Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS Đề chính thức NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) x 1 2 x 2 5 x Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 4 x 2 x 2 4 x a) Rút gọn A. 4 b) Tính giá trị của A khi x = . 9 c) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên. Câu 2 (4điểm): 1. Giải các phương trình sau: a) 4x2 4x 1 2x 1 b) x 3 4 x 2x 6 5 x 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6 Câu 3 (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = 3 (d) (m là tham số) a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) 9 b) Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng . 2 Câu 4 (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H. a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm. b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng. c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K. Chứng minh diện tích S AMB = AK.KB Câu 5 (1,5 điểm) Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy. 1 1 Chứng minh rằng: 1 3x2 1 3y2 1 HẾT Đề có 01 trang Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu Hướng dẫn giải, đáp án Điểm 1 a) (5 điểm) x 1 2 x 2 5 x A = x 2 x 2 4 x ( x 1)( x 2) 2 x( x 2) (2 5 x) 0,5 ( x 2)( x 2) x 3 x 2 2x 4 x 2 5 x 0,5 ( x 2)( x 2) 3 x( x 2) 3 x 1,0 ( x 2)( x 2) x 2 4 b) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x = ( t/m đk ) 0,25 9 4 2 3 3. A 9 3 0,75 4 2 2 2 9 3 2 1 3 2 4 0,5 2 4 3 3 c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4 0,25 3 x A nguyên có giá trị nguyên. x 2 3 x 6 6 Mặt khác 3 3 (vì > 0 ) 0,25 x 2 x 2 x 2 Suy ra 0 ≤ A < 3 0,25 Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2 A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk ) A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk ) A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên thì x { 0 ;1 ;16} ∈ 0,75 2
3. Câu 2 4x2 4x 1 2x 1 (4,0 điểm) 2x 1 2x 1 0,5 1 x 2 0,5 2x 1 2x 1 1) a) 2x 1 2x 1 1 x 2 0x 2(kt / m) 0,5 x 0 b)Đk 0≤ x ≤ 5 0,25 x 3 4 x 2x 6 5 x x 3 5 x 2( x 1)2 4 (1) 0,25 Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4 x 3 5 x Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 1 0,25 x 1 0 (t/mđk) Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = 1 0,25 2. n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n 0,5 vì n.(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên n.(n+1)(n+2) 0,5 chia hết cho 6 . 2016n luôn chia hết cho 6 0,25 Vậy n3 + 3n2 + 2018 n luôn chia hết cho 6 với mọi n € Z 0,25 Câu 3 a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) nên ta có (2,5 điểm) x = - 1; y = -2 thay vào 0,5 và giải ra ta được m = 0 0,5 Để d cắt 2 trục tọa độ thì m ≠ -1 ; 2 0,25 c) Giả sử (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính 3 3 được tọa độ A (;0 ) B (0; ) 0,25 m 1 m 2 Ta có tam giác OAB vuông tại O nên 0,25 3
4. 1 1 3 3 0,25 S OA.OB OAB 2 2 m 1 m 2 9 1 3 3 9 S OAB 2 2 m 1 m 2 2 1 13 m Giải ra ta có 2 (t/mđk) 1 5 m 0,5 2 1 13 m Vậy 2 thì 1 5 m 2 x y D M C I A H K O B a) Tam giác AMC vuông tại M 0,5 có MH là đường cao 0,5 MH = AH.BH ( hệ thức lượng ) = 3.5 15 (cm) 0,5 0,5 AC AI CM a) Vì AC song song với BD nên ta có ( Vì 0,5 BD ID MD AC=CM; BD =MD) 0,5 Suy ra MI// AC. Mà MH//AC ( vì cùng vuông góc AB) 1,0 Suy ra M, I, H thẳng hàng 0,5 c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b Ta có 4
5. a c b a b c AK ; BK 0,5 2 2 a c b a b c 1 (a c b).(a b c) 0,5 AK.BK . . 2 2 2 2 1 a2 (b c)2 1 a2 (b2 c2 ) 2bc 0,5 2 2 2 2 0,5 1 2bc 1 . bc 2 2 2 1 AM.BM S 2 AMB 0,5 Vậy S AMB = AK.KB 5 Từ (x+1)(y+1) = 4xy x 1 y 1 (1,5 . 4 điểm) x y 1 1 (1 )(1 ) 4 x y 0,5 1 1 Đặt a = ; b = x y Ta có (1+a)(1+b) = 4 3 a b ab 0,5 ( a b)2 2 ab ab 2 ab ab Từ đó ab 1 Áp dụng AM – GM cho 2 số thực dương ta có 1 1 a x 2 1 2 3x 1 3 a b ab a x2 a 1 a a ( ) (a b)(a 1) 2 a b a 1 Tương tự ta có 1 1 a b ( ) 3y2 1 2 a b b 1 0,5 Cộng vế theo vế ta được 5
6. 1 1 1 a b a b ( ) 3x2 1 3y2 1 2 a b a b a 1 b 1 1 2ab a b 1 ab 3 1 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (a 1)(b 1) 2 2 2 4 1 a a a b b 1 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b 1 b b a b b 1 x = y = 1 6