Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

1. ubnd huyện kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện phòng giáo dục và đào tạo môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề) Đề thi chính thức Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011 Câu 1 (2,5 điểm): a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 6 5 14 6 5 2 x 9 x 3 2 x 1 b/ Rỳt gọn biểu thức với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x 5 x 6 x 2 3 x c/ Cho x 3 2 ; y 3 2 . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5 . Câu 2 (2 điểm): a/ Giải phương trình: 2x x 1 4 mx 4y 10 m b/ Tìm m để hệ phương trình x my 4 có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0. Câu 3 (1 điểm): Cho hàm số y = (a – 1)x + a với a ≠ 1. Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2. Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lượt tại E và F a/ Tính số đo góc EOF ? 5 b/ Biết EF = R , tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF. 6 c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất. Câu 5 (1,5 điểm): a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6. Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6. b/ Chứng minh x2 4 x2 2x 10 26 Hết Họ và tên: SBD Chữ kí GT 1:
2. Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011 môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011 Câu Đáp án Điểm 2 2 a/ 14 6 5 14 6 5 3 5 3 5 0,5 3 5 3 5 3 5 3 5 6 0,5 b/ 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 3 2 x 1 0,25 x 5 x 6 x 2 3 x ( x 2)( x 3) x 2 x 3 2 x 9 ( x 3)( x 3) (2 x 1)( x 2) 0,25 Câu 1 ( x 2)( x 3) (2,5 đ) x x 2 0,25 ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 2) x 1 0,25 ( x 2)( x 3) x 3 c/ Tính được x + y = 6 và xy = 7 Tính được x2 + y2= 22 Và x3 + y3 = 90 0,25 Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 0,25 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ a/ Đưa được về dạng x 1 2x 4 0,25 ĐK có nghiệm x ≥ 2 0,25 Biến đổi về PT (x – 3)(4x – 5) = 0 0,25 5 Tìm được x = 3 (thoả mãn); x = (loại) 0,25 4 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ b/ Câu 2 Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m 2 2 (2 đ) => 4m – m y + 4y = 10- m (4-m )y = 10-5m 0,25 (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*) Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất => (2- m)(2+m) 0 => m 2 5 8 m => y = ; x= 2 m m 2 0,25 Giải điều kiện y > 0 tìm được m > -2 Với m > -2 và x > 0 tìm được m a = 4 1 a 0,25 Đưa đượcvề PT : a2 = ± 4(1 – a)
3. Tìm được a = 2 0,25 và a 2 2 2; a 2 2 2 0,25 a/ O B E M C F A 1 1 0,5 CM được Mã OE Mã OB ; Mã OF Mã OC 2 2 1 0,25 => EãOF BãOC 2 0,25 Chứng minh được BãOC 900 => EãOF 450 b/ 5R2 Tính được diện tích tam giác OEF = 0,75 Câu 4 12 (3 đ) 1 0,25 Chứng minh SOEF = SOBEFC 2 5 2 => SOBEFC = R 6 Ta có S = R2 ABOC 0,25 1 2 => SOEF = R 6 c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra EF x2 y2 0,25 Chu vi tam giác AEF = 2a. x y x2 y2 2a 2(x2 y2 ) x y 2 suy ra 2. x2 y2 x y 0,25 2a x y x2 y2 x2 y2 1 2 EF. 1 2 2a Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng khi x = y vậy M là chính giữa 0,25 1 2 cung BC a/ Ta có: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c ) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1) 0,25 Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6 0,25 0,25 Từ đó suy ra a3 + b3 + c3 chia hết cho 6. Câu 5 (1,5 đ) b/Chứng minh được a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d)2 0,25 Từ đó suy ra x2 4 x2 2x 10 x2 22 ( x 1)2 32 26 0,25 5 Dấu = xảy ra khi x = 0,25 2