Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12: Tích phân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12: Tích phân (Có đáp án)

1. II, TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân ① Cho hàm số f (x) liên tục trên K và a, b Î K . Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của f (x) b trên K thì F (b) - F (a) được gọi là tích phân của f (x) từ a đến b và được kí hiệu là ò f(x)dx. a b b Khi đó: I = f (x) ×dx = F(x) = F(b) - F(a) , với a gọi là cận dưới, b là cận trên. ò a a ② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x , nghĩa là: b b b I = ò f (x) ×dx = ò f (t) ×dt = ò f (u) ×du = ×××××= F(b) - F(a). a a a é ù ③ Nếu hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn ëêa;bûú thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ò f (x) ×dx × a Tính chất của tích phân b a a b b  ò f(x)dx = - ò f(x)dx và ò f(x)dx = 0.  òkf (x)dx = kò f (x)dx, với (k ¹ 0). a b a a a b b b b c b é ù  ò ëêf (x) ± g(x)ûúdx = ò f (x)dx ± òg(x)dx.  ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx. a a a a a c Dạng toán 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 6 4 6 Câu 1. Nếu f (x)dx = 10 và f (x)dx = 7 thì f (x)dx có giá trị là: ò0 ò0 ò4 A. 17 B. 170 C. 3 D. –3 2 4 4 Câu 2. Cho ò f (x)dx = 1 và ò f (t )dt = - 3 . ò f (u)du có giá trị là : 1 1 2 A.– 2 B. – 4 C. 2 D. 4 5 5 5 f x dx = 3; g x dx = 9 A = éf x + g x ùdx Câu 3. Cho biết ò ( ) ò ( ) . Giá trị của ò ëê ( ) ( )ûú là 2 2 2 A. Chưa xác định B. 12 C. 3 D. 6 b b c Câu 4. Giả sử ò f (x)dx = 2 và ò f (x)dx = 3 và a < b < c thì ò f (x)dx bằng? a c a A. 5 B. 1 C. –1 D. –5 10 6 Câu 5. Cho hàm số f (x ) liên tục trên đoạn é0;10ù thoả: f (x)dx = 7, f (x)dx = 3 . Khi đó, giá trị ëê ûú ò0 ò2 2 10 của P = f (x)dx + f (x)dx là ò0 ò6 A. P = 1 B. P = 4 C. P = 3 D. P = 2 4 Câu 6. Nếu f (1) = 12 , f '(x) liên tục và ò f '(x)dx = 17 . Giá trị của f (4) bằng 1
2. A. 29 B. 5 C. 15 D. 19 4 2 Câu 7. Nếu f (x ) liên tục và ò f (x)dx = 10 thì ò f (2x)dx bằng 0 0 A. 29 B. 5 C. 9 D. 19 d d b Câu 8. Nếu f (x)dx = 5 và f (x)dx = 2 , với a < d < b thì f (x)dx có giá trị là: ò ò òa a b A. 7 B. 3 C.- 3 D. 5 é ù Câu 9. Cho f (x) là hàm số liên tục trên ëêa;bûú . Đẳng thức nào sau đây sai? b a b A. ò f(x)dx = - ò f(x)dx B. òkdx = k(b - a)" k Î ¡ a b a b c b b a é ù C. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx,(c Î ëêa;bûú) D. ò f(x)dx = ò f(x)dx a a c a b b Câu 10. Biết ò(2x - 4)dx = 0 , khi đó b nhận giá trị bằng 0 éb = 1 éb = 0 éb = 1 éb = 0 A. ê B. ê C. ê D. ê êb = 4 êb = 2 êb = 2 êb = 4 ëê ëê ëê ëê m Câu 11. Tìm m , biết ò(2x + 5)dx = 6 . 