Bộ đề thi tự luận môn Toán - Dành cho học sinh Lớp 12 ôn thi Đại học - Cao đẳng

260 trang thaodu 5400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề thi tự luận môn Toán - Dành cho học sinh Lớp 12 ôn thi Đại học - Cao đẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_de_thi_tu_luan_mon_toan_danh_cho_hoc_sinh_lop_12_on_thi_d.pdf

Nội dung text: Bộ đề thi tự luận môn Toán - Dành cho học sinh Lớp 12 ôn thi Đại học - Cao đẳng

www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng ĐỀ 1 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x4 2 x 2 3 (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. Câu II (2,0 điểm) 2 1. Giải phương trình: sinx .sin 4 x 2 2 cos x 4 3 cos x .sin x .cos 2 x 6 2x2 3 y y 2 8 x 1 2. Giải hệ phương trình: x , y . x x 8 y y 3 13 4 1 x ex Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I = dx . 2x 1 4x xe Câu IV (1,0 điểm). Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và BAC CAD DAB 600 . x Câu V (1,0 điểm). Chứng minh phương trình: xx 1 x 1 luôn có nghiệm thực dương duy nhất. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0 và đường tròn C : x2 y 2 2 x 4 y 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C tại A và B sao cho AMB 600 . 2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c với a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn a2 b 2 c 2 3. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O 0;0;0 đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn nhất. Câu VII a (1,0 điểm). Tìm a, b để phương trình z2 az b 0 có nhận số phức z 1 i làm nghiệm. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol P : y x2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường x 1 y 1 z thẳng d: . Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam 2 1 2 giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 1 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu VII b (1,0 điểm). Giải phương trình: 21 3 logx2 x 1 log x 2 x 1 log x 4 x 2 1 log x 4 x 2 1 . 4 1 2 2 2 3 BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳngy = m và đồ thị (C): x4 2x 2 3 m x4 2x 2 3 m 0 1 Đặt t x2 t 0 .Phương trình trên thành: t2 2t 3 m 0 2 Gọi x1 , x 2 , x 3 , x 4 lần lượt là hoành độ các giao điểm M, N, P, Q. Khi đó x1 , x 2 , x 3 , x 4 là nghiệm của phương trình (1). Dựa vào đồ thị , ta thấy với điều kiện: 4 m 3 thì phương trình (2) có hai nghiệm là: t1 1 m4 ; t 2 1 m4 . Suy ra x1 t, 2 x 2 t, 1 x 3 t, 1 x 4 t 2 Ta có MN PQ x4 x 3 , NP = x 3 x 2 2x 3 a b c Để ý rằng: Điều kiện để ba số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một là: b c a . c a b Vì MN PQ nên để MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ nên ta chỉ cần: MNPQNP 2 PQNP 2 xx4 3 2 x 3 x 4 2 x 3 3 91 hay t2t t4t 1m441m4 m4 m 2 1 2 1 5 25 91 Kết hợp với điều kiện : 4 m 3 ta được: m 3 . 25 Câu II 1. Ta có: sinx .sin 4 x 2 2 cos x 3 cos x .sin 4 x 6 sin 4x sin x 3 cos x 2 2 cos x 6 sin 4x . sin sin x cos cos x 2 cos x sin 4 x 2 cos x 0 6 6 6 6 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 2 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2 cos x 0 ( vì sin 4x 2 0 ) x k x k k . 