Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Trà Vinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Trà Vinh (Có đáp án)

1. SGD&ĐT TRÀ VINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH * LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 Đề thi chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây: Bài 1.(4.0 điểm). Giải các phương trình 1 1 1 1/ x 1 x 2/ 4x 20 x 5 9x 45 4 x x 5 GIẢI 1/ ĐKXĐ: x 1 1 1 a b x x2 x 1 a2 (x a)2 1 x a Đặt a 1 ;b x ta có hpt 2 2 x x a b 1 x 2x 2 x x 1 1 4 3 2 2 2 1 1 x 2x x 2x 1 0 x 2x 1 2 0 Do đó: 2x x x x 1 1 (x2 ) 2(x ) 1 0 x2 x 1 1 Đặt t x t 2 x2 2 ta có pt: t 2 2t 1 0 t 1 x x2 1 5 x1 1 2 2 Với t 1 thì x 1 x x 1 0 x 1 5 x (loai) 2 2 Vậy pt có một nghiệm x=1 5 2 2/ Tự giải Bài 2.(4.0 điểm). Giải các hệ phương trình 1 1 1 x xy y 0 x 2 y 1 1/ 2/ x2 y2 8 2 3 1 x 2 y 1 GIẢI
2. x xy y 0(1) 2x 2xy 2y 0 (x y)2 2(x y) 8 0 2 2 2 2 1/ x y 8(2) x y 8 x 1 3 x y 2 y 2 x x2 2x 2 0 thế vào (1) ta được: 2 x 1 3 x y 4 y 4 x x 4x 4 0 x 2 Vây hpt có ba nghiệm: ( 1 3 ;1 3 ), (1 3 ;1 3 ) và (-2;-2) 2/ Tự giải Bài 3.(3.0 điểm). Cho phương trình:2x2 2mx m2 2 0 (1) (m là tham số). Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm (0 x1 x2 )Tìm giá trị của m để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị lớn nhất. GIẢI: Phương trình:2x2 2mx m2 2 0 có hai nghiệm không âm / 0 m2 4 0 2 m 2 x1 x2 0 m 0 m 0 2 m 2 2 x1.x2 0 m 2 m 2  m 2 0 2 m m2 4 Do 0 x x nên x . Mà x x m nên x2 đạt GTLN x2=m 1 2 2 2 1 2 m m2 4 m 2(nhaˆn) Hay m m2 2 2 m 2(loai) Vậy khi m 2 thì GTLN của x2 là 2 Bài 4.(3.0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Giả sử phương trình: (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) 0 có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác ABC. GIẢI: (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) 0 3x2-2(a+b+c)+ab+bc+ca=0 ’=[-(a+b+c)]2-3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-ab-bc-ca Do phương trình có nghiệm kép nên ’=0 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
3. a b 0 2a2+2b2+2c2-2ab2-bc-2ca=0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 b c 0 a b c c a 0 Vậy ABC đều nên Aˆ Bˆ Cˆ 600 Bài 5.(2.0 điểm). Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 y3 z3 x y z 2017 GIẢI Nếu x,y,z chẵn thì x3,y3,z3 chẵn Nếu x,y,z lẻ thì x3,y3,z3 lẻ Suy ra x+y+z và x3+y3+z3 cùng tính chẵn, lẻ nên (x3+y3+z3)-( x+y+z) luôn chẵn Do đó (x3+y3+z3)-( x+y+z)=2017 là vô lí Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 y3 z3 x y z 2017 Bài 6.(4.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, CM là đường trung tuyến. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt BC ở H. Tính tỉ số BH . HC GIẢI: Kẻ HK AB tại K, C Ta có HK//AC (cùng  AB) BH BK (định lí Ta-let) HC KA Mà BHK vuông cân tại K nên BK=HK H BH HK (1) HC KA Mà AKH CAM (g-g) A M K B HK MA MA 1 (2) KA AC AB 2 BH 1 Từ (1) và (2) HC 2 Hết