Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH CAO BẰNG NĂM HỌC 2010-2011 Mụn: Toỏn Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ( Đề gồm 01 trang) 2x 1 Cõu I (5 điểm): Cho hàm số y cú đồ thị (H) x 2 a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m luụn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm m để khoảng cỏch AB ngắn nhất. 2sinu 1 b) Tỡm t để phương trỡnh t ( ẩn là u) cú nghiệm trờn 0; . sinu 2 Cõu II (4 điểm): a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của hàm số y 2 x 2 x (2 x )(2 x ) 5 b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A,B,C thỏa món cos2ABC 3cos2 3cos2 0 . Xỏc 2 định cỏc gúc A,B,C. x2 y 2 1 k ( x y 1) 1 Cõu III (3 điểm): Cho hệ phương trỡnh ( k là tham số) xy 1 x y a) Giải hệ phương trỡnh khi k=0 b) Tỡm k để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. Cõu IV (2 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SA, SD. Mặt phẳng () chứa MN cắt cỏc cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt SQ V 3 x , tỡm x để S. MNPQ . SB VS. ABCD 8 Cõu V (4 điểm): Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB=a, AC a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’.ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. Cõu VI (2 điểm): u 1 1 u u u 2 1 2 n Cho dóy số ()un xỏc định như sau: u . Tớnh lim . n n u u u un 1 u n , n 1 2 3n 1 2010 Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Họ tờn, chữ kớ của giỏm thị 1:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CAO BẰNG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 Mụn: Toỏn ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Cõu Nội dung Điểm I 2x 1 Cho hàm số y cú đồ thị (H) (5 điểm) x 2 3 a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m luụn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm m để khoảng cỏch AB ngắn nhất. * Hoành độ giao điểm của (H) và đường y x m nghiệm phương trỡnh 2x 1 x m (1) x 2 1 x2 (4 m ) x 1 2 m 0 Ta cú (1) . x 2 2 x m 12 0 Vỡ nờn (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt do đú 2 (2) (4 m )(2)12 m 30 0,5 đường thẳng y x m luụn cắt (H) tại hai điểm phõn biệt A,B. * Vỡ A, B là giao điểm của (H) và đường y x m nờn hoành độ của A và B x x m 4 nghiệm phương trỡnh x2 (4 m ) x 1 2 m 0. Theo Viet ta cú AB 0,5 xAB. x 1 2 m (2) 2 2 2 Khoảng cỏch AB ()() xBABA x y y 2 2 2 0,5 AB ( xBABA x ) (( x m ) ( x m )) (2) 2(x x )2 2( m 2 12)24 AB 26 . BA 0,5 Do vậy AB ngắn nhất bằng 2 6 khi m=0 2sinu 1 b) Tỡm t để phương trỡnh t (*) ( ẩn là u) cú nghiệm trờn 0;  2 sinu 2 Đặt sin u x , vỡ u 0;  nờn x 0;1 2x 1 0,5 Bài toỏn đưa về tỡm t để phương trỡnh t cú nghiệm x 0;1 x 2 2x 1 Xột hàm số y trờn 0;1 x 2 Hàm số y xỏc định và liờn tục với x 0;1 1 3 1 y' 0,  x  0;1 . Suy ra miny y (0) , maxy y (1) 1 (x 2)2 x 0;1 2 x 0;1 1 Do đú phương trỡnh (*) cú nghiệm t 1. 0,5 2 II a) Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 2
