treân ñoaïn CI ( M khaùc C vaø D ) ,ñöôøng thaúng AM caét ñöôøng troøn (O) taïi D .Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AMI taïi M caét caùc ñöôøng thaúng BD ,DC taïi P vaø Q . 1) Khi M coá ñònh ,C di ñoäng .Tìm vò trí cuûa C ñeå AE.BF lôùn nhaát . 2) Khi C coá ñònh ,M di ñoäng .Tìm vò trí cuûa M ñeå SCEF lôùn nhaát . Baøi 59 ( Ñeà thi HSG 03 -04 - Thaønh phoá Hoà Chí Minh) Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O ,ñöôøng kính AI .Goïi E laø trung ñieàm AB 1)Chöùng minh DM.IA = MP.IB vaø K laø trung ñieåm OI . MP 2) Tính tæ soá MQ Baøi 61: (Ñeà thi tuyeån vaøo lôùp 10 , 95 -96 Thaønh phoá Hoà Chí Minh) Cho hình vuoâng ABCD coá ñònh caïnh a .Ñieåm E di chuyeån treân caïnh CD ( E ≠ D ) Ñ öôøng thaúng AE caét ñöôøng thaúng BC taïi F ,ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AE taïi A caét ñöôøng thaúng CD taïi K . Chöùng minh töù giaùc AEKC noäi tieáp ñöôøng troøn .
Baøi 60.1: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB=2R ,M laø moät ñieåm treân nöûa ñöôøng troøn(khaùc A vaø B) .Tieáp tuyeán cuûa (O) taïi M caét caùc tieáp tuyeán taïi A vaø B cuûa nöûa ñöôøng troøn (O) taïi C vaø D 1)Chöùng minh ABF = ADK ,suy ra AKF vuoâng caân 2)Goïi I laø trung ñieåm cuûa FK .Chöùng minh laøtaâm ñöôøng troøn qua A ,C ., F ,K vaø I di 1) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: chuyeån a)Ñoä daøi ñoaïn thaúng CD vaø dieän tích tam giaùc treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh khi E di ñoäng COD. treân CD. b) Dieän tích vaø chu vi töù giaùc ACDB. 3)Chöùng minh töù giaùc ABFI noäi tieáp ñöôïc . c)Toàng dieän tích cuûa tam giaùc ACM vaø BDM ≤ 4) Cho DE = x (0 < x a ) .Tính ñoä daøi caùc 2) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : caïnh cuûa AEK theo a vaø x . a) Dieän tích vaø chu vi tam giaùc MAB. 5) Haõy chæ ra vò trí cuûa E ñeå EK ngaén nhaát . b) Tích MA.MB Baøi 62: (Ñeà thi tuyeån vaøo lôùp 10 , 02 - Baøi 60.2: (Ñeà thi tuyeån vaøo lôùp 10 , 02 -03 03 tröôøng Leâ Quyù Ñoân , Ñaø Naüng ) tröôøng Traàn Ñaïi Nghóa TP Hoà Chí Minh ) Cho ñöôøng troøn taâm O vaø moät daây cung AB Cho tam giaùc ABC ( AB < AC ) noäi tieáp (O,R) , cuûa ñöôøng troøn ñoù .Caùc tieáp tuyeán veõ töø A vaø AD laø phaân giaùc trong .Tieáp tuyeán taïi A cuûa B cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi C .Keû daây CD ñöôøng troøn (O) caét ñöôøng thaúng BC taïi E , Cho cuûa ñöôøng troøn taâm I coù ñöôøng kính OC .(D BD = b ; CD = c .Tính EA . khaùc A vaø B ) .CD caét cung AB cuûa ñöôøng troøn (O) taïi E ( E naèm giöõa C vaø D ) .Chöùng minh : Baøi 63: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O) , AA’ vaø BB’ laø hai ñöôøng cao .Goïi d laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) taïi C .Haï AM ⊥ d , BN ⊥ d , A’H ⊥ d, B’K ⊥ d . 1) BÊD = D ÂE vaø DE 2 = DA .DB 2) Goïi S laø dieän tích töù giaùc AIOB .Chöùng minh OI + AB ≥ 2 2S Baøi 65: Cho ABC vôùi BC = a , AC = b , AB = a . Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc vaø tieáp xuùc vôùi BC, AC, AB laàn löôït taïi