6 6 2 3 2. Điều kiện: x2 3y 0 , y 2 8x 0 Đặt u x2 3y , v = y 2 8x ( u, v 0 ) 2u v 1 v 2u 1 v 2u 1 Hệ phương trình thành: 2 2 2 2 2 2 u v 13 u v 13 u 2u 1 13 v 2 u 1 v 2u 1 u 2 u 2 . 2 5u 4u 12 0 6 v 3 u 5 4 x2 2 y x 3y 2 x2 3y 4 3 Khi đó: 2 2 y2 8x 9 4 x2 y 8x 3 8x 9 3 2 2 4 x x 1 4 x2 4 x y y y 3 y 1 3 3 2 x 1 x 5 x4 8 x 2 72 x 65 0 x 1 x 5 x 4 x 13 0 x 5 y 7 Kết hợp với điều kiện ta đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S  1;1 , 5; 7  . Câu III 2 41 x ex 4 1 1 1 4 1 1 Ta có: I dx dx dx 2x x 2x x 14xxe 1 4x xe e 1 2 x e 4 4 1 1 1 1 A = dx = x e x 1 x 1 4 1 2 x e e e Câu IV c a H Giả sử a min a, b,c Trên cạnh AC lấy điểm E, AD lấy điểm F sao cho F B AB AE AF a . Tứ diện ABEF có bốn mặt là các tam giác đều bằng D nhau nên là tứ diện đều cạnh bằng a. E b C Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 3 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng a3 2 Ta dễ dàng tính được V . ABEF 12 Gọi H là chân đường cao hạ từ B. 1 1 0 BH.S AEAFsin 60 2 V AEF a Ta có: ABEF 3 2 . V1 1 0 bc ABCD BH.S ACADsin 60 3 ACD 2 abc 2 Suy ra V . ABCD 12 Câu V x Ta có: xx 1 x1 x 0 x1lnxxlnx1 0 Xét hàm số: fx x 1lnx xlnx 1 x 0 1 1 1 f x ln 1 x x x 1 1 1 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản ln 1 t t  t > 0 ta suy ra ln 1 x x 1 1 1 1 Do đó f x 0 f x đồng biến trên 0; (1) x x x 1 x 1 Mặt khác: do f x liên tục trên 0; và f 2f3 ln8 ln9 ln81 ln64 0 suy ra tồn tại x0 2;3  0, sao cho f x0 0 (2) Từ (1) và (2) điều phải chứng minh. B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu Via A 1. Viết lại C dưới dạng x 1 2 y 2 2 5 I Vậy C có tâm I 1;2 , bán kính R 5 . M M d M t; t 1 B Theo giả thiết AMB 60o Suy ra AMI 30o MI 2 IA 2 R 2 5 2 2 t 3 M 3;4 hay MI2 20 1 t 1 t 20 t 2 9 t 3 M 3;2 x y z 2. Phương trình mặt phẳng (ABC): 1 a b c 1 d d O; ABC 1 1 1 a2 b 2 c 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 4 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 9a.b.c. abc 2 2 2 3 2 2 2 . a b c a b c a b c 1 1 1 1 Suy ra: 3 . Do đó: d . a2 b 2 c 2 3 1 1 1 Dấu bằng xảy ra 1 a b c 1. a2 b 2 c 2 1 Vậy Max d khi a b c 1. 3 Câu VIIa 2 Theo đề, ta có: 1 i a 1 i b 0 1 2i i2 a ai b 0 a 2 0 a 2 a 2 i a b 0 . a b 0 b 2 B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VIb 1. Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A a;a2 , B b;b 2 ( b > a) PT đường thẳng d: y a b x ab Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đt d . Ta có: b b b S a b x ab x2 dx x a x b dx x a x b dx a a a b 13 a b 2 1 3 = x x abx b a . 3 2 a 6 Do M 1;3 d a b ab 3 3 3 12 1 2 1 2 Suy ra S2 ba ab4ab ab34ab 36 36 36 3 12 3 8 128 8 2 = ab 1 8 S 36 36 9 3 8 2 MinS ab 1 0 ab 1 a b 2 . 3 Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y 2x 1. 2. Ta có: C d C 1 2t;1 t;2t   AB 2; 2;6 , AC 2t 2; t 4;2t   2 6 6 2 2 2 AB;AC ; ; 2t24;8t12;2t12 t 4 2t2t 2t 22t 2 t 4 Gọi S là diện tích tam giác ABC. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 5 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 1  1 2 2 2 Ta có: S = AB;AC 2t 24 8t 12 2t 12 2 2 1 1 2 72t2 144t 864 = 72 t 1 792 3 22 . 2 2 Dấu = xảy ra khi t 1 C 1;0;2 Vậy khi C 1;0;2 thì MinS 3 22 Câu VIIb Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 4 2 4 2 log2 x x 1 log 2 x x 1 log 2 x x 1 log 2 x x 1 2 2 4 2 4 2 log2 x x 1 x x 1 log 2 x x 1 log 2 x x 1 4 2 4 2 4 2 log2 x x 1 log 2 x x 1 log 2 x x 1 4 2 log2 x x 1 0 x 0 4 2 4 2 x x 1 1 x x 0 x 1 x 1 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là: S  1;0;1 ĐỀ 2 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) . 2x 3 Cho hàm số: y (C). x 2 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 4. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất. Câu II (2,0 điểm) 1. Tìm nghiệm x 0; của phương trình sau đây : 2 2 x 2 3 4sin 3 sin 2x 1 2cos x . 2 2 4 3 3 8x y 27 18 y 2. Giải hệ phương trình: . 2 2 4x y 6 x y 2 Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I = I 10 1 cos5 x .sin x .cos 9 xdx . 0 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 6 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC ; M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM 0 900 và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a, và tìm để thể tích đó lớn nhất. x 1 2 Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng: x1 x x 1 x  x 0;1 . e B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là: x 2 y 2 0 ; 2x + y + 1= 0 . Cạnh BD chứa điểm M 1;2 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi. x 1 y 2 z 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : . Viết phương trình mặt 1 2 2 phẳng (P) biết rằng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất. Câu VII a (1,0 điểm). Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z 2 i 1. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại B Ox, phương trình cạnh AB có dạng: 3x y 2 3 0 ; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I 0;2 . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;0;0 và J 2;0;0 . Giả sử là mặt phẳng thay đổi, nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm bc B 0;b;0 , C 0;0;c với b,c 0 . Chứng minh rằng: b c và tìm b, c sao cho diện 2 tích tam giác ABC nhỏ nhất. Câu VII b (1,0 điểm). 200 C 2 11 C 2 22 C 2 33 C 2 20102010 C Tính P 2010 2010 2010 2010 2010 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 7 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2x0 3 1 2. Ta có: M x0; C , x 0 2, y'(x0 ) 2 x0 2 x0 2 1 2x0 3 Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M : : y 2 (x x0 ) x0 2 x0 2 2x0 2 Toạ độ giao điểm J, K của ( ) và hai tiệm cận là: J 2; ; K 2x0 2;2 x0 2 xJK x2 2 x0 2 yJK y2 x0 3 Ta có: x0 xM , yM M là trung điểm JK. 2 2 2x0 2 Mặt khác I(2; 2) và IJK vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IJK có diện tích: 2 2x 3 1 S = IM2 ( x 2) 2 0 2 ( x 2) 2 2 0 0 2 x0 2 ( x 0 2) 1 x0 1 M 1;1 Dấu “=” xảy ra khi (x 2)2 . 0 (x 2)2 0 x0 3 M 3;3 Câu II 2 x 2 3 1. Ta có: 4sin 3 sin 2x 1 2cos x 2 2 4 3 2 1 cos 2 x 3 cos 2x 1 1 cos 2 x 2 2 2cosx 3 cos 2 x 2 sin 2 x sin 2 x 3 cos 2 x 2cos x 1 3 sin 2x cos 2 x cos x sin 2 x cos x 2 2 3 2 5 2 2x x k 2 x k 3 2 18 3 k . 5 2x x k 2 x k 2 3 2 6 5 Vì x 0; nên ta chọn được nghiệm x . 2 18 27 0 2. Với y 0 hệ phương trình đã cho thành: ( Vô lý). Suy ra y 0 6x 0 3 3 3 3 3 (2x ) 18 8x y 27 18 y y Khi đó: . 4x2 y 6 x y 2 3 3 2x . 