3. (4 điểm) y 2 x 2 x (2 x )(2 x ) * Tập xỏc định:  2;2 t2 4 t 2 0,5 * Đặt t 2 x 2 x , suy ra y t t 2 2 2 Xột hàm số t( x ) 2 x 2 x trờn  2;2. 1 1 2 x 2 x t'( x ) , 2 2 x 2 2 x 2 2 x . 2 x t'( x ) 0 2 x 2 x 0 x 0 Bảng biến thiờn: x -2 0 2 0,5 t’ + 0 - 2 2 t 2 2 Suy ra 2 t 2 2 t 2 Bài toỏn đưa về tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y t 2 trờn 2 đoạn 2;2 2 Ta cú y' t 1, , y' 0 t 1  2;2 2 y' 0,  x 2;2 2 Bảng biến thiờn: t 2 2 2 1 y’ - 2 y 2 2 2 Vậy: Giỏ trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi x 2 ( t=2) Giỏ trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 2 2 khi x 0 ( t 2 2 ) b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A,B,C thỏa món 5 2 cos2ABC 3cos2 3cos2 0 . Xỏc định cỏc gúc A,B,C. 2 Ta cú: 5 5 cos2ABC 3cos2 3cos2 0 cos2ABC 3(cos2 cos2 ) 0 2 2 5 1 2cos2 ABCBC 1 2 3.cos( ).cos( ) 0 2 3 cos2 A 3 c osA.cos(B-C)+ 0 4
4. 2 3 3 2 cosA- c os(B-C) 1 c os (B-C) 0 2 4 2 3 3 2 cosA- c os(B-C) sin (B-C) 0 2 4 sin(BC ) 0 BC 3 . Vỡ A, B, C là cỏc gúc của tam giỏc nờn ta cú 3 cosABC cos( - ) cosA= 2 2 1 BC BC 75o BC 75o . Vậy: o o o A 30 A 30 A 30 III x2 y 2 1 k ( x y 1) 1 (3 điểm) Cho hệ phương trỡnh ( k là tham số) 2 xy 1 x y a) Giải hệ phương trỡnh khi k=0 x2 y 2 1 0 Điều kiện: x y 0 0,5 x2 y 2 1 1 x2 y 2 2 ( x y ) 2 2 xy 2 Với k=0 ta cú hệ xy 1 x y xy 1 x y xy 1 x y S 0 x y S SPSS2 2 2 2 2 0 P 1 Đặt , ta được hệ 0,5 xy P PSPS 1 1 S 2 P 1 S 0 x 1 x 1 + Với suy ra hoặc ( thỏa món điều kiện) P 1 y 1 y 1 S 2 1 + Với suy ra x=y=1 ( thỏa món điều kiện) P 1 Vậy: với k=0, hệ phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm (1;-1), (-1;1), (1;1). b) Tỡm k để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. 1 Nhận thấy: nếu (;)x y là nghiệm của hệ phương trỡnh thỡ (;)y x cũng là nghiệm 0 0 0 0 0,5 của hệ. Do đú, để hệ cú nghiệm duy nhất thỡ điều kiện cần là x0 y 0 . 2 2x0 1 k ( 2 x 0 1) 1 Thay x, y ở hệ phương trỡnh bởi x0 ta được: , suy ra 2 x0 1 2 x 0 k 0 0,5 x0 1 Với k=0, theo ý a hệ phương trỡnh cú 3 nghiệm. Do vậy khụng cú giỏ trị k nào để hệ cú nghiệm duy nhất. IV Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là (2 điểm) trung điểm của SA, SD. Mặt phẳng() chứa MN cắt cỏc cạnh SB, SC lần lượt tại 2 SQ V 3 Q, P. Đặt x , tỡm x để S. MNPQ . SB VS. ABCD 8
5. V Đặt VV . Ta cú VV . Vỡ MN//BC nờn S. ABCD S ABD S BCD 2 SP SQ PQ//BC x S SC SB V SM SN SQ x + S. MNQ V SA SD SB 4 N S. ABD 1 VVx x M S MNQ S MNQ P V 4V 8 D C 2 V SN SQ SP 1 V x2 Q + S. NPQ x2 S. NPQ VS. BCD SD SB SC 2 V 4 A B VVV3 3x x2 3 Ta cú: SMNPQ SMNQ SNPQ 2x2 x 3 0 x=1 VVS. ABCD 8 8 8 4 8 3 1 ( x 0 loại) 2 Vậy x=1 V Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam (4 điểm) giỏc vuụng tại A, AB=a, AC a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn 4 mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. *) Gọi I là trung điểm của BC, từ giả A' thiết suy ra A’I là đường cao của lăng trụ. C' 1 Ta cú AI BC a2 3 a 2 a , 2 2a B' A' I AA '2 AI 2 4 a 2 a 2 a 3 . 1 a 3 A C a I B Thể tớch khối chúp A’.ABC 1 1 1 1 a3 1 V S.' ' A I AB AC A I a. a 3. a 3 (đvtt) 3ABC 3 2 6 2 *) Gúc giữa AA’ và B’C’ bằng gúc giữa BB’ và BC 0,5 Tam giỏc IA’B’ vuụng tại A’ nờn IB' IA '2 A ' B ' 2 3 a 2 a 2 2 a . Suy ra tam 1 giỏc BB’I cõn tại B’ nờn gúc B' BI nhọn, do đú gúc B' BI là gúc giữa BB’ và BC. 1 BI a 1 Ta c ú: cosB' BI 2 . BB' 2.2 a 4 0,5 1 Vậy: cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng 4 VI u1 1 (2 điểm) Cho dóy số ()u xỏc định như sau: 2 . n un un 1 u n , n 1 2010
