Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN Năm học: 2012 – 2013 Ngày thi: 18.10.2012 Đề chính thức Môn: Toán Đề này cĩ 01 trang Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ Bài 1: (4 điểm) n x Tính tổng S 3k 1.sin3 n  k k 1 3 Bài 2: (4 điểm) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: (bc a2 ) 1 (ca b2 ) 1 (ab c2 ) 1 0 . Chứng minh rằng: a(bc a2 ) 2 b(ca b2 ) 2 c(ab c2 ) 2 0 Bài 3: ( 4 điểm) Giải phương trình sau với nghiệm nguyên dương: 2013 x y 2012 2 x y y 2012 4025 2013 x z Bài 4: ( 5 điểm) Thể tích của một hình hộp bằng 216 cm 3 và diện tích tồn phần của hình hộp đĩ bằng 216 cm2. Chứng minh rằng hình hộp đĩ là hình lập phương. (Diện tích tồn phần của hình hộp là tổng diện tích các mặt của hình hộp đĩ) Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác; cịn x, y, z là độ dài các đường phân giác trong của tam giác đĩ. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng . x y z a b c Hết
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG BÌNH THUẬN LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA Ngày thi: 19.10.2012 Năm học: 2012 - 2013 Đề chính thức Môn: Toán Đề này cĩ 01 trang Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: (4 điểm) Giải phương trình: x4 10x3 2(a 11)x2 2(5a 6)x 2a a2 0 Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các giá trị của x [0,2 ] sao cho: 2cos x 1 sin2x 1 sin2x 2 Bài 3: (4 điểm) 1 2 3 k Cho dãy số (a ) ; k = 1, 2, với a k k 2! 3! 4! (k 1)! n n n n Tính lim a1 a2 a2012 n Bài 4: (4 điểm) Cho R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác cân. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai tâm của hai đường trịn này là R(R 2r) . Bài 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D (trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng). Tìm điểm M trong mặt phẳng đĩ sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm đã cho là nhỏ nhất. Hết
3. ĐÁP ÁN VỊNG 1 Bài 1: 4đ 1 Ta cĩ sin3 a (3sin a sin 3a) , khi đĩ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1 x 1 x x 1 x x S .30 (3sin sin x) .31(3sin sin ) .32 (3sin sin ) n 4 3 4 32 3 4 33 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 x x 1 x x .33 (3sin sin ) .3n 1(3sin sin ) 4 34 33 4 3n 3n 1 1 x = (3n.sin sin x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3n Bài 2: 4đ a b c Đặt A bc a2 , B ca b2 ,C ab c2 .Ta cần chứng minh: 0 . . . . . . . . . . . . . . 1 A2 B2 C 2 1 1 1 a b c a b c (b c)A (c a)B (a b)C Ta cĩ: ( )( ) . . . . . . . . . . . . . . . 1 A B C A B C A2 B2 C 2 ABC 1 1 1 Mà 0 (gt) A B C Chứng minh được: A(b + c) + B(c + a) + C(a + b) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 a b c Kết luận 0 (đpcm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A2 B2 C 2 Bài 3: 4đ 1 4 Với a,b > 0 ta cĩ (a b)2 4ab hay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 ab (a b)2 2 Vì z nguyên dương nên 2 . Đẳng thức xảy ra khi z = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 z Vế trái được viết lại: 2013 y x 2012 2013.4025 y(x y) 2013x x2 2012y 20122 . . . . . 0,5 x y 4025 y 2012 2013 x (x y)4025 (y 2012)(x 2013) 2013.4025 xy y2 2013x x2 2012y 20122 4. 4. = . . . . . 0,5 (x y 4025)2 (x y 4025)2 2.2013.4025 2xy 2y2 2.2013x 2x2 2.2012y 2.20122 2 2 . . . . . 0,5 (x y 4025)2 (x y 4025)2 (x y 4025)2 (2013 y)2 (2012 x)2 2. 2 . . . . . 0,5 (x y 4025)2 Đẳng thức xảy ra khi y = 2013; x = 2012 . . . . . 0,5 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là: (x = 2012; y = 2013; z = 1) . . . . . 0,5 Bài 4: 5đ Giả sử hình hộp là ABCD.A’B’C’D’. Đặt AB = a, AA’ = b, AD = c S1 SABB' A' , S2 SABCD , S3 SADD' A' Kẻ A'M  (ABCD), A' N  AB S .S Ta cĩ: V A'M.S A' N.S 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 2 2 a
4. S .S S .S Tương tự: V 1 3 , V 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 b c S 2.S 2.S 2 Do đĩ: V 3 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 abc Mặt khác: V A'M.S2 ac.AA' abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 4 2 2 2 2 Từ đĩ: V S1 S2 S3 V S1S2S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 Đẳng thức xảy ra khi AB  AD, AD  AA', AA'  AB (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 3 S1 S2 S3 3 2 2 Hơn nửa: S1S2S3 36 216 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 3 Đẳng thức xảy ra khi S1 S2 S3 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 2 Từ (1) và (2) suy ra V