Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

1. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán học – Thời gian làm bài 180 phút Bài 1: Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m . a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến . b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng . Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình : x 1 1 ax 2 4 x a 3 Được nghiệm đúng với mọi x . Bài 3: Giải phương trình x 3 x 2 ( x 2 x 1) 2 Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn 2 2 y6 + y3+ 2 x2 = xy x y Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM , CM, DM. Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A1, B1 , C1 , D1. a) Chứng minh rằng : MA 1 MB 1 MC 1 MD 1 Không đổi . AA 1 BB 1 CC 1 DD 1 b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức AM BM CM DM P MA1 MB 1 MC 1 MD 1 Đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 6:Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x 2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực xn . Khi đó tìm lim xn n – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. đáp án và biểu điểm môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12 Bài 1: a) (1.5 điểm ) D = R Cần điều kiện : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0 Thoã mãn với  x (0.25 điểm) + m + 1 = 0 => m = - 1 có y’ = 4 > 0 Thoã mãn với  x vậy m = -1 là giá trị cần tìm . (0.25 điểm) + m + 1 0 = > m = - 1 . Để y’ 0 Thoã mãn với  x cần điều kiện m 1 0 ' 2 9(m 1) 12m(m 1) 0 m 1 0 3 m 1 hoặc m (0.50 điểm) (m 1)(7m 3) 0 7 3 Kết luận: m ; 1 ; . (0.25 điểm) 7 b) Gọi (x0 ;y0) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với  m 3 2 3 2 => m (x0 30 4x0 1) x0 3x0 y0 0 (*) Để phương trình (*) không phụ thuộc m cần 3 2 x0 3x0 4x0 1 0 3 2 x0 3x0 y0 0 3 2 Xét phương trình x0 3x0 4x0 1 0 3 2 Gọi f(x) = x0 3x0 4x0 1 0 là hàm số liên tục trên R + Có f(0) .f(-1) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0) (1.0 điểm) + Có f(1) .f(2) phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) + Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0. Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (- ; 1) Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm . Các nghiệm ấy thõa mãn : x3 3x2 4x 1 0 3 2 x 3x y 0 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Trừ hai phương trình cho nhau được : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đường thẳng y = 4x - 1 . Bài 2 (3 điểm ) Trước hết cần ax2 - 4x + a - 3 0 với mọi x a 0 ' a 4 (0,5 điểm) 4 a(a 3) 0 + Nếu a ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x . ax2 - 5x + a - 4 0 a (do a 4 thì ax2 - 4x + a - 3 > 0 với x . Bất phương trình đã cho thỏa mãn với x . x + 1 0 thỏa mãn với x (1,0 điểm) = 25 - 4a (a - 4 ) 0) 4 41 4a2 - 16a - 25 > 0 a (do a > 4) 2 4 41 4 41 Kết luận: a ;  ; (0.5 điểm) 2 2 Bài 3: ( 3 điểm ) Tập xác định D = x R (0,25 điểm) Do x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình đã cho (0,25 điểm) x 3 x 1 2 x x x 2 2 2 (0,5 điểm) x 2 x 1 1 x 1 x x 2 1 1 2 x 1 x (0,5 điểm) x x 1 Đặt x t. Điều kiện t 2 x – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 1 1 (vì t x x 2 ) (0,25 điểm) x x Ta được phương trình mới 2t2 - 5t + 2 = 0 (0,25 điểm) t 2 1 (0,25 điểm) t (loại do không thoả mãn ) 2 Với t = 2 1 x 2 2 (0,5 điểm) x 2 2x 1 0 x 1 Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25 điểm) Bài 4: (3 điểm ) Điều kiện : xy - x2 y2 0 hay 0 xy 1 (0,25 điểm) Ta có : 1 1 1 xy - x2 y2 = - x2 y2 xy (0,25 điểm) 4 4 4 1 1 xy x2 y2 ( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy = ) 2 2 1 Do đó : y 6 + y 3 + 2x2 (0,25 điểm) 2 1 Kết hợp với giả thiết 2x2 1 (2x y)2 4xy3 y3 (0,25 điểm) 2 Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có : y6 4x2 1 (2x y)2 4xy3 1 (0,25 điểm) 1 1 (2x y)2 (y3 2x)2 Do 1 1 (2x y)2 0 dấu bằng xảy ra khi 1 + (2x - y )2 =1 và (y 3 2x) 2 0 (0,25 điểm) nên ta có 1 1 (2x y)2 (y3 2x) = 0 y3 2x 0 (0,25 điểm) 2x y 0 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. y3 1 y1 0 y2 1 Giải hệ này ta được ; ; 1 (0,5 điểm) x 0 x 1 1 2 x3 2 1 Thử lại chỉ thấy : (x ; y ) = ; 1 thoả mãn (0,5 điểm) 2 Bài 5: (4 điểm ) a) Gọi thể tích các khối tứ diện M.BCD ; M.ACD ; M.ABC và ABCD là V1 , V2 , V3 , V4 và V khi đó : MA V MB V MC V MD V 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 3 (1,0 điểm) AA1 V BB1 V CC1 V DD1 V Cộng 4 đẳng thức trên = > khết quả = 1 (không đổi ) (0.5 điểm ) 2 2 2 2 b) Theo kết quả câu a để thuận tiên gọi V1 = a ; V2 = b ; V3 = c ; V4= d . Khi đó : 2 2 2 2 AA1 V a b c d 2 MA1 V1 a AM b2 c2 d 2 => 2 MA1 a Tương tự: BM d 2 c 2 a 2 2 MB1 b CM d 2 a2 b2 2 MC1 c DM a2 b2 c2 2 . (1,0 điểm) MD1 d Mặt khác theo Bất đẳng thức Bunhi a ta có : (b + c + d ) 2 3 (b2 + c2 + d2 ) BM b2 c2 d 2 1 b c d => (0,5 điểm) AM1 a 3 a Tương tự : BM 1 a c d MB1 3 b CM 1 a b d MC1 3 c – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. DM 1 a b c MD1 3 d 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d (0,5 điểm) 1 b c d d c a a b d a b c 1 =>T .12 4 3 3 a b c d 3 (Theo BĐT cô si cho 2 số không âm ) Vậy T min = 43 khi a2 = b2 = c2 = d2 Hay M là trọng tâm tứ diện ABCD ) (0.5 điểm ) Bài 6: (3 điểm ) Tập xác định D = R (0,25 điểm) Phương trình đã cho x2n 1 x 1 x(x2n 1) 1 (*) (0,5 điểm ) + Nếu x 1 x2n 1 : vế trái 0 (0,25 điểm) Vậy phương trình vô nghiệm . +Nếu 0 vế trái (*) âm = > phương trình vô nghiệm (0,25 điểm) +Nếu –1 1 xét f(x) = x2n 1 x 1 là hàm số liên tục trên (1 ; + ) mà f(-1) . f(2) < 0 . nên theo tính chất của hàm số liên tục xn (0,5 điểm ) Sao cho xn (1;2 ) để f (xn ) = 0 : 2n 1 2n xn 1 2n 1 với xn = x 1 n 2n 1 2n (theo bất đẳng thức côisi ) (0,5 điểm ) 2n 1 Và lim x lim 1 n 2n Vậy lim xn = 1 (0,25 điểm) n 2n 1 Do 1 xn 2n – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất