Đề ôn thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Phần Hình học)

Nội dung text: Đề ôn thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Phần Hình học)

1. Bài 1: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. Bài 2. (3,5 điểm) Cho ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N. a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng b) Chứng minh KN là tiếp tuyến với đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm của ABK Bài 3: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH HE. Tính HC. Bài 5:
2. Cho đtròn (O), đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đường tròn đó ( E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. a) Chứng minh KAF đồng dạng KEA . b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. c) Chứng minh MN // AB , trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE , BE với đường tròn (I). d) Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của KPQ theo R khi E di chuyển trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NE và AK, Q là giao điểm của MF và BK. Bài 6: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tuyến tuyến MA , MB đến đường tròn (O) ở đây A , B là các tiếp điểm và C nằm giữa M và D. a) Chứng minh : MA2 = MC.MD b) Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn . c) Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn . Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD. d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) . Chứng minh 3 điểm A, B, K thẳng hàng. Bài 7: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB). a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg A·BC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
3. Bài 1: (3,0 điểm) N D J I O A C B M a) Xét MBC và MDB có: B· DM M· BC (haigãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) 0,5 đ B· MC B· MD Do vậy MBC và MDB đồng dạng MB MD 0,5 đ Suy ra MB.BD MD.BC BC BD b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp BDC B· JC 2B· DC 2M· BC B· JC hay M· BC 2 0,5 đ 1800 B· JC BCJ c©n t¹i J C· BJ 2 B· JC 180O B· JC Suy ra M· BC C· BJ 90O MB  BJ 2 2 0,5 đ Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB c) Kẻ đường kính MN của (O) NB  MB Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ADC 0,5 ® Chứng minh tương tự I thuộc AN Ta có A· NB A· DB 2B· DM B· JC CJ // IN Chøng minh t­¬ng tù: CI // JN
4. Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là: 0,5 đ IC + JB = BN (không đổi) Bài 2: a) (1,5 điểm) A N E I M C B H K AMN và ACB vuông đỉnh A Có A· MN A· HN (cùng chắn cung AN) A· HN A· CH (cùng phụ với H· AN ) (AH là đường kính) A· MN A· CH AMN : ACB b) (1 điểm) HNC vuông đỉnh N vì A· NH 900 có KH = KC NK = HK lại có IH = IN (bán kính đường tròn (AH)) và IK chung nên KNI = KHI (c.c.c) K· NI K· HI 900 K· NI 900 Có KN  In, IN là bán kính của (AH) KN la tiep tuyen của đường tròn đường kính (AH) c) (1 ®iÓm) + Gọi E là giao điểm của AK với đường tròn đường kính (AH), chøng minh gãc HAK= gãc HBI HA HK Ta cã AH2 HB.HC AH.2IH = HB.2HK HB HI HAK : HBI H· AK H· BI + Có H· AK E· HK (chắn cung HE) H· BI E· HK BI // HE Có ·AEH 900 (AH là đường kính) BI  AK ABK có BI  AK và BK  AI I là trực tâm ABK Bài 3: Bài 4:
5. 1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng. 2. nên hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE. 3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có đều cạnh R. Vậy AH= OM= Bài 4: Câu 5: a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC. Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. * Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF, CE là hai đường cao của ΔABC. H là trực tâm của Δ ABC. AH vuông góc với BC. b) Xét Δ AEC và Δ AFB có: chung và Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có: mà và (do AEHF nội tiếp) Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
6. Vậy mà BC = 2KC nên d) Xét Δ EHB và Δ FHC có: (đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6. * Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE) * Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE) Vậy HC = 6 (cm). Bài 5: Câu IV. 1) Xét hai và có: Góc chung (1) ( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (g.g) 2. Do EK là đường phân giác của góc nên K là điểm chính giữa của cung AB suy ra Mà OK = OE nên cân tại O (3) Mặt khác: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nên IF = IE vậy cân tại (4) Từ (3) và (4) suy ra Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) 3. AE cắt (I) tại M, BE cắt (I) tại N Mà suy ra MN là đường kính của đường tròn ( I ) nên MN đi qua I
7. Hơn nữa EF là phân giác của góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy ra Vậy MN // AB 4. Theo đề bài ta có NF cắt AK tại P, MF cắt BK tại Q Suy ra ( vì hai góc đối đỉnh) Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF là tứ giác nội tiếp đường tròn Suy ra ( vì cùng chắn cung KQ ) Mà ( đối đỉnh) Mặt khác ( do cùng chắn cung ME và MN // AB ) Hơn nữa ( vì cùng chắn cung AE ) Suy ra và (chắn cung FQ) Vậy suy ra PKQF là hình chữ nhật Mặt khác: vuông cân tại P Suy ra AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân tại K Vậy chu vi tam giác KPQ là: ( do PQ = KF) Vậy trùng với O hay E là điểm chính giữa của cung AB Bài 6: Câu 5:
8. a) Chứng minh : Vì tính chất phương tích của tiếp tuyến nên ta có b) Chứng minh: M, A, O, I, B cùng nằm trên đuờng tròn Vì nên 3 điểm B, A, I cùng nhìn OM dưới một góc vuông. Vậy 5 điểm B, A, I, M, O cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM c) Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: (c.g.c) nội tiếp Ta có: (chứng minh trên) ( cùng chắn cung DO) Mà (tam giác COD cân tại O) là phân giác của góc CHD d) K là trực tâm của tam giác CDO thẳng hàng. ( chắn nửa đường tròn đường kính KO) Mà Dễ dàng suy ra A, H, K thẳng hàng suy ra A, B, K thẳng hàng. Bài 7: Hình vẽ phục vụ a) M Hình vẽ phục vụ b), c), d) K C E I N A H O B D
9. a) Lí luận được A·CM = 900 , A·NM = 900 Kết luận ANMC là tứ giác nội tiếp. b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: CH2 = AH.HB CH = AH.HB 5 (cm) CH 5 t gA·BC = = HB 5 c) Lí luận được: A·CN=A·MN A·DC=A·BC = B·CO A·DC=A·MN Suy ra được A·CN=B·CO Lí luận N·CO=900 Kết luận NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Gọi I là giao điểm của BE và CH và K là giao điểm của tiếp tuyến AE và BM. Lí luận được OE//BM. Từ đó lí luận suy ra E là trung điểm của AK IC IH BI Lý luận được (cùng bằng ) EK EA BE Mà EK = EA Do đó IC = IH. Kết luận: Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.