D , E , F .Veõ BK ⊥ AI taïi K vaø AH ⊥ BI taïi H . Chöùng minh: A’H = B’K vaø MH = NK 0 Baøi 64.1 :Cho tam giaùc ABC coù goùc A = 45 1)Tính AF , DC , B D theo a , b , c . noäi tieáp ñöôøng troøn (O,R) .Keû caùc ñöôøng cao AA’ 2) Chöùng minh töù giaùc AEHI noäi tieáp . vaø BB’cuûa tam giaùc ABC .Goïi O’ laø ñieåm ñoái 3) Boán ñieåm E , H , K , D thaúng haøng . xöùng cuûa O qua ñöôøng thaúng B’C’. 1) Chöùng minh töù giaùc CC’OB’ laø hình thang caân . Baøi 66: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn .Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ,M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa H leân phaân giaùc trong vaø phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A trong tam giaùc ABC. 2) Chöùng minh A , B’, C’, O’cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn vaø tính B’C’ theo R. Baøi 64.2: Cho ñöôøng troøn taâm (O,R) . Treân ñöôøng troøn theo chieàu kim ñoàng hoà laáy theo thöù töï caùc ñieåm A , B ,C ,D sao cho Sñ cung AB = 0 0 0 1) Chöùng minh MN ñi qua trung ñieåm S cuûa 30 , sñcung BC = 45 , sñ cung CD =120 AH. a)Tính soá ño caùc cung AC , BD . 2) Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam b) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AB . giaùc ABC ,coøn I ,E laàn löôït laø trung ñieåm cuûa c) Tính dieän tích caùc tam giaùc BC vaø AC .Chöùng minh tam giaùc OIE ñoàng OCD , OBC , OAB. daïng vôiù tam giaùc AHB. d*) Tính dieän tích töù giaùc 3 Chöùng minh ba ñieåm M , I , N thaúng haøng. ABCD theo R . 1 e)Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AC ,BD . 4 ) Chöùng minh OI = AH . 2 Baøi 67.1: Cho tam giaùc ABC vôùi BC = a , Baøi 69 ; Töø moät ñieåm ôû ngoaøi ñöôøng troøn AC = b , AB = a .Goïi S , p ,r laàn löôït laø dieän tích ,veõ hai tieáp tuyeán IA vaø IB ñeán (O) .Goïi M laø tam giaùc ABC, nöûa chu vi tam giaùc ABC vaø baùn
trung ñieåm cuûa IB , AM caét (O) taïi A vaø K . kính ñ ưôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC . 1) Chöùng minh S = p.r 1 = 1 + 1 + 1 1)Chöùng minh IO vuoâng goùc AB . 2) Chöùng minh trong ñoù h a ,h b r ha hb hc 2)Goïi C laø giao ñieåm cuûa IO vaø AB ,h c laø chieàu cao cuûa tam giaùc ABC haï töø A , B , C .Chöùng minh hai tam giaùc AKB vaø AMC ñoàng daïng ,suy ra AB 2 = 2AK . AM Baøi 67.2: 3)Goïi D laø giao ñieåm thöù hai cuûa IK vaø (O) Chöùng minh MB 2 = MK.MA vaø AD // IB . Tính baùn kính ñöôøng troøn noäi 4 ) Chöùng minh AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng roøn tieáp moät ngoaïi tieáp tam giaùc IKB. tam giaùc vuïoâng coù caïnh huyeàn laø a vaø Baøi 70.1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A chu vi laø 2p. vaø ñieåm D treân caïnh BC .Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua AB vaø G laø giao ñieåm cuûa AB vôùi DE .Töø giao ñieåm H cuûa AB vôùi CE ⊥ haï IH BC taïi ñieåm I .Caùc tia CH vaø IG caét nhau taïi K . Chöùng minh Baøi 68: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O .Laáy ñieåm D treân cung BC khoâng chöùa ñieåm A .Keû daây AE song song BC daây DE caét caïnh BC taïi F .Haï DH , DI , DK laàn löôït vuoâng goùc vôùi caïnh BC, AC , AB. 1)Töù giaùc GHDI vaø BKHI noäi tieáp . 2) KC laø tia phaân giaùc cuûa goùc IKA Baøi 70.2: Cho hai ñieåm A vaø B coá ñònh .Ñöôøng troøn taâm O vaø ñöôøng troøn taâm O’ laàn löôït tieáp xuùc AB taïi A vaø B , bieát (O) vaø (O’) caét nhau taïi M vaø N .Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua ñieåm coá ñònh khi hai ñöôøng troøn thay ñoåi 1) Chöùng minh tam giaùc BDF ñoàng daïng tam giaùc ADC. 2) Chöùng minh tam giaùc DCF ñoàng daïng tam giaùc BAD. BC AB AC 3) Chöùng minh : = + Baøi 73 ; Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng DH DI DK
troøn (O ; R)coù M , N laø trung ñieåm cuûa AB vaø 4) Chöùng minh ba ñieåm I , H , K thaúng haøng . AC , ñöôøng cao AH .Ñöôøng troøn (I) ngoaïi tieáp Baøi 71 ; Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû C ,I laø tam giaùc AMN ñieåm coá ñònh treân AB . ( IB< IA ) vaø (BC < CA ) .Keû ñöôøng thaúng d qua I vaø vuoâng goùc vôùi AB , d caét AC vaøBC laàn löôït taïi F vaø E .Goïi M laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua I a)Chöùng minh IME ñoàng daïng IFA vaø IE.IF = IA.IB . a) Chöùng minh O ,I , A thaúng haøng . b)Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc CEF caét AE ôû b) Chöùng minh goùc IAC = goùc HAB . N .Chöùng minh ba ñieåm F , N ,B thaúng haøng . c) Keû daây AE cuûa (I) song song MN , HE caét c)Cho A ,B coá ñònh ,C thay ñoåi .Chöùng minh ( MN taïi K .Chöùng minh KM = KN . AEF ) luoân luoân ñi qua hai ñieåm coá ñònh vaø taâm d) HE caét (I) taïi D . Chöùng minh töù giaùc ñöôøng troøn ñoù naèm treân ñöôøng thaúng coá ñònh . BHDM noäi tieáp . Baøi 72 ; Cho tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp (O ; R ) , M vaø N di ñoäng treân BC ,CA sao cho BM = Baøi 74 ; Ñöôøng troøn (O) noäi tieáp tam giaùc CN ABC tieáp taïi caùc ñieåm A’, B’, C’ Ñöôøng thaúng B’C’ caét OA ôû H vaø BC ôû K , AA’ caét OK ôû M .Chöùng minh 1) Tính dieän tích phaàn hình troøn naèm ngoaøi tam giaùc ABC theo R a) Hai tam giaùc OAA’ vaø OA’H ñoàng daïng . 2)Chöùng minh OM = ON . b) Töù giaùc AHMK noäi tieáp . 3)Töù giaùc CMON noäi tieáp . c) AA’ vuoâng goùc OK . 4) Ñöôøng thaúng qua O vuoâng goùc vôùi MN caét AB d) Naêm ñieåm O ,A , B’, C’ , M cuøng naèm taïi E .Tam giaùc MNE coù tính chaát gi? treân moät ñöôøng troøn . 5) Chöùng minh trung ñieåm I cuûa MN thuoäc ñöôûng thaúng coá ñònh Baøi 77: Cho hai ñöôøng troøn (O; R ) vaø (O;
