Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A (Có đáp án)

1. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng A Thời gian: 180 phút Bài 1: (4 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: x2 4x 4 y . 1 x 2. Tính tích phân:  xsin xdx I . 2 0 1 cos x Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình: a x3 1 x2 2 1. Giải phương trình khi a = 4. 2. Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 3: (4 điểm) 1. Giải phương trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x. 2. Chứng minh rằng ABC đều nếu thoả mãn: A B C tgA + tgB + tgC = cot g cot g cot g . 2 2 2 Bài 4: (2 điểm) x 3 Tìm giới hạn: lim( )3x 1 . x x 2 Bài 5: (2 điểm) 2x 1 Giải bất phương trình: 2x2 6x 2 log . 2 (x 1)2 Bài 5: (4 điểm) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy. x2 y2 Cho elip (E) có phương trình: 1 ; điểm I(-1;-2) và đường thẳng (d): x + y – 6 16 9 = 0. 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm AB. 2. Tìm toạ độ điểm M (E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 ý Nội dung Thang điểm – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 1 Tập xác định: R\{1} 0.5 Sự biến thiên: x 0,y(0) 4 x2 2x y’= 0 [x 2,y 0 (1 x)2 (2) 0.25 +, limy ; limy -> đường thẳng x=1 là tiệm cận x 1 x 1 đứng. +, lim y ; lim y x x x2 4x 4 1 y x 3 lim[y ( x 3)] 1 x 1 x x 1 = lim đường thẳng y= - x+3 là tiệm cận xiên. x 1 x Bảng biến thiên: x - 0 1 2 + 0.25 y - 0 + + 0 - + + 0 Bài 1 y’ 4 - - y Đồ thị: 4 3 0.25 2 1 3 0 1 2 x – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất 0.75
5. 2 xsin xdx Tính: I = 2 0 1 cos x Đặt x t x 0 t 0 dx = - dt 0 ( t)sin t sin t I = - dt dt I 2 2 1 cos t 0 1 cos t sin t I dt 2 0.75 2 0 1 cos t Đặt u = cost -> du = - sintdt t 0 u 1 -1 1 du I 2 2 11 u Đặt u = tgv với v ( ; ) , du = (1+tg2v)dv 0.5 2 2 u -1 1 Bài 1 v - 4 4 du (1 tg2 v)dv 4 4 dv I dv v 2 2 1 u 1 tg v 2 2 4 4 2 ( ) 2 4 4 4 0.75 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Điều kiện: x 1 0.25 Phương trình đã cho tương đương với : a (x 1)(x2 x 1) (x2 x 1) (x 1) 1 x 1 x 1 2 2 a 1 ( 2 ) (do x x 1 0) x2 x 1 x x 1 x 1 3 2 3 đặt t = điều kiện 0 t x2 x 1 3 phương trình trở thành: f(t) = t2 + at – 1 = 0 (1) Với a = 4 ta có: phương trình (1) là: t2 + 4t – 1 = 0 0.75 t 2 5 (loại) [ 3 2 3 t 2 5 [0; ] 3 x 1 Với t =- 2 + 5 ta có: t = 0.75 x2 x 1 t2x2 + t2x +t2 = x – 1 t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0 1 t 2 3t 4 6t 2 1 x hiển nhiên thoả mãn x 1 2t 2 Vậy với a = 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm: 0.5 1 t 2 3t 4 6t 2 1 0.5 x ,với t 5 2 1,2 2t 2 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình: 3 2 3 t2 + at – 1 = 0 (1) có nghiệm t [0; ] D 3 0.25 dễ thấy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn: t1 t2 D 3 2 3 2( 3 1) Bài 2 f( ) 0 a – Website chuyờn 3 2 đề3 thi – tài liệu file word mới nhất 2 2( 3 1) Vậy tập giá trị cần tìm của a là: [ ; ) 3 2 2 0.25 0.5 0.25