S1S2S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 Vậy hình hộp đã cho là hình lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 A' B' D' C' A N B M D C Bài 5: 3đ Kẻ BE song song với phân giác AD, ta cĩ: AE = AB = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 x b b và x .BE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 BE b c b c Trong tam giác EAB ta cĩ: BE < AE + AB = 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 2bc 1 1 1 1 Suy ra: x Hay ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 b c x 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự: ( ), ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 y 2 c a z 2 a b Từ đĩ ta cĩ đpcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 E c A c x B D a C
5. ĐÁP ÁN VÒNG 2 Bài 1: 4đ Phương trình được viết lại: a2 2(1 5x x2 )a x4 10x3 22x2 12x 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 Tìm được a x2 5x 1 (x 1) . . . . . . . . . . . . . . .0,5 * Với a x2 4x 2 hay x2 4x 2 a 0 Nếu a 6 thì x1,2 2 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 * Với a x2 6x hay x2 6x a 0 Nếu a 9 thì x3,4 3 a 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kết luận: . . . . . . . . . . . . . . . . 1 * Nếu a > - 6 thì phương trình cĩ 4 nghiệm * Nếu a = - 6 thì phương trình cĩ 3 nghiệm * Nếu - 9 < a < -6 thì phương trình cĩ 2 nghiệm * Nếu a = - 9 thì phương trình cĩ 1 nghiệm * Nếu a < - 9 thì phương trình Vơ nghiệm Bài 2: 4đ Đặt y 1 sin2x 1 sin2x , lúc đĩ y2 2 2 cos 2x . . . . . . . . . 0,5 * Nếu cosx 0 , do gt 2cosx 2 ta suy ra: cos 2x 2cos2 x 1 1 2cos2 x và y = 2cosx . . . . .1 1 3 7 Khi đĩ các bất đẳng thức ở đề bài trở thành: cos x Ta được: x [ , ][ , ] . . . . .0,5 2 4 2 2 4 * Nếu cosx < 0: 1 1 3 5 3 + Giả sử cos x , ta cĩ: cos x cos x x [ , ][ , ] . . . . . . . . . 0,5 2 2 2 4 4 2 1 3 5 + Giả sử cos x , ta cĩ:cos 2x 2cos2 x 1 y 2 sin x x [ , ] . . . . . . . . . . 0,5 2 4 4 7 Tĩm lại bài tốn cĩ nghiệm: x [ , ] . . . . .1 4 4 Bài 3: 4đ k 1 Ta cĩ: a a 0 a a ,k . . . . . . . . . . . . . 0,5 k 1 k (k 2)! k 1 k Do đĩ (ak ) là dãy tăng 0 a1 a2 a2012 . . . . . . . . . . . . . 0,5 1 n n n n n n n n n n Từ a2012 a1 a2 a2012 2012.a2012 a2012 a1 a2 a2012 2012 a2012 (1) . . . . . . . . . . . . . 0,5 k (k 1) 1 1 1 Mặt khác: (k 1)! (k 1)! k! (k 1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đĩ a (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 . . . . . . . . . . . . . 0,5 k 2! 2! 3! 3! 4! k! (k 1)! (k 1)! 1 Như vậy: a 1 . . . . . . . . . . . . . 0,5 2012 2013! 1 1 1 Thay vào (1) ta được: 1 n an an an 2012n (1 ) . . . . . . . . . . . . . 0,5 2013! 1 2 2012 2013!
6. 1 1 1 1 Và vì lim(1 ) lim 2012n (1 ) 1 . . . . . . . . . . . . . 0,5 n 2013! n 2013! 2013! n n n n 1 Vậy lim a1 a2 a2012 1 . . . . . . . . . . . . . 0,5 n 2013! Bài 4: 4đ Giả sử ABC cân tại A. Gọi O, I lần lượt là tâm các đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp. Đặt d = OI * Nếu O gần A hơn I Gọi O· AB , M là trung điểm của BC. Kẻ IH  AB , ta cĩ: HI HI r sin (1) . . . . . . . . . . 0,5 AI AO OI R d OM OI IM d r d r cos 2 cos B· OM hay 1 2sin2 (2) . . . . . . . . . . 0,5 OB OB R R Từ (1) và (2) sau khi biến đổi ta cĩ: (d r R)(d 2 R2 2Rr) 0 . . . . . . . . . . 1 Vì d + r + R > 0 nên d2 – R2 + 2Rr = 0 . . . . . . . . . . 0,5 Vậy d R(R 2r) . . . . . . . . . . 0,5 * Nếu I gần A hơn O (Hồn tồn tương tự ) . . . . . . . . . . . 1 A H O I B M C Bài 5: 4đ Ta xét hai trường hợp: * Bốn điểm A, B, C, D lập nên tứ giác lồi: Ta cĩ MA MC AC và MB MD BD . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Do đĩ MA MB MC MD AC BD . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 Vậy điểm M chính là giao điểm của AC và BD . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 * Bốn điểm A, B, C, D khơng lập nên tứ giác lồi: Giả sử một trong bốn điểm (chẳng hạn D) nằm trong tam giác mà ba đỉnh là ba điểm cịn lại. Kẻ AM, ta cĩ các trường hợp: + C, D nằm cùng phía đối với AM: Ta cĩ AM CM AD CD, DM BM BD Suy ra MA MB MC MD AD CD BD Suy ra điểm cần tìm là D. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7. B M D C A + D, B cùng phía đối với AM: Ta cĩ: AM BM AD BD, DM CM CD Suy ra: MA MB MC MD AD BD CD Điểm cần tìm là D. . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 B D M C A + D nằm trên đường thẳng AM Ta cĩ: Tương tự như trên. Tĩm lại ta cĩ D là điểm cần tìm . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 B M D C A