Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN TÂN SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD&ĐT CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Năm học: 2019 - 2020 (Đề thi có 02 trang) Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Chọn phương án trả lời đúng: 2 1 5 1 Câu 1. Cho x 0 và x 7 . Giá trị của biểu thức xbằng: x2 x5 A.18 B. 216 C. 123 D. 343 2 Câu 2. Cho biết a b 3 (với a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng nhậnS a b 2 3 giá trị bằng bao nhiêu? A. S 6 B. S 3 C. S 6 D. S 3 3 3 Câu 3. Phương trình nào sau đây nhận x0 9 4 5 9 4 5 là nghiệm: 3 3 3 3 A. x3 3x 17 1 0 B. x3 3x 1 1 0 C. x 3 x 1 1 0 D. x 3 x 1 7 1 0 Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 (vớix 2 ) bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5. Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 (m là tham số). Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định nào sau đây với mọi giá trị của m? A. (2; 3) B. (- 2; - 3) C. (2 ; - 3) D. (- 2; 3) Câu 6. Cho đường thẳng (d) có phương trình: 3x – 2y + 6 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là: 3 13 6 13 9 13 18 13 A. B. C. D. 13 13 13 13 Câu 7. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình x2 x 2018y 1 0 ? A. 1 B. 2 C. không có D. vô số Câu 8. Giá trị x thỏa mãn x 2019 x 2020 0 là: A. x 2019 B. x 2 0 20 C. x 2 0 19 và x 2020 D. Không có giá trị của x thỏa mãn Câu 9. Giá trị lớn nhất của biểu thức Nlà: 3x 5 7 3x A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 Câu 10. Một nhóm gồm 31 bạn học sinh dự định đóng tiền tổ chức một chuyến đi trải nghiệm (chi phí chuyến đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi hợp đồng xong có 3 bạn bận việc đột xuất không thể tham gia nên họ không phải đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ phải đóng thêm 18000 đồng so với dự kiến ban đầu. Hỏi tổng chi phí cho chuyến đi là bao nhiêu? A. 5.028.000 (đồng) B. 5.208.000 ( đồ ng) C. 5.280.000 (đồng) D. 5.054.000 ( đồ ng) Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống HB 1 cạnh BC, biết AH = 12 cm và . Khi đó độ dài đoạn BC là: HC 3 A. 6cm B. 4 3 cm C. 8 cm D. 12 cm 1
2. Câu 12. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông này gấp 3 lần cạnh góc vuông kia và có diện tích là 24 cm2. Độ dài đường cao AH là: 6 10 2 10 A. cm B. cm C. 2 10 cm. D. 4 10 cm 5 5 Câu 13. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước). M, N là hai điểm nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A,B đến MN bằng R 3 . Độ dài đoạn MN (theo R) nhận giá trị nào sau đây? A. MN R B. M N 2R C. M N 3R D. M N 2R Câu 14. Cho tam giác ABC có AC = 3, AB = 4 và BC = 5. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho chu vi ACD bằng chu vi ABD. Hỏi ABD có diện tích bằng bao nhiêu? 3 3 12 5 A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 4 2 5 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 8cm2 . Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết rằng đường cao AD chia đôi cạnh BC và AD cắt MN tại I. Hỏi tứ giác BMID có diện tích là bao nhiêu? A. 1,5 cm2 B. 2 cm2 C. 2,5 cm2 D. 3 cm2 Câu 16. Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa hết 441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men trắng nằm trên hai đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men xanh? A. 380 (viên) B. 400 (viên) C. 405 (viên) D. 415 (viên) II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm). 2 2 x 1 x 1 3 x 1 Câu 17 (3,0 điểm). Cho biểu thức P với x 0 , x 1 . x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x là số chính phương để 2019.P là số nguyên. Câu 18 (3,0 điểm). a) Giải phương trình x3 6 3 6x 9 9 . b) Cho ba số tự nhiên a, b, c. Biết rằng 7a + 2b - 5c chia hết cho 11. Chứng minh rằng 3a - 7b + 12c cũng chia hết cho 11. Câu 19 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, với E không trùng B và E không trùng C. Vẽ EF vuông góc với AE, với F thuộc CD. Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại G. Vẽ đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với AE, đường thẳng a cắt đường thẳng DE tại điểm H. AE CD a) Chứng minh . AF DE b) Chứng minh rằng tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp được đường tròn. Câu 20 (3,0 điểm). Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R2 . Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA +2 MB đạt giá trị nhỏ nhất? HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./. 2
3. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Năm học: 2019 - 2020. Môn: Toán 9 Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp C A A B D B C B D B C A A C D B án II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) 2 2 x 1 x 1 3 x 1 Câu 17 (3,0 điểm). Cho biểu thức P với x 0 , x 1 . x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x là số chính phương để 2019.P là số nguyên. Nội dung cần đạt Điểm x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 1 a) Ta có: P 0,50 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 1 2x 3 x 1 0,75 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 0,75 x 1 x 1 x 1 2 x 1 3 b) 2019.P là số nguyên 2019. Z 2019. 2 Z 0,50 x 1 x 1 3 Z x 1  1; 3 x 0;4 0,25 x 1 Vì x là số chính phương nên x 0 và x 4 thỏa mãn. 0,25 Câu 18 (3,0 điểm). a) Giải phương trình x3 6 3 6x 9 9 . b) Cho ba số tự nhiên a, b, c. Biết rằng 7a + 2b - 5c chia hết cho 11. Chứng minh rằng 3a - 7b + 12c cũng chia hết cho 11. Nội dung cần đạt Điểm a) Giải phương trình x3 6 3 6x 9 9 1 Đặt t 3 6x 9 , ta có: t3 6x 9 (2) 0,50 Phương trình 1 x3 6t 9 3 t3 6x 9 (2) Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình: 3 0,25 x 6t 9 (3) Hệ phương trình đã cho t x t 2 tx x2 6 0 (4) 0,25 3
4. t x t x 0 2 2 2 x 3 2 0,25 t tx x 6 0 t x 6 0 2 4 Thay t x vào phương trình 1 ta được x3 6x 9 0 2 0,25 2 2 3 3 x 3 x 3x 3 0 . Vì x 3x 3 x 0 x 3 2 4 b) Cho ba số tự nhiên a, b, c. Biết rằng 7a + 2b - 5c chia hết cho 11. Chứng minh rằng 3a - 7b + 12c cũng chia hết cho 11. Vì 7a + 2b - 5c chia hết cho 11, suy ra: 2.(7a + 2b - 5c) = 14a + 4b - 10c 0,50 cũng chia hết cho 11 Ta có: 14a + 4b - 10c = (3a - 7b +12c) + 11.(a + b - 2c) 0,50 Vì 11.(a + b - 2c) chia hết cho 11, nên 3a - 7b +12c cũng chia hết cho 11 (đpcm). 0,50 Câu 19 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, với E không trùng B và E không trùng C. Vẽ EF vuông góc với AE, với F thuộc CD. Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại G. Vẽ đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với AE, đường thẳng a cắt đường thẳng DE tại điểm H . AE CD a) Chứng minh . AF DE b) Chứng minh rằng tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp được đường tròn. Nội dung cần đạt Điểm Hình vẽ: a A B 1 2 E 1 D 1 C F H G AE CD a) Chứng minh . AF DE Tứ giác AEFD có AEF ADF 1800 , suy ra tứ giác AEFD nội 0,50 tiếp được một đường tròn. 4
5. A1 D1 (cùng chắn cung EF ) 0,25 AEF : DCE ( g - g ) 0,25 AE AF AE CD (đpcm). 0,50 DC DE AF DE b) Chứng minh rằng tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp được đường tròn. 0 0 Ta có A1 A2 90 ; E1 D1 90 0,50 Mà A1 D1 A2 D1 0,50 Suy ra tứ giác AEGH nội tiếp đường tròn đường kính HE 0,50 Câu 20 (2,0 điểm). Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R2 . Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA +2 MB đạt giá trị nhỏ nhất? Nội dung cần đạt Điểm B M N O A C Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O,R). Trên đoạn OC lấy điểm N OC 0,50 sao cho 2 ON OC OM OA Suy ra 2 suy ra MOA ~ NOM (c.g.c) ON ON OM 0,50 MA 2 MA 2MN MN MA 2MB 2MN 2MB 2 MN MB 2NB (không đổi) 0,50 Dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường tròn(O,R) 0,50 HẾT 5