6. u u u Tớnh lim1 2 n . n u2 u 3 un 1 2 2 un u n u n 1 1 Ta cú: un 1 u n u n 1 u n 2010.( ) . 2010 2010 un 1 u n u n 1 Suy ra: 1 u u u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 2010. 2010(1 ) uuu2 3n 1 uuuuuuu 1 2 2 3 n n n 1 u n 1 u2 Vỡ u u n 0,  n N * nờn ()u là dóy đơn điệu tăng. Giả sử ()u bị chặn n 1 n 2010 n n trờn thế thỡ lim un a . n 0,5 u2 a2 Lấy giới hạn hai vế của biểu thức u n u , ta cú phương trỡnh a a , n 1 2010 n 2010 suy ra a=0 ( vụ lớ vỡ un 1,  n ) Do đú ()un khụng bị chặn trờn tức limun . u u u 1 0,5 Ta cú lim1 2 n lim 2010.(1 ) 2010 n n u2 u 3 un 1 u n 1 * Lưu ý chung toàn bài : + Điểm toàn bài là tổng điểm cỏc bài thành phần, giữ lại hai chữ số thập phõn. + Nếu thớ sinh giải theo cỏch khỏc mà lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc thỡ vẫn cho điểm tối đa bài đú.
7. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð THI CH N H C SINH GI I L P 12 C P T NH CAO B NG NĂM H C 2010-2011 Mụn: Toỏn ð chớnh th c Th i gian: 180 phỳt (khụng k th i gian giao ủ ) ð BÀI (ð g m 01 trang) 2x +1 Cõu I (5 ủim) : Cho hàm s y = cú ủ th (H ) x + 2 a) Chng minh r ng ủưng th ng y = −x + m luụn c t ủ th (H ) ti hai ủim phõn bi t A, B. Tỡm m ủ kho ng cỏch AB ng n nh t. 2sin u +1 b) Tỡm t ủ ph ươ ng trỡnh = t (n là u ) cú nghi m trờn [0; π]. sin u + 2 Cõu II (4 ủim) : a) Tỡm giỏ tr nh nh t , giỏ tr l n nh t c a hàm s y = 2 − x + 2 + x − 2( − x)( 2 + x) 5 b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A, B,C th a món cos 2A + 3 cos 2B + 3 cos 2C + = 0 . Xỏc 2 ủnh cỏc gúc A, B,C.  x2 + y 2 −1 − k( x + y − )1 = 1 Cõu III (3 ủim) : Cho h ph ươ ng trỡnh  ( k là tham s ) xy +1 = x + y a) Gi i h ph ươ ng trỡnh khi k = 0 b) Tỡm k ủ h ph ươ ng trỡnh cú nghi m duy nh t. Cõu IV (2 ủim) : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ủỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gi MN, ln l ưt là trung ủim c a cỏc c nh SA , SD . M t ph ng (α) ch a MN c t cỏc c nh SB, SC l n l ưt t i Q, P. ðt SQ V 3 = x , tỡm x ủ S.MNPQ = . SB VS.ABCD 8 Cõu V (4 ủim) : Cho l ăng tr tam giỏc ABC .A, B,C , cú ủ dài c nh bờn b ng 2a, ủỏy ABC là tam giỏc vuụng t i A, AB = a, AC = a 3 và hỡnh chi u vuụng gúc c a ủ nh A, trờn m t ph ng (ABC ) là trung ủim c a c nh BC . Tớnh theo a th tớch kh i chúp A,.ABC và tớnh cosin c a gúc gi a hai ủưng th ng AA , và B,C , . Cõu VI (2 ủim) : u = 1  1  u u u  2  1 + 2 + + n  Cho dóy s (un ) xỏc ủnh nh ư sau:  u . Tớnh lim . = n + ≥ n→+∞   un+1 un , n 1  u u u +   2010 2 3 n 1 Ht H và tờn thớ sinh: S bỏo danh: H tờn, ch kớ c a giỏm th 1: .