R’) caét nhau taïi A vaø B .Moät ñöôøng thaúng (d) 2R 6 ) Cho OM = .Tính dieän tích caùc tam giaùc quay quanh A caét (O) vaø (O’) taïi C vaø D . 3 OMN vaø EBM theo R. Baøi 75 ; Tam giaùc ABCvuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH . Goïi (O ; R ) , (O’ ; R’ ) ; (O” ; R” ) laàn löôït laø caùc ñöôøng troøn noäi tieáp cacù tam giaùc ABC ; ABH ; ACH .Chöùng minh 1)Chöùng minh ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng CD luoân ñi qua ñieåm coá ñònh .Xaùc ñòmh ñieåm coá ñònh aáy . 2)Vôùi vò trí naøo cuûañöôøng thaúng (d) thì tam giaùc BCD coù dieän tích lôùn nhaát . a) R2 = R” 2 + R’ 2 Baøi 78 (Thi lôùp 10 Buøi Thò Xuaân 94-95 b) OA = OO’ HCM) ≤ Cho ABC caân taïiA vaø ñieåm D di chuyeån c) R” + R’ R 2 . treân caïnh BC ( D khaùc B vaø C ) .Döïng qua D d) Chöùng minh O laø tröïc taâm cuûa tam giaùc hai ñöôøng troøn (O ; R ) vaø (O’; R’) laàn löôït AO”O’. tieáp xuùc vôùi AB taïi B vaø AC taïi C ,hai ñöôøng e) Ñöôøng thaúng O’O” caét AB vaø AC ôû K vaø M troøn naøy caét nhau taïi K vaø D . .Chöùng toû tam giaùc AKM vuoâng caân. Baøi 76 ; Cho hai ñöôøng troøn (O; R ) vaø (O; R’) caét nhau taïi A vaø B .Moät ñöôøng thaúng (d) quay quanh B caét (O) vaø (O’) taïi C vaø D .Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD vaø N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua D . 1)Chöùng toû töù giaùc ABKD noäi tieáp ñöôïc. 2) Chöùng toû ba ñieåm A ,D ,K thaúng haøng vaø tích AD .AK khoâng ñoåi . 3) Chöùng toû toång R+R’ khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm D treân caïnh BC 4) Tìm ñöôøng di chuyeån cuûa trung ñieåm M 1)Chöùng minh khi (d) thay ñoåi thì moãi ñieåm M vaø cuûa ñoaïn thaúng OO’ N di chuyeån treân moät ñöôøng troøn coá ñònh ñi qua
Baøi 81.1 : Cho ñöôøng troøn (O) , töø moät A vaø B Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa chuùng . ñieåm M naèm ngoaøi ñöôøng troøn keû tieáp tuyeán 2)Caùc tieáp tuyeán taïi C vaø D cuûa hai ñöôøng troøn MA (A ∈(O)) vaø caùt tuyeán MBC ( B; C thuoäc caét nhau taïi E .Chöùng toû töù giaùc ACED noäi tieáp . (O) , MB < MC ) ) .Cho AB = c , BC = a , AC 3)OC vaø OD caét nhau taïi K .Chöùng toû naêm ñieåm = b . Tính MA. A ,C ,E D , K cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn . Baøi 79: Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät daây AB .Goïi M laø moät ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû AB .Veõ ñöôøng kính MN caét AB taïi I .Goïi D laø moät ñieåm thuoäc daây AB .Tia MD caét ñöôøng troøn (O) taïi C . Baøi 81.2 : Cho hình vuoâng ABCD .Laáy ñieåm M naèm trong hình vuoâng sao cho M ÂB = MBA = 15 0 .Chöùng minh tam giaùc MCD ñeàu . a)Chöùng minh töù giaùc CDIM noäi tieáp ñöôïc . b)Chöùng minh tích MC.MD coù giaù trò khoâng ñoåi Baøi 82.1 : Cho töù giaùc ABCD coù AC = 10 khi D di ñoäng treân daây AB. cm ,BD= 12 cm vaø goùc giöõa AC vaø BD baèng c)Goïi O’ laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc 30 0 .Tính dieän tích töù giaùc ñoù . 1 ACD .Chöùng minh M ÂB = AÔ D 2 d)Chöùng minh ba ñieåm A , O’ , N thaúng haøng vaø M A laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ACD. Baøi 80 : Cho ñöôøng troøn taâm O coù ñöôøng kính BC .Goïi A laø moät ñieåm treân cung BC sao cho AB< AC , D laø moät ñieåm treân baùn kính OC .Ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC taïi D caét ACôû E vaø caét Baøi 82.2 : Cho tam giaùc ABC coù AB < AC tia AB ôû F. vaø BM , CN laø hai trung tuyeán .So saùnh BM a) Chöùng minh töù giaùc ADCF noäi tieáp . vaø CN . b) Goïi M laø trung ñieåm EF .Chöùng minh Goùc AME = goùc 2ACB