2 x 3 y y 3 Đặt u 2 x , v = . Hệ phương trình trên thành: y Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 8 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 3 3 3 3 u v 18 u v 3 uv u v 18 u v 27 u v 3 . Suy ra u, v là uv 1 uv u v 3 uv u v 3 uv u v 3 3 5 t nghiệm của phương trình: t2 3 t 1 0 2 . 3 5 t 2 3 5 3 5 3 5 3 5 2x 2 x x x 2 2 4 4 Do đó:   . 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 y y y2 y 2 2 2 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là:  3 53 3 5 3 5 3 3 5 S ;;; . 4 2 2 2  Câu III Đặt t 10 1 cos5 x t 10 1 cos 5 x 10t9 dt 5sin x .cos 4 xdx sin x .cos 4 xdx 2 t 9 dt 2 1 1 Ta có: I 10 1 cos5x .cos 5 x .sin x cos 4 xdx 2 t 1 t 10 t 9 dt 2 t 10 t 20 dt 0 0 0 1 t11 t 21 20 2 . 11 21 231 0 Câu IV ABC vuông cân tại B nên S AC AB2 BC 2 4 a 2 4 a 2 2 2 a EBC vuông cân tại B nên C BE2 BC 2 a 2 4 a 2 a 5 . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: EH HC . Suy ra: EH EC sin 1a 5 EI EC . E A B M 2 2 J 1 1a 5 S EH. EI sin HEI a 5 sin . cos HEI 2 2 2 I 5 H = a2 sin 2 . 8 C Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 9 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 1 Trong SCE , IJ là đoạn trung bình nên IJ SE a và IJ HEI . 2 1 1 5 5a3 Do đó V IJ. S a a2 sin 2 sin 2 . EHIJ3 HEI 3 8 24 VEHIJ đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 1 0 tức . 2 4 Câu V x 1 x x x Xét hàm số: f x x1 x x 1 x x 1 x x.x 1 x 1 x x 1 x  x 0;1 . x 1 x x1 x 1 x f x 2 2. ln x . 1 x 1 x 1 x Xét: g x 2. ln x 1 x 2 1 x g x 0 g x đồng biến trên 0;1 x 1 x 2 gx g1 0 fx 0 x 0;1 fx nghịch biến trên 0;1 1 1 x 1 1 1 2 fx limfx lim1xx.x 1 x 2lim1 x 0;1 . x 1 x 1 x 1 1 e 1 x B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VIa 1. Ta có: A AB  AD toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 4 x A x 2 y 2 0 3 . 2x y 1 0 5 N y M D 3 B 4 5 Do đó A ; . 3 3 C Gọi N x; y AC ( AC là tia phân giác BAD ). Hơn nữa M và N nằm cùng phía đối với x 2 y 2 2 x y 1 5 5 x 2 y 2 2 x y 1 đường thẳng AB nên ta có: x 2 y 2 1 4 2 0 x 2 y 2 0 2x y 2 0 2x y 1 2 2 2 0 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 10 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng x 2 y 2 2 x y 1 hay x y 3 0 . Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: x y 3 0 . Đường chéo BD qua M 1;2 nhận uBD n AC 1; 1 làm vectơ chỉ phương nên có x 1 y 2 phương trình là: x y 3 0 . 1 1 B AB  BD toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: x 2 y 2 0 x 4 . Do đó B 4; 1 . x y 3 0 y 1 D AD  BD toạ độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình: 2x y 1 0 x 4 . Do đó D 4;7 . x y 3 0 y 7 Gọi I AC  BD toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình: x y 3 0 x 0 . Do đó I 0;3 . x y 3 0 y 3 4 13 Vì I là trung điểm AC nên C ; . 3 3 2 2 2 2. Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: np a; b ; c a b c 0 . vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (xOy) là: nxOy 0;0;1  vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u 1;1;2   d d  P ud. n P 0 a b 2 c 0 b a 2 c . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (xOy) 0 . 2 c c c Ta có: cos . 2 2 2 2 2 2 a b ca2 a 2 c c 2 2 a 4 ac 5 c + Nếu c 0 thì cos 0 . 