Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẾN TRE LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu 1 (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A 4 15 4 15 2 3 5 x 5 2 x 6 x 9 2022 b) Rút gọn biếu thức: Bx ,0và tìm x sao cho B . xx 32 2023 xy22 85 Câu 2 (3 điểm)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa . xy 13 22 x 2 x 2 x2 4 Câu 3 (3 điểm)Giải phương trinh: 9 10 2 0 x 1 x 1 x 1 Câu 4 (3 điểm)Cho a,b,c là các số thực không âm. Chửng minh rằng: aa32 6 bbb 2 3 2 6 ccc 2 3 2 6 a 2 ( abc ) 2 Câu 5 (3 điểm)Cho tam giác ABC biết ACB = 45 độ, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua O và vuông góc với CO cắt AC và BC lần lượt tại điểm K và điểm L. Chứng minh rằng: chu vi tam giác HKL bằng với đường kính của (O). Câu 6 (3 điểm) Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (O3 ) và tiếp xúc với (O3 ) lần lượt tại điểm M (M thuộc ( )) và điểm N (N thuộc ( )). Tiếp tuyến chung tại T của ( ) và ( ) cắt ( ) tại điểm P (P và nằm cùng phía của đường thẳng MN). Đường thẳng PM cắt ( ) tại A (A khác M), đường thẳng PN cắt ( ) tại D (D khác N) và đường thẳng MN cắt ( ) và ( ) lần lượt tại B (B khác M) và C (C khác N). Gọi E là giao điểm của AB và CD. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐẮC NÔNG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 xx3 6 4 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A xx 11x 1 1
2. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của tham số m để A x m có nghiệm. Bài 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x22 x 9 2 x x 1 x 4 b) Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh : mn−m−n+1:192. Bài 3. (2,0 điểm) Một xe tải có chiểu rộng là 2,4 m chiểu cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol (Hinh minh ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách tử đỉnh cổng tới mỗi chân cổng lả 25 m (bỏ qua đô dày của cổng). a) Trong mặt phẳng tọa đô Oxy gọi Parabol ():P y ax2 với a<0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a=−1. b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? Bài 4. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3. 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 abc2 ( ) 1 bac 2 ( ) 1 cab 2 ( ) abc Bài 5. (3,0 điểm) Một cái tháp được xây dựng bên bờ một con sông, tử một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 600 . Tử một điểm khác cách điểm ban đầu 20 m người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 300 (Hình minh họa). Tính chiều cao của tháp và bể rộng của con sông. Bài 6. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC, cắt cạnh AB và AC lần lượt tại điểm F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF. a) Chứng minh: AF.AB = AE.AC. b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (K) (với M, N là hai tiếp điểm; N thuộc cung EC). Chứng minh: ba điểm M, H, N thẳng hàng. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu 1 (5,0 điểm). 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng: 1 ,k 0 .Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: 12k 2 ( k 1) 2 k ( k 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 12 2 2 3 2 1 2 3 2 4 2 1 2 2022 2 2023 2 2023 b) Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên thỏa mãn: x2 xy x y 50 . Câu 2(4,0 điểm). a) Cho hàm số y ( m2 m 2) x 2 m 8 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm tất cả các giá trị của 2
3. tham số m để đường thằng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (với O là gốc tọa độ). b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vời thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8 bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy 9 bồn đó ? Câu 3 (2,0 điểm). Cho x 1 33 3 9 . Chứng tỏ x32 3 x 6 x 21 là số chia hết cho 5 . Câu 4 (5,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính BC=2R và điểm A thay đổi trên (O) (điểm A không trùng với B,C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại K. Hạ AH vuông góc với BC. a) Chưng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH22 HK luôn không đổi. Tính góc B của tam R 3 giác ABC biết AH . 