Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 MƠN : TỐN- THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi : 18 /02 /2011 Câu 1: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx (1). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : x 2y 9 0 . Câu 2: ( 3,0 điểm ) 2 (x cos x)dx Tính tích phân I 2 2 4cos x 3sin x 2 Câu 3: ( 2,0 điểm ) 10 Cho P(x) 1 4x 3x2 . Xác định hệ số x3 trong khai triển P(x) theo lũy thừa của x . Câu 4:( 3,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ tâm đường trịn ngoại tiếp là điểm I(4;0) và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác là (d1) : x y 2 0 và (d2 ) : x 2y 3 0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC . 2. Cho I là tâm của đường trịn nội tiếp tam giác ABC cĩ AB c, BC a,CA b . Chứng IA2 IB2 IC 2 minh rằng: 1 . bc ca ab Câu 5: ( 3,0 điểm ) 1. Giải phương trình: 2sin 2x cos2x 2 2 sin 2x.cos x sin x 2cos x 2. Cho x, y,z Ỵ [0;1] . Chứng minh rằng: 81 (2x + 2y + 2z )(2- x + 2- y + 2- z )£ 8 Câu 6: ( 3,0 điểm ) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC )bằng b . Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy hình chĩp bẳng . Tìm để thể tích của khối chĩpS.ABCD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. Câu 7: ( 3,0 điểm ) x y 2 2 y x Giải hệ : 2 2 x 3y 2y 3x 2 0 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: . Chữ kí giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 MƠN : TỐN- THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Ngày thi : 18 /02 /2011 (Đáp án cĩ 04 trang) Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM + Ta cĩ y ' 3x2 6x m 0,25 + Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu y ' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt 0,5 ' 9 3m 0 m 3 1 1 2 1 0,5 + Ta cĩ y(x) y '(x) x m 2 x m 3 3 3 3 + Gọi M (x ; y ) và M (x ; y ) là hai điểm cực trị, suy ra x , x là hai nghiệm của 1 1 1 2 2 2 1 2 0,25 Câu 1 x x 2 ( 3đ ) 1 2 phương trình y ' 0 , nên m x x 1 2 3 2 1 0,5 + Đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 là d1 : y m 2 x m 3 3 + I là trung điểm M1M 2 , suy ra I 1;m 2 0,5 2 1 d1  d m 2 1 + Do M1, M 2 đối xứng qua (d) nên 3 2 m 6 I d 1 2(m 2) 9 0 0,5 2 (x cos x)dx Tính I 2 2 4cos x 3sin x 2 2 (x cos x)dx 2 xdx 2 cos xdx + I I I 0,5 2 2 2 1 2 4 sin x 4 sin x 4 sin x 2 2 2 2 xdx 0 xdx 2 xdx Câu 2 + Tính I 0,25 1 2 2 2 ( 3đ ) 4 sin x 4 sin x 4 sin x 0 2 2 0 xdx 0 xdx 2 xdx Trong , Đặt x t , đổi cận, CM - 1,0 2 2 2 4 sin x 4 sin x 4 sin x 0 2 2 Suy ra I1 0 0,25 Trang 1/4
3. 2 cos xdx + Tính I , 2 2 4 sin x 2 0,75 1 dt 1 2 t 1 Đặt t sin x , đổi cận ta cĩ I ln 1 ln 3 2 2 1 4 t 4 2 t 2 1 0,25 1 + I ln 3 2 10 10 + P(x) 1 4x 3x2 1 x 4 3x 0,5 0 1 2 2 2 10 10 10 + P(x) C10 C10 x 4 3x C10 x 4 3x C10 x 4 3x 0,5 Câu 3 3 2 2 2 3 3 3 ( 2đ ) + Hệ số của x chỉ xuất hiện trong C10 x 4 3x C10 x 4 3x 0,5 3 2 3 0,5 + Hệ số x trong khai triển: 24C10 C10.64 8760 A 1. ( 2 điểm) I B M C d1 d2 + Tìm được A(1;1) 0,25 + Gọi là đường thẳng qua I và song song với d1 . Tìm được : x y 4 0 0,25 + Gọi M  d2 M (5; 1) ,M là trung điểm BC đường thẳng BC đi qua M và vuơng gĩc với d . Câu 4 1 0,5 Tìm được (BC) : x y 6 0 . ( 3đ ) + Nhận xét B,C là giao điểm của đường thẳng BC và đường trịn tâm I , bán kính 0,25 R IA 10 cĩ phương trình (x 4)2 y2 10 . + Giải hệ tìm được tọa độ B(3; 3),C(7;1) . 0,25 + Phương trình (AB) : 2x y 3 0 . 0,5 Phương trình (AC) : y 1 0 . 2. ( 1 điểm) S abc 2Rsin A.sin B.sin C A B C + Ta cĩ r ABC 4Rsin sin .sin p 4Rp sin A sin B sin C 2 2 2 0,25 r B C IA2 B C + IA 4R.sin .sin tan .tan A 2 2 bc 2 2 sin 0,25 2 Trang 2/4
4. IB2 C A IC 2 A B + Tương tự : tan .tan , tan .tan ca 2 2 ab 2 2 0,25 IA2 IB2 IC 2 B C C A A B + tan .tan tan .tan tan .tan 1 bc ca ab 2 2 2 2 2 2 0,25 1. (1,5 điểm) cos2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2 2cos2 x 1 sin 2x 2cosx -1 2 sinx 2cosx -1 2 2cosx -1 2cosx +1 2cosx -1 2cosx -1 sin 2x - 2 sinx +2 0,75 1 cosx = 1 2 Câu 5 ( 3đ ) 2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2 0,25 + (1) x k2 4 0,5 + (2) x k  x k2 , Kết luận. 4 4 2. (1,5 điểm) x y z 1 1 1 81 0,25 + Đặt a 2 ,b 2 ,c 2 , BĐT cần CM a b c , với a b c 8 a,b,c [1;2] + Xét tam thức bậc hai f (x) x2 3x 2 cĩ hai nghiệm x = 1, x = 2 0,25 f (x) 0,x [1,2] 2 a 3 2 a f (a) 0 a 3a 2 0 2 2 + Mà a,b,c [1;2] f (b) 0 b 3b 2 0 b 3 b f (c) 0 2 0,5 c 3c 2 0 2 c 3 c 2 2 2 + Từ đĩ : a b c 9 a b c 2 2 2 2 2 2 0,5 + Áp dụng Cơsi 9 a b c 2 a b c . a b c a b c S H A Câu 6 B J α ( 3đ ) O I D C Trang 3/4
5. + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD , ta cĩ SIJ 0,25 + Ta cĩ AD / /BC AD / / (SBC) d(A,(SBC)) d(J,(SBC)) . 0,25 + Trong tam giác SIJ vẽ đường cao JH . Chứng minh được JH  (SBC) 0,5 Suy ra d(J,(SBC)) JH b . + Trong tam giác vuơng IHJ , ta cĩ JH b b2 0, 5 IJ S AB2 IJ 2 sin sin ABCD sin2 b b + Gọi O là tâm của đáy, thì SO IO.tan .tan 2sin 2cos 0,25 1 b3 + VS.ABCD SABCD .SO 2 3 6sin .cos 0,25 1 + V min min (sin2 .cos ) max ( do 00 900 ) S.ABCD sin2 .cos (cos (1 sin2 )) max 0,25 + Xét hàm f (x) x.(1 x2 ),(x cos (0;1)) 2 3 3 0,25 + Lập bảng biến thiên, tìm được M ax f (x) khi x x (0;1) 9 3 3 0,25 b 3 3 0 0 + Kết luận Min(VS.ABCD ) cos ; 0 90 4 3 0,25 x y 2 2 y x (1) Giải hệ 2 2 x 3y 2y 3x 2 0 (2) + Xét phương trình (1) 2x x 2y y 0,5 t t Ta cĩ f (t) 2 t f '(t) 2 ln 2 1 0,t R 0,5 0,5 Vậy f (t) là hàm đơn điệu tăng trên R , mà f (x) f (y) nên x y . + Thay y x vào bất phương trình (2), ta cĩ Câu 7 x2 3x 2 0 ( 3đ ) 2 2 0,5 x 3x x 3x 2 0 x2 3x 2 0 2 x 3x 0 1 x 2 x 2 0,5 1 x  x 2 2 x 0  x 3 1 x  x 2  x 3 0,5 2 HẾT Trang 4/4 Trang 4/4