0 A. m = 1,m = - 6. B. m = 1,m = 6. C. m = - 1, m = - 6. D. m = - 1,m = 6. x F(x) = (t 2 + t)dt é ù Câu 12. Cho ò . Giá trị nhỏ nhất của F (x ) trên ëê- 1;1ûú là: 1 5 5 5 A. B. 1 C. - D. 3 6 6 2 2 f x dx = 3 é4f x - 3ùdx Câu 13. Cho ò ( ) . Khi đó ò ëê ( ) ûú bằng: 0 0 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 x Câu 14. Các số thực x sau đây thỏa mãn đẳng thức I = ò(1- t)dt = 0 là. 0 A. x = 0 hoặc x = – 2 .B. x = 0 hoặc x = 2 .C. x = 0 hoặc x = 1 . D. x = 0 hoặc x = – 1 5 dx Câu 15. Giả sử = lnK . Giá trị của K là: ò 2x - 1 1 A. 9 B. 8 C. 81 D. 3 0 3x2 + 5x - 1 2 Câu 16. Giả sử I = dx = a ln + b . Khi đó giá trị a + 2b là ò x - 2 3 - 1 A.30 B. 40 C. 50 D. 60 0 dx Câu 17. Tính tích phân I = (a là tham số thực dương). ò 2 - a a - ax
3. A. I = a . B. I = (- 2 + 2 2)a . C. I = - 2+ 2 2 D. I = - a . 4m 2 Câu 18. Cho f (x)= + sin x . Tìm m để nguyên hàm F (x) của hàm số f (x ) thỏa mãn p æ ö çp÷ p F (0) = 1 và F ç ÷= èç4÷ø 8 4 3 4 3 A. m = - B. m = C. m = D. m = - 3 4 3 4 p 4 2 Câu 19. Giả sử I = sin 3x sin 2xdx = a + b khi đó a + b là ò 2 0 1 3 3 1 A. - B. C. - D. 6 10 10 5 1 Câu 20. Để hàm số f (x) = a sin px + b thỏa mãn f (1) = 2 vàòf (x)dx = 4 thì a,b nhận giá 0 trị : A. a = p,b = 0 B.a = p,b = 2 C. a = 2p,b = 2 D. a = 2p,b = 3 2p Câu 21. Cho f (x) = A sin 2x + B . Tìm A và B , biết f '(0) = 4 và ò f(x).dx = 3 0 1 3 3 1 A. A = 2,B = .B. A = 1,B = .C. A = 2,B = . D. A = 1,B = 2p 2p 2p 2p 1 x Câu 22. Cho I = ò(ax - e )dx . Xác định a để I < 1+ e. 0 A. a < 4e. B. a < 4e + 1. C. a < 2e. D. a < 2e + 2. 0 æ x ö ç - ÷ Câu 23. Nếu I = ç4- e 2 ÷dx = K - 2e thì giá trị của K là : òç ÷ - 2 è ø A. 11 B. 10 C. 12,5 D. 9 2 x2 2x x 1 Câu 24. Cho tích phân dx a bln 3 c ln 2 (a,b,c ¤ ) . Chọn khẳng định đúng trong các 1 x 1 khẳng định sau: A. a 0 B. c 0 C.b 0 D. a b c 0 2 Câu 25. Tìm các hằng số A, B để hàm số f x A.sin x B thỏa các điều kiện: f ' 1 2 ; f (x)dx 4 0 2 2 2 A A A A A. . B. . C. 2 . D. . B 2 B 2 B 2 B 2 Dạng toán 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b b éf (x)ù×u¢(x) ×dx = F éu(x)ù = F éu(b)ù- F éu(a)ù× ò ëê ûú ëê ûúa ëê ûú ëê ûú a – Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t = u(x ) Þ dt = u ¢(x ) ×dx (xem lại các phương pháp đổi biến số trong phần nguyên hàm)
4. ì ì ï x = b ï t = u(b) – Bước 2. Đổi cận: í Þ í (nhớ: đổi biến phải đổi cận) ï x = a ï t = u(a) îï îï u(b) – Bước 3. Đưa về dạng I = ò f (t) ×dt đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) 3 x 2 Câu 1.Biến đổi ò dx thành ò f (t )dt với t = 1+ x . Khi đó f (t) là hàm nào trong các hàm 0 1+ 1+ x 1 sau đây? A. B.f ( tC.) = D.2 t 2 - 2t f (t ) = t 2 + t f (t ) = 2t 2 + 2t f (t ) = t 2 - t 1 Câu 2. Cho tích phân 3 1 xdx ,với cách đặt t 3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 1 1 1 1 A 3B. t.C.3dt.D 3 t 2dt t3dt 3 tdt 0 0 0 0 2 3 3 Câu 3. Tích phân I dx bằng: 2 2 x x 3 A B C D 6 3 2 a Câu 4. Tích phân x2 a2 x2 dx a 0 bằng 0 .a4 .a4 .a3 .a3 A. .B C D 8 16 16 8 1 M M Câu 5. Biết tích phân x 3 1 xdx , với là phân số tối giản. Giá trị M N bằng: 0 N N A.35 B.36 C.37 D.38 1 dx Câu 6. Đổi biến x = 2sint tích phân trở thành: 2 0 4 x 6 6 6 1 3 A. tdt B. dt C. dt D. dt 0 0 0 t 0 Dạng toán 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN é ù Định lý: Nếu u = u(x ) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn ëêa;bûú thì: b b b b b b I = u(x) ×v¢(x) ×dx = éu(x) ×v(x)ù - u¢(x) ×v(x) ×dx hay I = udv = u.v - vdu. ò ëê ûúa ò ò a ò a a a a Thực hành: — Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, ì Vi phân b b ï u = ××××××××××× ¾ ¾ ¾ ¾® du = ××××××××××dx b — Đặt: íï × Suy ra: I = udv = u.v - vdu. ï dv = ××××××dx ¾ ¾Ngu¾yên ¾ha#m¾® v = ××××××××××× ò a ò îï a a — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì 1 chọn u = ln hay u = log x = .lnx và dv = còn lại. Nếu không có ln ; log thì chọn u = đa a lna thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, . — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
5. — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. 1 Câu 1. Biết rằng tích phân ò(2x + 1)exdx = a + b.e . Khi đó tích ab bằng 0 A. 1 .B. .C. D. . - 1 - 15. 2 a x Câu 2. Tìm a 0 sao cho x.e 2 dx 4 0 1 1 A. 4 . B. . C. . D. 2 . 4 2 a 1 Câu 3. Cho hàm số : f (x) bxex . Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 và f (x)dx 5 3 (x 1) 0 A. a 2,b 8 . B. a 2,b 8 . C. a 8,b 2. D. a 8,b 2 . 1 1 Câu 4. Biết rằng : x cos 2xdx (asin2 bcos 2 c) , với a,b,c Z . Mệnh đề nào sau đây là đúng: 0 4 A. 2a b c 1. B. a 2b c 0 . C. a b c 0 . D. a b c 1 . m Câu 5. Cho m là một số dương và I (4x ln 4 2x ln 2)dx . Tìm m khi I = 12 0 A. m 4 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . 2 Câu 6: Biết (2x 1)cos xdx m n . Tính T m 2n. 0 A. T 5. B. T 3. C. T 1. D. T 7. p Câu 7: Cho tích phân I = 2 sin2xesinxdx . Một học sinh giải như sau: ò0 x = 0 Þ t = 0 1 t Bước 1: Đặt t = sin x Þ dt = cosxdx . Đổi cận p Þ I = 2 te dt x = Þ t = 1 ò0 2 ïì u = t ïì du = dt 1 1 1 1 ï ï t t t t Bước 2: Chọn í t Þ í t Þ te dt = te - e dt = e - e = 1 ï dv = edt ï v = e ò0 0 ò0 0 îï îï 1 Bước 3: I = 2 tetdt = 2 ò0 Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải trên sai từ bước 1. B. Bài giải trên sai từ bước 2 . C. Bài giải trên hoàn toàn đúng. D. Bài giải trên sai ở bước 3.