Baøi 85 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O; R ) , M laø moät ñieåm treân cung nhoû BC , MA caét BC taïi D .Chöùng minh raèng : c) Chöùng minh AM laø tieáp tuîeán cuûa ñöôøng troøn (O) . d) Goïi K laø giao ñieåm CF vaø ñöôøng troøn (O) ⊥ .Chöùng minh B ,E ,F thaúng haøng vaø OM AK a) AD.AM = AB 2 . Baøi 83 : Cho hình thang ABCD coù ñaùy lôùn AD b) MA = MB +MC ,ñaùy nhoû BC noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O .AB vaø c) MA +MB +MC ≤ 4R keùo daøi caét nhau taïi I .Caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng d) MA 2 +MB 2 + MC 2 = 6R2 troøn taâm (O) taïi B vaø D caét nhau taïi K . e) MA 4 +MB 4 + MC 4 = 18R4 1 1 1 f) = + MD MB MC Baøi 86.1 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao. Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính HC .Keû tieáp tuyeán BK vôùi (O) ( K laø tieáp AB ñieåm ) .Tính tæsoá BK a)Chöùng toû töù giaùc BIKD noäi tieáp vaø IK// BC c)Hình thang ABCD caàn ñieàu kieän gì ñeå töù giaùc AIKD laøhình bình haønh.Khi ñoù chöùng minh heä thöùc IC.IE=ID.CE d) Veõ hình bình haønh BDKM ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BKM caét ñöôøng troøn (O) taïi ñieåm Baøi 86.2 : Cho tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp thöù hai N .Chöùng minh raèng D , N , M thaúng ñöôøng troøn (O ; R) .Ñieåm D di ñoäng treân cung haøng . AC .Goïi E laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD , F laø giao ñieåm cuûa AD vaø BC .Chöùng minh raèng : Baøi 84 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C ( CA > CB ) . I laø ñieåm thuoäc caïnh AB .Treân nuûa maët phaúng coù bôø AB coù chöùa ñieåm C keû tia Ax vaø By vuoâng goùc AB .Ñöôøng thaúng vuoâng goùc IC keû qua C caét Ax vaø By taïi M vaø N . a)Goùc AFB = goùc ABD . b) Tích AE . BF khoâng ñoåi .
Baøi 89: Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp (O) . I laø moät di ñoäng treân cung AB .AI caét CB taïi M , AB caét IC taïi N. a) Chöng minh hai tam giaùc CAI vaø CBN ñoàng daïng . b) So saùnh hai tam giaùc ABC vaø INC . a) Chöùng minh raèng : AMC + ANC = 2 ACB c) Chöùng minh IM vuoâng goùc IN . . d) Tìm vò trí cuûa I sao cho dieän tích tam giaùc b) Chöùng minh tích AI .AM khoâng ñoåi . IMN lôùn gaáp ñoâi dieän tích tam giaùc ABC. c) Veõ daây cung IK song song vôùi BC ,IK caét AC ôû E .Chöùng minh : ACK ~ AMB, Baøi 87 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A (AB < ACM ~ AKB vaø AEK ~ AIB. AC) .Laáy ñieåm D thuoäc caïnh AC .Veõ ñöôøng troøn d) Xaùc ñònh vò trí cuûa I ñeå AB = MB . ñöôøng kính CD caét BD ôû E vaø caét AE ôû F . Baøi 90 : Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm S naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Töø S keû hai tieáp tuyeán SA vaø SA’ vaø caùt tuyeán SBC tôùi ñöôøng troøn ( B naèm giöõa C vaø S ) .Phaân giaùc B ÂC caét daây BC ôû D vaø caét cung BC ôû E .Goïi F laø giao ñieåm cuûa AA’ vôùi BC; G laø giao ñieåm cuûa OE vôùi BC . a) Chöùng minh A , B , C , E cuøng thuoäc moäpt ñöôøng troøn . b) Chöùng minh B ĈA = A Ĉ F . c) Goïi M , N laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua AB vaø BC .Chöùng minh töù giaùc BNCM noäi tieáp . d) Xaùc ñònh vò trí ñieåm D sao cho baùn kính ñöôøng troøn (BNCM) ñaït giaù trò nhoû nhaát . a) Chöùng minh EC 2 = ED .EA . b) Chöùng minh SA 2 = SG .SF. c) Khi caùt tuyeán SBC quay quanh S thì D di Baøi 88 : Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính
ñoäng treân ñöôøng coá ñònh naøo ? AB vaø C laø ñieåm chính giöõa cung AB .Laáy M laø 2a ñieåm treân cung BC vaø veõ ñöôøng cao CH cuûa tam d) Bieát SB = a ; BC = tính SF. 3 giaùc ACM. Baøi 93 : Cho tam giaùc caân taïi A noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AM .Goïi D , H ,I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB , BC , AC . a) Chöùng toû OH laø tia phaân giaùc cuûa goùc COM . b) Goïi I laø giao ñieåm cuûa OH vaø BC ,D laø giao ñieåm thöù hai cuûa MI vôùi nöûa ñöôûng troøn (O) . 1) Chöùng minh : Chöùng minh MC//BD a) A , O , H thaúng haøng vaø AC 2 = 2 AO .AH . c) Tìm vò trí cuûa M sao cho D , H , B thaúng haøng b) Boán ñieåm O ,I , C ,H cuøng thuoäc moät . ñöôøng troøn coù taâm laø (O’) d) Goïi N laø giao ñieåm cuûa OH vaø BM .Chöùng c) Ñöôøng troøn (O’) tieáp xuùc vôùi (O). minh N di ñoäng treân moät ñoàng troøn coá ñònh . 3) Goïi H’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC .Chöùng minh CH’ laø tieáp tuyeán cuûa (O) . 4) Goïi E ,G laàn löôït laø troïng taâm cuûa tam Baøi 91: Cho ñöôøng troøn (O) vaø daây cung AB giaùc ACD vaø ABC .Chöùng minh hai tam .Treân tia ñoái cuûa tia AB laáy ñieåm M ,,keû caùc tieáp giaùc AGC vaø IEO ñoàng daïng . tuyeán MC vaø MD tôùi ñöôøng troøn .phaân giaùc cuûa Baøi 94.1 : goùc ACB caét AB ôû E .Goïi I laø trung ñieåm cuûa Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø daây AB .Chöùng minh : ñöôøng cao , I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .Phaân giaùc B ÂH vaø C ÂH caét BC taïi D vaø E . Chöùng minh I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC a) MC = ME . Baøi 94.2 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp b) DE laø phaân giaùc cuûa goùc ADB . ñöôøng troøn (O), phaân giaùc trong AD . c) Ñöôøng troøn qua ba ñieåm M , C , D thì ñi qua hai ñieåm coá ñònh O vaø I . a) Xaùc ñònh taâm O’cuûa d) IM laø tia phaân giaùc cuûa goùc CID . ñöôøng troøn ñi qua A vaø e) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi BC taïi D. AB ñeå tam giaùc MCD laø tam giaùc ñeàu .
