Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam môn Toán năm 2020

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam môn Toán năm 2020

1. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM NĂM 2020 Thời gian làm bài: 270 phút. Ngày thi thứ nhất (27/06/2020). Bài 1. Cho trước n 2 là số nguyên dương và dãy số nguyên dương a12 a an . Trong các tập con của tập hợp {1,2, ,n }, xét X là tập con sao cho aaii là nhỏ nhất. i X i X Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương 0 b12 b bn sao cho bbii . i X i X Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ()O , có đường tròn nội tiếp ()I tiếp xúc với các cạnh BC,, CA AB lần lượt ở DEF,,. Gọi KMN,, lần lượt là trung điểm các cạnh BC,,. CA AB a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua DEF,, lần lượt song song với IK,, IM IN thì đồng quy. b) Gọi TPQ,, lần lượt là điểm chính giữa các cung lớn BC,, CA AB của (O ). Chứng minh rằng đường thẳng qua DEF,, và song song với IT,, IP IQ thì cũng đồng quy. Bài 3. Với số nguyên dương n cho trước, xét một giải bóng đá có 4n đội bóng được tổ chức thi đấu với nhau qua các lượt trận. Ở mỗi lượt trận, người ta chia 4n đội bóng thành 2n cặp thi đấu với nhau. Biết rằng sau giải đấu thì hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá 1 lần. Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất để có thể sắp xếp một lịch thi đấu gồm a lượt trận thỏa mãn điều kiện trên và sau a lượt thi đấu đó, với mọi cách chia các đội bóng thành 2n cặp thì luôn có ít nhất một cặp đã thi đấu với nhau.
2. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM NĂM 2020 Thời gian làm bài: 270 phút. Ngày thi thứ hai (28/06/2020). Bài 4. Với n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông (2 1nn ) (2 1 ) và ban đầu, mỗi ô có tô màu trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, nếu số ô trắng ít hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô trắng; còn nếu số ô trắng nhiều hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô đen. Gọi a là tổng số ô đen, b là tổng số ô trắng và c là số ô được đánh dấu. × × × × (Hình minh họa với bảng 33 , sau khi đánh dấu có a b c 3 , 6 , 4 ) m in {ab , } Chứng minh rằng với trong mọi cách tô bảng ban đầu thì c . 2 Bài 5. Tìm tất cả số nguyên dương k sao cho tồn tại hữu hạn số nguyên dương n lẻ thỏa mãn nk|1.n Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn ()O có các đường cao ADBECF,, đồng quy tại trực tâm H. Gọi G là điểm đối xứng với O qua BC. Kẻ các đường kính EK, FL theo thứ tự của các đường tròn (GHE ),( GHF ). a) Giả sử AK, AL lần lượt cắt DEDF, ở UV,. Chứng minh rằng UV song song với EF. b) Gọi S là giao điểm hai tiếp tuyến của ()O ở BC,. Gọi T là giao điểm của DS,. HG Gọi MN, là hình chiếu của H lên các đường thẳng TE TF,. Chứng minh rằng MNEF,,, cùng thuộc một đường tròn.