Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 MễN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phỳt Bài 1. a) Cho abc,,là ba số nguyờn thỏa món abc 3 2018 c .Chứng minh rằng Aabc 333chia hết cho 6 b) Tỡm cỏc số nguyờn dương xy, thỏa món 413xy  c) Cho Bnnn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 với n *.Chứng minh rằng B khụng thể là số chớnh phương Bài 2. a) Giải phương trỡnh : 3xx2  4112537 x  x  °ưxxyy22 5 b) Giải hệ phương trỡnh: đ 332 2 ¯°xyxyxy  6 Bài 3. xx2 a) Rỳt gọn biểu thức Cx 12  với x ! 0. x 1 2 x 1 b) Cho cỏc số thực abc,,thỏa món abc 1.Tỡm GTLN của Dabac  c) Với xyz,,là độ dài ba cạnh của một tam giỏc Chứng minh rằng y z x z  x y x  y z d xyz Bài 4. Cho tam giỏc ABC nhọn AB AC , đường phõn giỏc AD D BC .Cỏc điểm E và F lần lượt chuyển động trờn cỏc caanhj AB, AC sao cho BE CF.Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm P và Q sao cho EP và FQ cựng song song với AD a) So sỏnh BP và CQ b) Chứng minh rằng trọng tõm G của tam giỏc AEF thuộc một đường thẳng cố định Bài 5. Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB 2. R Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia Cx vuụng gúc với AB cắt nửa đường trũn (O) tại I. Lấy K là điểm bất kỳ trờn đoạn CI (K khỏc C và I), tia AK cắt nửa đường trũn (O) tại M, tia BM cắt tia Cx tại D. Vẽ tiếp tuyến với đường trũn O tại M cắt tia Cx tại N. a) Chứng minh rằng 'KMN cõn b) Tớnh diện tớch 'ABD theo R khi K là trung điểm của CI c) Khi K di động trờn CL.Chứng minh rằng đường trũn ngoại tiếp 'AKD đi qua điểm cố định thứ hai khỏc A
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Ta cú: abc 3 2018 c œ abc c  1 cc  1  2016 cchia hết cho 6. Mặt khỏc abc333  abc a11 aa  b 1111 bb  c cc chia hết cho 6. Do đú Aabc 333chia hết cho 6 b) Xột xy 11Ÿ Xột x t 2thỡ 48.x 8.Nếu y chẵn , đặt ykk 2 Ÿ 1 1 13yk 19{ 2mod8 , vụ lý Nếu y lẻ, đặt yk 21 k *1 * Ÿ 1319.34mod8,1 yk { vụ lý Vậy xy 1thỏa món bài toỏn c) Ta cú : 4Bnnnnn 1.2.3.4 2.3.4. 5  1 3.4.5. 6 2 1 2ơẳêº 3 1 2 nnn 1  2 n  3 nn43 6  11 nnnnnn 2  6 43 6  11 2  6 1 nn 2 3 1 Mặt khỏc: 2 nn436116 nnnnnnn 2 ! 4322 69  3 22 Ÿ nn2234  Bnn 31 Do đú B khụng thể là số chớnh phương Bài 2. 7 a) ĐKXĐ: x t .Phương trỡnh tương đương 3 3x2  33374443737 x  xx  x  x  xx  37370 x  x  œ3xx  1374 x x 137 x 37 x x 1370 x œ xxxx13734370    2 °ư37xx  1 Xột 37xx œ 1đ œ x 3 ¯°x t1
3. ư3743xx  2 ° 35 Xột 3743xx  œđ 74 Ÿ x °ddx 2 ¯ 33 °°ưẵ35 Vậy S đắ3; ¯¿°°2 °ư xyxy15 b) Hệ phương trỡnh œ đ 2 ¯° xyxy 6 ưxya °ư ab15 Đặt ta cú: đ đ 2 ¯xyb ¯°ab 6 6 Nếu bxy 0,Ÿ vụ nghiệm . vậy b z 0ta cú: ab2 6.Ÿ a Thế vào ab15 được b2 ê ư 7 ư 3 x ô 3 °°xy ° 4 ôba 2 Ÿ Ÿđđ2 œ ô 2 1 ¯°°xy 2 y  ô ¯° 4 bb2 560 œô ư 11 ô ư 2 x ô 2 °°xy ° 6 ba 3 Ÿ Ÿđđ3 œ ô 3 7 ô °°¯xy 3 y  ơô ¯° 6 Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm Bài 3. 221xx2  x 2 x 1 x a) Ta cú Cx 22  x   xx1122xx11 x  1 2 Đã11xx ăáxxx   1 âạxx11 xx  11 2 2 Đã111 b) Ta cú: Dabc  a1. a  a a dăá a âạ244
4. 1 1 GTLN của D là , đạt được khi và chỉ khi abc 4 3 c) Vỡ xyz,,là độ dài ba cạnh của tam giỏc nờn yzxzxyxyz;;  ! 0 Áp dụng BĐT Cụ si ta cú: yzxzxy  d z zxyxyz  d x xyzyzx  d y Nhõn vế theo vế cỏc BĐT này ta cú đpcm Bài 4. A E G F O N B C P D M Q BD BA BD CD a) Vỡ AD là phõn giỏc nờn Ÿ CD CA BA CA BP BD CD CQ Lại cú PF// AD // QE Ÿ , Mà BE CFŸ BP CQ BE BA CA CF b) Gọi MN, lần lượt là trung điểm của BC, EF thỡ MN là đường trung bỡnh của hỡnh thang PEFQŸ MN// PE // AD, Mà AD cố định, M cố định nờn MN cố định. Gọi O là trọng tõm tam giỏc ABC. AG AO 2 Ta cú: ŸOG// MN mà O cố định nờn G di động trờn đường thẳng qua O AN AM 3 song song với MN cố định
5. Bài 5. D M I K E A C O B a) Ta cú: KMN MBA, tứ giỏc BMKC cú BMK BCK 900 nờn nội tiếp ŸMKN MBAŸ MKN KMNŸ' KMN cõn tại N AC KC b) Ta cú: KAC BDC; ACK BCDŸ''Ÿ ACK'D DCBCB Ÿ DC CE R2 R2  AC.3 CBĐã R R 4 ŸDC ăá.: R 3 KC âạ22 2
6. DC.3.2 AB R R Do đú: SR 2 3 ABD 22 c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C. Ta cú CDE CDB CAK nờn tứ giỏc AKDE nội tiếp. Do đú đường trũn ngoại tiếp 'AKD cũng là đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc AKDE.Ta cú AC,, Bcố định nờn AE cố định. Vậy đường trũn ngoại tiếp 'AKD đi qua điểm cố định thứ 2 là E khỏc A