7. Điều kiện: cos2x 0; cosx 0; sin3x 0 0.25 tgx – 3tg3x = 2tg2x 1 tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x) sin x cos3x sin2x cos3x 2( ) cosx sin3x cos2x sin3x - cos4x . cos2x = 2 cos2x (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0 1 cos32x = - 1 2 đối chiếu điều kiện: cosx 0 cos2x 0 1 cos2x 0 cos2x -1. 2 sin3x 0 sinx(3 – 4sin2x) 0 sin2x 0 3 sin2x 4 1 cos2x 0 cos2x 1 2 {1 cos2x 3 { 1 cos2x 2 4 2 1 => cos32x = - (thoả mãn điều kiện) 2 1 cos2x = - cos x k 3 2 2 0.5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: Bài 3 1 x k , k Z với cos 2 3 2 Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ABC không vuông tgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC 1 tgAtgB 0.25 A B cot g cot g C A B cot g tg( ) 2 2 2 2 – WebsiteA chuyờnB đề thi – tài liệu file word mới nhất cot g cot g 1 2 2 2 0.25 A B C A B C cot g cot g cot g cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 2 0.25
8. -> giả thiết đề cho tương tương với: A B C tgA.tgB.tgC = cot g .cot g .cot g > 0 2 2 2 0.25 ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC là các số dương sin A.sin B cos(A B) cosC ta có: tgA.tgB = cosA.cosB cos(A B) cosC ta sẽ chứng minh được: cos(A B) cosC 1 cosC (*) cos(A B) cosC 1 cosC 0.25 thật vậy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > 0. do đó (*) cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C cosC cos(A-B) – cosC 0 cos(A-B) – 1 0 luôn đúng (vì cosC > 0) 1 cosC C 0.25 Vậy: tgA.tgB cot g2 1 cosC 2 B 2 tương tự: tgA.tgC cotg 2 A 2 tgB.tgC cotg 2 A B C tgA tgB tgC cot g cot g cot g 2 2 2 dấu “=” xảy ra khi: cos(A - B) = 1 cos(B - C) = 1 A = B = C cos(C - A) = 1 0.25 A B C Vậy nếu tgA tgB tgC cot g cot g cot g 2 2 2 thì ABC là tam giác đều. 0.25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất 0.25
9. x 3 1 0.25 lim( )3x 1 lim( 1)3x 1 x x 2 x x 2 đặt t = x + 2 ta có x t 0.25 x 3 1 1 lim( )3x 1 lim{[(1 )t ]3. } e3 x t 1 Bài 4 x 2 t 5 (1 ) 1.5 t – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
10. 1 2x 1 x 2x2 6x 2 log (điều kiện { 2 ) 0.25 2 (2x 1)2 x 1 2x 1 2(x 1)2 (2x 1) log log 2 2 (x 1)2 2 2 2 2(x 1) log2 [2(x 1) ] log2 (2x 1) 2x 1 Xét hàm số: f(X) = X + log2X 0.5 1 f ' (X) 1 0 x 0 X ln2 * -> f(X) đồng biến trên R đặt: X1=2x + 1 1 x 2 * 2 X2= 2(x-1) => X1, X2 R với {x 1 Bài 5 Khi đó bất phương trình trở thành f(X2) f(X1) X2 X1 tức là: 2(x-1)2 2x+1 3 7 x 0.5 2 2x2 6x 1 0 [ 3 7 x 2 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: 1 3 7 3 7 0.5 ( ; ]  [ ; ) 2 2 2 0.25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
11. Giả sử đường thẳng là đường thẳng có phương trình cần 1 tìm. Vì đi qua I(-1; -2) nên có phương trình tham số: x 1 at {y 2 bt (a2+b2 0 0.25 Vì A, B là giao điểm của và (E) nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) Bài 6 với t1, t2 là nghiệm của phương trình: ( 1 at)2 ( 2 bt)2 1 16 9 a2 b2 a 2b 1 4 ( )t 2 2( )t 1 0 (*) 16 9 16 9 16 9 0.5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
12. a2 b2 1 4 0.25 ( )( 1) 0 vì a2 + b2 0 16 9 16 9 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2 I là trung điểm AB nên: 2 a(t t ) 4 b(t t ) 0.5 1 2 1 và 1 2 2 2 2 b(t t ) 0 1 2 2 2 0.25 t1 + t2 = 0 (vì a + b 0 ) a(t1 t 2 ) 0 a 2b 0.25 t1 + t2 = 0 0 16 9 9a = -32b, chọn b = -9 => a=32 => đường thẳng có phương trình: x 1 y 2 32 9 Giả sử M(x0; y0). vì M (E) nên: 2 y 2 x 0 0 1 16 9 2 x0 4sin t x0 y0 0.5 đặt sin t và cost , Khi đó: {y 3cost 4 3 0 4sin t 3cost 6 5cos(t ) 6 d (M,d) 2 2 3 0.75 cos 5 { 4 6 5cos(t ) với sin -> d(M,d) 5 2 => d(M, d) nhỏ nhất cos(t - ) = 1 t k2 16 x 4sin( k2 ) 4sin 0 5 0.5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất 9 y 3cos( k2 ) 3cos 0 5 16 9 Vậy điểm cần tìm là: M(; ). 0.25 5 5
13. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất