Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Trần Quốc Tuấn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Trần Quốc Tuấn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD - ĐT TP. TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TUẤN NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề ) ĐIỂM CHỮ KÍ SỐ PHÁCH Bằng số Bằng chữ Giám thị Giám khảo 1 Giám khảo 2 (Do HĐ chấm ghi) Bài 1: (3,0 điểm) Cho a,b,c > 0. Chứng minh : a b a) 2 b a 1 1 1 1 1 1 b) a. b. c. 6 b c c a a b Bài 2: (3,0 điểm) x 4 x 1 2 x 1 Cho biểu thức A= : , với x 0, x 4 . x 4 2 x x 2 x x a) Rút gọn A. b) Tìm x sao cho A < 1 Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình. a) x 6 x 9 2 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 b) 17 15 13 11 9 7 Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau. A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n Bài 6: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC tại điểm E. Gọi I,J theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH
2. a. Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn . Xác định hình dạng tứ giác ADHE. b. Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn c. Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE? (Học sinh không được sử dụng máy tính ) Bài làm
3. TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TUẤN HƯỚNG DẪN CHẤM Năm học 2019 - 2020 Môn thi : TOÁN 9 CHÚ Ý : - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó Câu Đáp án Biểu điểm 1 Bài 1: (3,0 điểm) a) Do a,b 0 a b 2 0,25 điểm b a a 2 b 2 2 0,25 điểm ab a2 b2 2ab 0 0,25 điểm 2 a b a b 0 bất đẳng thức này đúng => 2 b a 0,25điểm (dấu = xãy ra khi a=b) 1 1 1 1 1 1 b) a. b. c. 6 b c c a a b 0,25 điểm a a b b c c vt b c c a a b 0,5 điểm a b a c b c = b a c a c b Áp dụng câu a, ta có: a b 2 (1) (dấu = xãy ra khi a = b) 0,25điểm b a a c 2 (2) (dấu = xãy ra khi a = c) c a 0,25điểm b c (0,25điểm) 2 (3) (dấu = xãy ra khi c = b) c b Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được điều phải chứng minh (0,5điểm)
4. 2 Bài 2: (3,0 điểm) a) Với x > 0 , x ≠ 4 x 4 x 2 x 2 và 0,25điểm x 2 x x x 2 Thực hiện biến đổi x 4 x 1 2 x 1 A= : x 4 2 x x 2 x x 0,5điểm x 4 x x 2 1 2 x x 2 = : x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 4 x x 2 0,5điểm = . x 2 x 2 x 3 0,5điểm 2 x 2 x x 2 = . x 2 x 2 x 3 0,25điểm 2 x = x 3 2 x b)A 1 khi 1 (*) vì x 0 x 3 0 x 3 0,25điểm Do đó (*) 2 x x 3 0,25điểm x 3 x 9 0,5điểm Bài 3: Giải phương trình. (4,0 điểm) 3 a) Điều kiện x 0 0,25 đ x 6 x 9 2
5. 2 x 3 2 0,25 điểm x 3 2 0,25 điểm x 3 2 hoặc x 3 2 0,25điểm 0,25điểm x 25 hoặc x 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 b) (1) 17 15 13 11 9 7 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 1 điểm (1) 1 1 1 1 1 1 17 15 13 11 9 7 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 0,5 điểm 17 15 13 11 9 7 1 1 1 1 1 1 (x 19) 0 0,5 điểm 17 15 13 11 9 7 1 1 1 1 1 1 do 0 0,25 điểm 17 15 13 11 9 7 x 19 0 x 19 0,5 điểm Bài 4 : (2,5 điểm) Số n 18 và n 41 là hai số chính phương 4 n 18 p2 và n 41 q2 p,q N 0,25 điểm p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 0,5 điểm p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố nên: 0,5 điểm p q 59 q 29
6. Ta có : n 18 p2 302 900 suy ra n 882 0,5điểm Thay vào n 41 , ta được 882 41 841 292 q2 . 0,5điểm Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương. 0,25điểm 5 Bài 5: (1,5 điểm) A = n3 + 3n2 + 2n 2 A = n(n + 3n +2) 0,25 điểm = n (n+1)(n+2) 0,5 điểm Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà ƯCLN(2,3)=1 0,25 điểm A = n (n+1)(n+3) M 6 với mọi số nguyên n 0,25 điểm Vậy A = n3 + 3n2 +2n M 6 với mọi số nguyên n 0,25điểm Bài 6:(6 điểm) 0,25 điểm (6,0 điểm ) A - V 1 2 E 1 2 3 6 D B C I H J   0,25 a/ Ta có D E 900 0,25 Hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính AH. Nên D,E A,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH b/ Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.(Tứ giác có 3 góc vuông) 0,25
7.   0,25 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra A1 E1 0,25    Ta lại có : A C (cùng phụ với A ) 1 2 0,25   C E3 ( EJC cân)     0,25 E E mà E E 900 1 3 2 3 0,5   0 ˆ 0 E1 E2 90 DEJ 90 DE  JE 0,25 DE là tiếp tuyến tại E của đường tròn (J). Chứng minh tương tự, ta có DE là tiếp tuyến tại D của đường tròn (I) hay 0,75 DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (I) và (J). c/ Trong tam giác vuông ABC, áp dụng định lí Pytago ta có : 0,5 BC 2 62 82 BC 10cm 0,25 AB2 = BH.BC 0,25 AB2 36 BH 3,6 cm BC 10 0,5 CH= 10 – 3,6 = 6,4 cm Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên 0,5 DE = AH; AH2 = CH. BH = 3,6 . 6,4 36.64 0,5 DE 3,6.6,4 4,8 cm 100