2 1 1 1 + Nếu c 0 thì ta chọn c 1. Khi đó: cos . 2a2 4 a 5 2 a 1 2 3 3 Dấu “=” xảy ra khi a 1. nhỏ nhất cos lớn nhất. 1 Do đó so sánh hai trường hợp này ta được max cos khi a c 1 ; b= 1. 0; 3  2 Mặt phẳng P qua A 1; 2;0 d và nP 1; 1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1.11. x y 21. z 00 x y z 30 . Câu VIIa Hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau, ta suy ra Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 11 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng z 2 i z 2 i (vì z 2 i z 2 i z 2 i ). Từ đó ta có: z 2 i 1. Đặt z x iy x , y . Suy ra : 2 2 2 2 z 21 i x 211 y i x 2 y 112 x y 11 Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 2;1 , bán kính R 1. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b 1. Gọi phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A M B M(4;5) là: a x 4 b y 5 0 a2 b 2 0 . Khi đó phương trình đường thẳng BC đi qua N(6;5) và Q N vuông góc với AB là: b x 6 a y 5 0 . C Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: D P a 3 b 4 b 4 a 4 a 3 b a b d P;.;. AB d Q BC 2 2 . a2 b 2 a 2 b 2 a b 4 a 3 b a b Theo đề, ta có: 16 a 3 b a b 4 a2 b 2 . a2 b 2 Cho b = 1, ta được: a 3 a 1 4 a2 1 a 2 4 a 3 4 a 2 4 2 2 2 a 1 a 4 a 3 4 a 4 3a 4 a 1 0 1 a2 4 a 3 4 a 2 4 5a2 4 a 7 0 a 3 Vậy phương trình cạnh AB là: x y 1 0 ; x 3 y 11 0 . 2. mp qua A 2;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c b,c > 0 nên có phương trình là: x y z 1 2 b c 1 1 1 bc J1;1;1 1 bc 1 2 b c 2     b 0 0 2 2 b AB 2;b;0 , AC 2;0;c AB;AC ; ; bc;2c;2b 0 c c 2 2 0 1  1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 SABC AB;AC b c 4c 4b b c 4 b c . 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 1.b 1.c 2 2 b2 c 2 4 b 2 c 2 2 b c 2 . 12 1 2 2 6 Do đó: S bc2bc2 2 4bc2bc bc . ABC 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b c. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 12 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2b Từ (1) suy ra c 0 b 2. b 2 6 2b 6 4 6 4 Suy ra SABC b b 2 b 2 4 2 b 2 2 b 2 2 b 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương: b 2 4 S 4 6 . b 2 ABC b c 0 Do đó MinSABC 4 6 đạt được khi bc b c 4 . b c 2 Câu VIIb Ta có: k k k k k 2 C 2 2010! 2 2010! 1 2010 k 1 k!2010 k!k 1 k 1!2010 k! k 1 2 2011! 1 k 1   2 Ck 1 2011 k 1!2011 k 1! 4022 2011 1 11 2 2 2011 2011 P  2C 2011 2C 2011 2 C 2011 4022 1 2011 0 0 1  2 1 2 C2011 . 4022 2011 ĐỀ 3 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 1 5 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x3 mx 2 4 mx 4 (C). 3 2 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 0 . 6. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x 2 sao cho biểu thức : m2 x2 5 mx 12 m A 2 1 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 x1 5 mx 2 12 m m Câu II (2,0 điểm) x 3. Giải phương trình: tanx tan x 2sin x 1 6cos x 3 sin x 1 tan x tan . 2 62xy 2 6 x x y 5 x2 2 x 33 4. Giải hệ phương trình: x, y . 2xy y6 y 2 x 6 5 2 x 2 y 33 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 13 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng ln5 dx Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I . x x ln 2 10e 1 e 1 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy hình chóp và SA a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC AHK và tính thể tích O.AHK. Câu V (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4m 3 x 3 3 m 4 1 x m 1 0 B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn: 2 2 2 2 C1 : x y 9 ; C 2 : x 1 y 1 25. Gọi A, B là các giao điểm của C1 và C2 . Viết phương trình đường thẳng AB. Hãy chứng minh rằng nếu K AB thì KI KJ với I, J lần lượt là tâm của C1 và C2 . x 1 y 1 z 7 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 5;5;0 và đường thẳng d : . 2 3 4 Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC 2 17 . Câu VII a (1,0 điểm). Giải phương trình: z2 2011 0 trên tập số phức . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, xác định toạ độ các điểm B và C của tam giác đều ABC biết A 3; 5 và trọng tâm G 1;1 . 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 0;0; 3 , N 2;0; 1 và mặt phẳng : 3x 8 y 7 z 1 0 . Tìm tọa độ P nằm trên mặt phẳng sao cho tam giác MNP đều. xlog3 y 2y log 3 x 27 Câu VII b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: . log3 y log 3 x 1 BÀI GIẢI Câu I 1. Học sinh tự giải. 2. TXĐ: D = y x2 5 mx 4 m . Hàm số đạt cực trị tại x1, x 2 Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 14 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 16 m 25m2 16 m 0 25 (1) m 0 x1 x 2 5 m Theo định lý Viet, ta có: x1 x 2 4 m 2 2 Vì x1 là nghiệm của phương trình nên: x1 5 mx 1 4 m 0 x 1 5 mx 1 4 m . 2 2 Do đó: x1 5 mx 2 125 mmxmmx 1 45 2 125 mmxx 1 2 1615 m m 160 m . 2 2 Tương tự, ta cũng tính được: x2 5 mx 1 12 m 25 m 16 m 0 . m2x2 5 mx 12 m m 225 m 2 16 m Khi đó: A 2 1 2 2 2 2 2 x1 5 mx 2 12 m m 25 m 16 m m ( Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương). Dấu “=” xảy ra m225 m 2 16 m 2 m4 25 m 2 16 m m 2 25 m 2 16 m 25m2 16 m m 2 m 0 2 2 24m 16 m 0 2 . Kết hợp với (1) ta chọn m . m 3 3 2 Vậy minA 2 khi m . 3 Câu II cosx 0 cos x 0 cosx 0 cos x 0 1. Điều kiện: x 2 x . cos 0 2cos 0 1 cosx 0 cos x 1 2 2 x Ta có: tanx tan x 2sin x 1 6cos x 3 sin x 1 tan x tan 2 x sin sin x tanx tan x 2sin x 1 6cos x 3 sin x 1 2 x cos x cos 2 x x cosx cos sin x sin tanx tan x 2sin x 1 6cos x 3 sin x 2 2 x cosx cos 2 x cos tanx tan x 2sin x 1 6cos x 3 sin x 2 x cosx cos 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 15 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng tanx tan x 2sin x tan x 6cos x 3 tan x tanx tan x 2sin x 6cos x 3 tan2x 1 2cos x 3 1 2cos x 1 2cos x tan 2 x 3 0 1 1 1 1 cos x cosx cos x cos x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tanx 3 sin x 3 c os x 1 c os x 3cos x cos x 4 1 1 2 cos2 x c os2 x 2 x k 2 x k k (thoả điều kiện) 4 2 3 3 2. Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được: 1 1 2xy x2 y 2 5 25 2 x 2 x 33 y 2 y 33 1 1 2xy x2 y 2 (*) 52 5 2 x 1 32 y 1 32 Nhận xét: VT * 2 xy x2 y 2 VP * . x y x y 0 VT VP x y 1 . x y 1 x y 0 Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S  0;0 , 1;1  . Câu III ln5dx ln5 ex dx Ta có: I . x x x x ln 2 10e 1 e 1 ln 2 10 e e 1 Đặt t ex 1 t2 e x 1 2 tdt e x dx Đổi cận: x ln2 t 1 ; x ln5 t 2 Khi đó: 2 22tdt 2 dt 1 2 1 1 1 3 t 1 5 I 2 dt ln ln . 2 1 9 t t 1 3t3t33t3t 1 33t 1 32 Câu IV + Chứng minh SC AHK S BC AB Ta có: BC  SAB BC  AH . BC SA I Mặt khác AH SB nên AH SBC , do đó K AH SC . M G C D H O Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 16 A B MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Chứng minh tương tự ta cũng có: AK SC . Vậy SC AHK . + Tính thể tích khối chóp O.AHK Gọi G SO  HK và I AG  SC . Vì SC AHK nên SC AI . Mặt khác SA AC a 2 nên tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A. Suy ra I là trung điểm SC và G là trọng tâm tam giác SAC. 1 2 2a Ta có: SC SA2 2 a nên AI SC a và AG AI . 2 3 3 BD AC Ngoài ra: BD  SAC BD  SC . BD SA AHIK  SC Từ đó: BD SC BD// AHIK . BD AHIK Do đó: AHK  SBD HK//. BD HK SG2 2 2 a 2 Ta có: HK BD . BD SO 3 3 3 1 1 2a 2 2 a 2 a2 2 Diện tích của tam giác AHK là: S HKAG AHK 2 2 3 3 9 1 a Gọi M là trung điểm của AI thì OM// IC và OM IC . 2 2 Mà SC AHK nên OM AHK . 1 1 2a2 2 a a 3 2 Thể tích hình chóp O.AHK là: V S OM . 3AHK 3 9 2 27 Câu V Điều kiện : 3 x 1. 3x 3 4 1 x 1 Khi đó: 4m 3 x 3 3 m 4 1 x m 1 0 m (*) 4x 3 3 1 x 1 2 2 x 3 1 x Vì 1 nên ta đặt x 3 2sin ; 1 x 2cos 2 2 Đặt t tan , 0 , 0 t 1. 2 2 7t2 12 t 9 Phương trinh (*) trở thành: m ( ) 5t2 16 t 7 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm trên 0;1. 7t2 12 t 9 Xét hàm số: f t 5t2 16 t 7 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 17 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng f t liên tục trên 0;1 52t2 8 t 60 f t 2 0 f t là hàm nghịch biến trên 0;1. 5t2 16 t 7 Bảng biến thiên: t 0 1 f t f t 9 7 9 7 7 9 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m . 9 7 B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a 2 2 x y 9 1. Ta có: M x; y C1  C 1 2 2 x 1 y 1 25 x2 y 2 9 x y 7 0 là phương trình đường thẳng AB. 2 2 x y 2 x 2 y 23 0 K AB K t; t 7 . Đường tròn C1 có tâm là: I 0;0 , đường tròn C2 có tâm là: J 1;1 . 2 2 2 KJKI2 2 1 aa 8 aa 2 7 16 0 KIKJ . 1 2. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB2 BC 2 34. 2 B, C d nên có toạ độ là 1 2t ; 1 3 t ;7 4 t . 22 2 2 2 t 1 Khi đó AB 34 2 t 6 3 t 6 4 t 7 34 29 t 116 t 87 0 . t 3 Vậy B 1;2;3 , C 5;8; 5 hoặc B 5;8; 5 , C 1;2;3 . Câu VIIa Đặt z a bi a , b . Khi đó z2 a 2 b 22 abi z 2 a 2 b 2 2 abi z 2 2011 a 2 b 2 2011 2 abi 2 2 2 2 2 a b 2011 0 Do đó z 20110 a b 20112 abi 0 . 2ab 0 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 18 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Nếu b 0 thì a2 2011 0 ( vô lý) . Do đó b 0 a 0 . Dẫn đến: b 2011 . Vậy số phức z cần tìm là: 2011.i B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) A  3  1. Gọi M là trung điểm BC, suy ra MA GA M 0;4 2 Trong tam ABM vuông tại M ta có: AM AM 3 10 cos300 AB 2 30 . G AB cos 300 3 2 B M C 2 30 Suy ra: BM CM 30 2 2 Giả sử B x; y . Khi đó MB2 30 x 2 y 4 30 (1) 0 0   0 0 Mặt khác AMBMAMBM . 0 x0 3 y 0 12 0 x 0 3 y 0 12 (2) 2 2 2 Thay (2) vào (1) ta được: 3y0 12 y 0 4 30 y 0 4 3 y0 7 x 0 9 y0 1 x 0 9 Vậy B 9;7 , C 9;1 hoặc B 9;1 , C 9;7 .  2. Đường thẳng MN qua M 0;0; 3 nhận MN 2;0;2 làm vectơ chỉ phương x 2t nên có phương trình: y 0 t . z 3 2t Gọi  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Gọi I là trung điểm MN I 1;0; 2 .  