Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Đề thi có 02 trang) Thời gian làm bài: 150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 22 2211 Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A x 2 2 x 3 : x x 1 với x 0 . xx a) Rủt gọn biếu thức A . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A . Câu 2. (5,0 điểm) x22 y x 3 1. Giải hệ phương trình 2 33xy y y 2. Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm: 2 2 2 x 2 ax bc 10, x 2 bx ca 10, x 2 cx ab 10. Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số nguyên x, y thỏa mân 21xy22 . Chứng minh xy x22 y chia hết cho 40 . 2. Một giải cầu lông có nn( 2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỷ thi đấu vởi nhau đúng một trận, không có kết quả hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau. Câu 4. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC() AB AC nội tiếp đường tròn (O ), AD là đường cao ()D BC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên A C và A B. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp b) Đường tròn đường kính AD cắt ()O tại điểm thứ hai là MM( khác A) . Chứng minh MD là phân giác của góc FMC . c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của EF đồng quy. Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh 64 abc2 1 2 1 2 1 27 Lời giải Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức với . a) Rủt gọn biếu thức . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của . Lời giải
2. Câu 2. (5,0 điểm) x22 y x 3 1. Giải hệ phương trình 2 33xy y y 2. Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm: 2 2 2 x 2 ax bc 10, x 2 bx ca 10, x 2 cx ab 10. Lời giải x2 y 2 x 3 ( x y ) 2 2xy x 3 a) Ta có 22. Cộng cả 2 phương trình lại tính 3xy y y 3 3 xy y y 3 được x theo y rồi suy ra kết quả. b) Giả sử a>b>c và cả 3 phương trình đều vô nghiệm.Xét phương trình thứ 3 có: a2 ac 1 a ( a c ) 1(vô lí vì a>c và a,c nguyên) . Vậy ta có đpcm. Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số nguyên x, y thỏa mân 21xy22 . Chứng minh xy x22 y chia hết cho 40 . 2. Một giải cầu lông có nn( 2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỷ thi đấu vởi nhau đúng một trận, không có kết quả hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau. Lời giải Câu 3. 1. Ta có (∗).Dễ thấy y lẻ ⇒ y2 ≡1(mod4). Nếu x chẵn thì x2 ≡1(mod0)⇒ 2xy22 ≡−3(mod4) không thoả mãn (∗). Do đó x lẻ. Khi đó (∗)⇔ x2 y 2 1 x 2 (xx 1)( 1) . Vì (x−1)(x+1) là tích hai số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8. Do đó chia hết cho 8. (1) Xét TH x hoặc y chia hết cho 5 hoặc cả x và y có cùng số dư khi chia cho 5. Khi đó dễ dàng chứng minh được chia hết cho 5. Xét TH x và y không có cùng số dư khi chia cho 5 và không có số nào chia hết cho 5. Khi đó và chia 5 dư 1 hoặc 4. Xét TH dư 1, chia 5 dư 4 và TH chia 5 dư 4, chia 5 dư 1 đều không thoả mãn (∗). Do đó chia hết cho 5. (2) Từ (1) và (2) suy ra chia hết cho 40 (đpcm). b) Mỗi người đều chơi n trận với n người khác và không có trận hòa Do đó: x1 y 1 x 2 y 2 xnn y n. Mà tổng số trận thắng của mọi người bằng tổng số trận thua do đó: x1 x 2 xnn y 1 y 2 y 2 2 2 2 Xét: x1 xyn ( 1 ynxx n ) ( 1 2 xyy n 1 2 y n ) 0 Nên có đpcm.
3. Câu 4. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC() AB AC nội tiếp đường tròn (O ), AD là đường cao ()D BC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên A C và A B. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp b) Đường tròn đường kính AD cắt ()O tại điểm thứ hai là MM( khác A) . Chứng minh MD là phân giác của góc FMC . c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của EF đồng quy. Lời giải a)Dễ dàng chứng minh được AF.AB=AE.AC= AD2 , từ đây suy ra được tứ giác BCEF nội tiếp. b) Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn đường kính AD (do ∠AFD=∠AED=90), từ đó suy ra được A,M,F,D,E cùng thuộc một đường tròn. Gọi T là giao điểm thứ hai của MD với (O). Dễ thấy ∠TMA=∠DMA=90 nên suy ra được AT là đường kính của (O). Khi đó:∠TMC=∠TAC=90−∠ATC=90−∠ABC=90−∠ABD=∠BAD≡∠FAD=∠FMD, do đó MD là phân giác của ∠FMC. c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFDE, dễ thấy đường trung trực của EF đi qua I và đường trung trực của BC đi qua O. Gọi X và X′ lần lượt là giao điểm của đường trung trực của BC và MD, IN và MD. Gọi N là trung điểm của EF. Dễ thấy △ADT có O là trung điểm của AT, OX∥AD nên X là trung điểm của DT. (1). Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) như hình trên, chứng minh được AT⊥EF nên AT∥IX′. Xét △ADT có I là trung điểm của AD, IX∥DT nên X′ là trung điểm của DT. (2). Từ (1) và (2) suy ra X và X′ trùng nhau, ta có đpcm. Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh 64 abc2 1 2 1 2 1 27 Lời giải
4. Ta có a2 1 b 2 1 c 2 1  ( a b )( b c )( c a )2 .Áp dụng bất đẳng thức 8 phụ (abbcca )( )( ) ( abcabbcca )( ).Ta có 9 2 2 8 abc22 1 1 2 1  (ab )(b c )( c a ) (a b c)( ab bc ca ) 9 8 64 3(ab bc ca )( ab bc ca ) . 9 27