2 b) Đặt AH=x. Tìm x sao cho diện tích tam giác AHO đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điếm).Cho △ABC vuông tại A biết AB=3,AC=4 và AH là đường cao. Gọi I∈AB sao cho IA=2IB,CI cắt AH tại E. Tính CE. Câu 6(2,0 điểm).Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh (a2 bcbc )()( b 2 caac )()( c 2 abab )() rằng: 32 a()()() b2 c 2 b a 2 c 2 c a 2 b 2 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NAM ĐỊNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu 1. (3,0 điểm) 1 1 1 1 1) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh a b c abc bc 1 ac 1 ba 1 3 a2 1 b 2 1 c 2 1 2) Cho đa thức P( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ( x 2022) . Khi khai triển đa thức Px()ta 2 2022 được P( x ) a0 a 1 x a 2 x a 2022 x .Tính giá trị của biểu thức a a a a a S 1 3 5 2021 0 a0 a 2 a 4 a 2022 2( a 1 a 3 a 5 a 2021 ) Câu 2. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình (x 1)(3 x x 1 3) 4 x3 2 3
4. x( y 1) y 3 2) Giải hệ phương trình 22 5 2(x y ) 2 x y 2 Câu 3. (3,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho p4 q 2( p 2 q 2 1) ( q 2 1) 2 2) Cho m,n,p,q là các số nguyên thoả mãn (m n p q ) 30 . Chứng minh rằng (m5 n 5 p 5 q 5 ) 30 Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB 0). a) Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh 4
5. rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung. 41 b) Gọi xxAB, là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:T xABAB x x x Câu 3 ( 4,0 điểm). 6x2 3 xy x 1 y a) Giải hệ phương trình: 22 xy 1 b) Cho a,b∈N. Chứng minh rằng: Nếu (a22 b 9 ab ) 11thì (ab22 ) 11 Câu 4 (6,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của ABC. Gọi R là giao điểm của BD với (O) (R khác điểm B), S là giao điểm của CE với (O) (S khác điểm C). Tia AO cắt BC tại M và cắt cung nhỏ BC tại N. Tia BO cắt AC tại P. Tia CO cắt AB tại F. a) Chứng minh: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. b) Chứng minh: DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR. MB MC PC PA FA FB c) Chứng minh: 1 MA2 PB 2 FC 2 Câu 5 (2,0 điểm). a) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: xy 1 yz 1 zx 1 x y z y 1 z 1 x 1 b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, , 100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý 100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các dấu cộng vào giữa các chữ số của A. Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho 2046. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THÁI NGUYÊN LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 32 7 2 10 3 3 3 4 3 3 2 1 Bài 1 (3 điểm). Rút gọn biểu thức A 5 2 1 x 2 x 1 x 1 Bài 2 (6 điểm). Cho biểu thức B : x x 1 x x 1 1 x 2 a. Rút gọn biểu thức B. b. Tìm giá trị của x để B= 2 . 7 c. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. d. So sánh B2 và 2B. Bài 3 ( 3 điểm). a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y=(m−2)x+3(m≠2). Tìm tất cả các 5
6. giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm B, cắt Ox tại điểm A sao cho góc ABO=30. xy22 45 b. Giải hệ phương trình 22 4x y 8 xy 5 x 10 y 1 Bài 4 (6 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, điểm M di động trên nửa đường tròn đó (M≠A,M≠B). Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng AB. Vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn đường kính BH. Đường thẳng AM cắt đường tròn đường kính AH tại điểm E(E≠A). Đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính BH tại điểm F(F≠B). a. Chứng minh ME⋅MA=MF⋅MB. b. Gọi K,G lần lượt là hai điểm đối xứng của điểm H qua các đường thẳng MA,MB. Chứng minh ba điểm M,K,G thẳng hàng. c. Chứng minh MH3 AB AE BF d. Gọi I,J lần lượt là tâm của đường tròn đường kính AH và BH. Cho AB=2R. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác IEFJ đạt giá trị lón nhất. Tính giá trị đó theo R. Bài 5 ( 2 điểm). a. Cho số tự nhiên n bất kỳ. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho số A 2026 n2 1014( n p ) luôn viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. b. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình x23 2 x 27 y 6