Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu I: ( 4,0 điểm) x x3 x 2 1.Rút gọn biểu thức P . với x 0, y 0, , x 4 y y 1 xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x 2.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : a2 b 2 c 2 21 abc Tính giá trị biểu thức: Pa 1 b2 1 cb 2 1 a 2 1 cc 2 1 b 2 1 aabc 2 2020 Câu II: ( 4,0 điểm) 1.Giải phương trình 3x25 6 x 6 3 (2 x ) (7 x 19) 2 x 2 2 x 2 x 6 yy 2.Giải hệ phương trình 2 4 2 xy 1 xx 2 12 2 yy Câu III: ( 4,0 điểm) 4 1.Tìm a,b nguyên dương thỏa 3 4 b 33 4 4 b b 4 4 b b a 2.Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương. Câu IV: ( 6,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C thay đổi trên đó (C khác A,B).Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax ,By.Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt Ax,By tại D,E.Gọi I là giao điểm AE,DB và CI cắt AB tại H. 1.Chứng minh CH//BE và I là trung điểm CH 2.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB tại K.Chứng minh KA.KB=CH.CO 3.Qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt By tại F.Gọi M là giao điểm AF và BC.Xác định vị trí C trên nửa đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Câu V: ( 2,0 điểm) Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh a b ab ab a b 2 ab 3 1 ab 1 a 1 b (1 a )(1 b ) ab Ta có 3c2 = c(a + b) + ab => 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1) Vì a – b là số nguyên tố => a > b và a + c > b + c => (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2) 1
2. Từ (1) và (2) => b + c b Hoặc a – b ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1. * Nếu a – b = p ƯC(a + c, b + c) => a + c = p.k và b + c = p.h (k, h N) => pk – ph = a – b = p => k – h = 1 (vì p 0) => k = h + 1 Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) là số chính phương. Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp => k = 0 => b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c) = 1 Từ (1) => (2c)2 = (a + c)(b + c). Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n N) => m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố. Mà m – n m – n = 1 và m + n = a – b Suy ra (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 => 2c = m(m – 1) Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương. Vậy 8c + 1 là số chính phương. Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : a2 b 2 c 2 21 abc Tính giá trị biểu thức: Pa 1 b2 1 cb 2 1 a 2 1 cc 2 1 b 2 1 aabc 2 2020 Lời giải Theo bài ra: a2 b 2 c 2 21 abc Suy ra: a2 2 abc 1 b 2 c 2 ; b 2 2 abc 1 c 2 a 2 ; c 2 2 abc 1 b 2 a 2 Ta được : Pa 1 b2 1 cb 2 1 a 2 1 cc 2 1 b 2 1 aabc 2 2020 = a 1 cbbc2222 b 1 caac 2222 c 1 abab 2222 abc 2020 = aa2 2 abc b 2 c 2 b b 2 2 abc a 2 c 2 c c 2 2 abc a 2 b 2 abc 2020 = a a bc 2 b b ac 2 c c ab 2 abc 2020 a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) abc 2020 (a, b, c >0) a2 b 2 c 2 2 abc 2020 2021 2