Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Thuận Thành 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Thuận Thành 2 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (4,0 điểm). 2 2 1.Giải phương trình 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1 4 2.Cho các số x 5y;5x 2y;8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số (y 1)2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x, y . Câu II (5,0 điểm). 1. Tính tổng 2 3 4 n S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn 2.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. Câu III (5,0 điểm). n2 n n 1. Tìm lim 4n2 3n 2n x 4 x2 8x 17 y y2 1 2. Giải hệ phương trình x y y 21 1 2 4y 3x Câu IV(2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : x 2y 1 0 , trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C. Câu V (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC 2a đáy bé AD a , AB b . Mặt bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC. 1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp P . Thiết diện là hình gì? 2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x AM , 0 x b . Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp 11 Huớng dẫn chấm Câu Nội dung Điểm Câu I. 1 2 2 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1 4 0.5 PT 1 cos 4x 3 cos 4x 2 1 cos 2x 1 6 sin 4x 3 cos 4x 2cos 2x 0.5 cos 4x cos 2x 6 k 1.0 4x 2x k2 x 6 36 3 k Z 4x 2x k2 x k 6 12 2 x 5y;5x 2y;8x y theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: 0.5 x 5y 8x y 2 5x 2y x 2y 1 y 1 2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có: 0.5 y 1 2 x 2 2 xy 1 2 2 2 y 1 2 2y 2 2 2y2 1 1.0 Thay (1) vào (2) ta đc: 4 y4 2y2 1 4y4 4y2 1 3 y x 3 2 3 2 y 4 3 y x 3 2 Câu II 1 2 3 4 n S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn Số hạng tổng quát: 1.0
3. n! u k k 1 C k k k 1 k n k! n k ! n n 1 n 2 ! k 2 ! n 2 ! k 2 ! k 2 n n 1 Cn 2 2 k n 0 1 n 2 1.0 S n n 1 Cn 2 Cn 2 Cn 2 n n 1 2n 2 0.5 2. 6 5 0.5 Số phần tử của không gian mẫu: n A10 A9 136080 *Số các số tự nhiên có 6 chữ số có3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là 0.5 TH1: (số tạo thành không chứa số 0) 3 Lấy ra 3 số chẵn có: C4 3 Lấy ra 3 số lẻ có: C5 Số các hoán vị của 6 số trên: 6! 3 3 Suy ra số các số tạo thành: C4 .C5 .6! 28800 TH2: ( số tạo thành có số 0) 0.5 2 Lấy ra hai số chẵn khác 0: C4 3 Lấy ra 3 số lẻ: C5 Số các hoán vị không có số ) đứng đầu: 6! 5! 5.5! 2 3 Số các số tạo thành: C4 .C5 .5.5! 36000 Gọi biến cố A: “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ” 1 Suy ra : nA 28800 36000 64800 nA 64800 10 Xác suất xảy ra biến cố A: PA n 136080 21 Câu III 1 2 2.0 n2 n n n 4n 3n 2n lim lim 4n2 3n 2n 3n n2 n n 3 4 2 4n2 3n 2n 2 lim lim n 3 n2 n n 1 3 3 1 1 n
4. 2 2 2 x 4 x 8x 17 y y 1 1 x y y 21 1 2 4y 3x 2 Điều kiện: y 0 1 (x y 4) x2 8x 17 y2 1 0 0.5 x 4 2 y2 x y 4 0 x2 8x 17 y2 1 x 4 y x 4 y x y 4 0 x2 8x 17 y2 1 x 4 y 0.5 x y 4 (1 ) 0 x2 8x 17 y2 1 y x 4 2 0.5 x 4 y x 4 1 x 4 y2 1 y Vì:1 0x, y x2 8x 17 y2 1 x2 8x 17 y2 1 Thay y x 4 vào 2 ta đuợc 0.5 : 2 x x 4 x 25 1 2 x 16 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 0 1 1 x 12 x 0 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 x 0 y 4 0.5 1 1 x 12 vn 0 0.5 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16  Câu IV Ta có: BA 2;2 , AB 2 2 0.5 x 1 y 2 Phuơng trình đuờng thẳng AB: x y 1 0 1 1 C d : x 2y 1 0 C 1 2t;t 0.5 2 t Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra: G 1 t;2 3 3 t 0.5 Khoảng cách từ G đến AB: d G;AB 2 Vì diện tích GAB bằng 3 đơn vị nên ta có: 0.5
5. 1 t 3 C 7;3 d G;AB .AB 3 2 t 3 C 5; 3 Câu V + Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC và SA lần luợt cắt DC tại N, SB tại Q. 0.5 + Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC tại P. 0.5 Thiết diện hình thang cân MNPQ S P Q P Q 2a C B M b N x D A N H K M a + Tính diện tích MNPQ 1.5 b x 2.a.x ab ax Ta tính đuợc MQ NP a, PQ ;MN từ đó tính đuợc b b b ab a.x 3 QK . b 2 1 3.a2 0.5 Suy ra diện tích MNPQ là: x S MN PQ .QK b x b 3x MNPQ 2 4b2 2 3.a2 3.a2 3b 3.x b 3.x 3.a2 1 SMNPQ 2 b x b 3x 2 4b 12b 2 12 b Dấu “=”xẩy ra khi x . 3