b) Chöùng minh ñöôøng Baøi 92 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn troøn O’) tieáp xuùc vôùi (O) .Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai phaân giaùc trong -ñöôøng troøn (O) . keû töø B vaø C, K laø giao ñieåm cuûa hai phaân giaùc ngoaøi keû töø B vaø C .Goïi M laø ñieåm chính giöõa Baøi 97 : cuûa cung BC ,D laø giao ñieåm cuûa AM vaø BC. Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn ,AH laø ñöôøng cao .Keû HM ⊥ AB ; HN ⊥ AC .Goïi I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua M , K laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua N .Ñöôøng thaúng IK caét AB vaø AC taïi E vaø F .Chöùng minh: a) Goùc AIK = goùc AKI a)Chöùng minh A ,I , M thaúng haøng . b) Töù giaùc MNBC noäi tieáp . b) BI caét A C ôû N , MN caét AC , BC laàn löôït ôû E c) CE vuoâng goùc AB vaø F .Chöùng minh tam giaùc EFC caân . d) ABC thoûa ñieàu kieän gì thì IN = MK. c) Chöùng minh 4 ñieåm I , B , K , C cuøng thuoäc Baøi 98.1 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp moät ñöôøng troøn vaø taâm cuûa ñöôøng troøn naøy thuoäc (O) . ñöôøng troøn ( O) coù tröïc taâm laø H , M laø ñieåm baát kì treân cung BC khoâng chöùa A . Baøi 95 : Cho hai ñöôøng troøn taâm O vaø O’ ôû ngoaøi nhau .Keû tieáp tuyeán chung ngoaøi AB vaø tieáp tuyeán chung trong EF ( A ,E ∈ (O); B, D ∈ (O ))' .Goïi M laø giao ñieåm cuûa AB vaø EF, N laø giao ñieåm cuûa AE vaø BF.Chöùng minh : a)Xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå töù giaùc BHCM laø hình bình haønh. b) Goïi N vaø E laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC .Chöùng minh töù giaùc ANBH noäi tieáp . c) Chöùng minh N , H , E thaúng haøng . Baøi 98.2 : Cho tamgiaùc ABC vuoâng taïi B a) Hai tam giaùc AOM vaø BMO’ ñoàng daïng . coù ñöôøng cao AH .Treân tia ñoái cuûa BA laáy E b) AE vuoâng goùc BF . sao cho BE = BA .Goïi D laø trung ñieåm HB c) O , N , O’ thaúng haøng .
Baøi 96.1 : Cho tam giaùc ABC ,caùc ñöôøng troøn ñöôøng kính AB vaø AC caét nhau taïi taïi A vaø D vaø laàn löôït caét caùc caïnh AB , AC taïi E vaø F . Chöùng minh HE vuoâng goùc CD. a) Chöùng toû caùc ñöôøng thaúng AD ,BF ,CE ñoàng quy. b) Chöùng minh I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc DEF c) Ñöôøng troøn ñöôøng kính AB caét CE taïi N ,ñöôøng troøn ñöôøng kính AC caét BF ôû M .Chöùng toû tam giaùc ANM caân. Baøi 96.2 : Cho tam giaùc ABC caân taïi A .Treân BC laáy hai ñieåm M , N sao cho BM= MN = NC .Chöùng minh Goùc BAM = goùc NAC < goùc MAN Baøi 99.1 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AD laø ñöôøng cao ,keû DE ⊥ AB , DF ⊥ AC .Chöùng minh : a) DB.DC = EA.EB + FA.FC . Heä thöùc coù coøn ñuùng khoâng khi D laø ñieåm tuøy yù treân BC ? AC 3 CF b) = AB 3 BE Baøi 99.2 :
Trong tam giaùc caân ABC töø trung ñieåm H cuûa caïnh ñaùy BC ta keû HE vuoâng goùc AC .Goïi O laø trung ñieåm HE Chöùng minh AO vuoâng goùc BE Baøi 100 : Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 2R .Goïi I laø trung ñieåm OA .Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi OA taïi I caét (O) taïi K .Ñieåm M di ñoäng treân ñoaïn IK .Ñöôøng thaúng AM caét (O) taïi ñieåm C .Tieáp tuyeán taïi C vôùi (O) caét IK taïi N , BC caét IK taïi D. a) Chöùng minh AOK ñeàu vaø tam giaùc CMN caân. b) GOÏi J laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua J .Chöùng minh töù giaùc AMDJ noäi tieáp . c) Cho M laø trung ñieåm IK .Tính MD.