Mặt phẳng  qua I 1;0; 2 nhận MN 2;0;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 2.x1 2.z2 0 xz10 . P   P sao cho MNP đều 2 2 MN NP Giả sử tọa độ điểm N là x0;; y 0 z 0 , ta có: 3x0 8 y 0 7 z 0 1 0 x0 z 0 1 0 . 2 2 2 x0 y 0 z 0 3 8 2 2 1 Giải hệ phương trình này ta tìm được P 2; 2; 3 , P ; ; . 3 3 3 Câu VIIb Điều kiện : x, y 0 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 19 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng a a log3 x x 3 Đặt b b log3 y y 3 b a 3a 2 3 b 27 3ab 9 a b 2 HPT đã cho thành: a b 1 b a 1 a b 1 2 t 1 a ; b là nghiệm của phương trình: t t 2 0 t 2 x 3 a 1 a 1 y 9 b 2 b 2 Khi đó: 1 ( thoả điều kiện). x a 2 a 2 9 b 1 b 1 1 y 3 1 1  Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S 3;9 , ; . 9 3  ĐỀ 4 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) x 1 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y (C). x 1 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 8. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. Câu II (2,0 điểm) π 2 cos 2 x 1 1. Giải phương trình: tan x 3tan x 2 . 2 cos x 3 y3 1 x 3 2. Giải hệ phương trình: 2 3 x y 82 4 Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I tan2 x tan x e x dx . 3 4 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông cân đỉnh C và SC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC để thể tích khối chóp lớn nhất. Câu V (1,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho: a2 b 2 c 2 d 2 4 . Chứng minh: a3 b 3 c 3 d 3 8. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 20 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5, C 1; 1 , đường thẳng AB có phương trình x 2 y 3 0 và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng x y 2 0. Hãy tìm toạ độ các điểm A và B. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A 3;1;1 , B 7;3;9 , C 2;2;2 và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 3 0 .    Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA 2 MB 3 MC nhỏ nhất. Câu VII a (1,0 điểm) 1 i Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và z z . 2 Chứng minh tam giác OAB vuông cân. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: 2 x my 1 2 0 và đường tròn C : x2 y 2 2 x 4 y 4 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính diện tích đó. 2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;2;5 và phương trình hai đường trung tuyến : x3y6z1 x4y2z2 d : ; d : 1 2 2 1 2 1 4 1 Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác ABC. Câu VII b (1,0 điểm). 2y x y x 1 2 2 2 Giải hệ phương trình sau: . logx2 31log y y 2 x 2 41 y 5 5 BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải x0 1 2. Ta có: M x0; C x0 1 Gọi dM là khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ, khi đó: x0 1 dM d M;Ox d M ; Oy x0 x0 1 Chọn M 1;0 H dM 1. Do đó, để tìm MindM ta chỉ cần xét: Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 21 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng x0 1 1 x 1 0 0 x 1. x0 1 0 1 1 x0 1 x 0 x0 1 Với 0 x0 1 thì 1 x0 2 2 dM x0 x 0 1 x 0 1 2 1 x0 x 0 1 x 0 1 2 2 x0 1 2 2 2 2 2 2 1 ( Bất đẳng thức Cauchy). x0 1 0 x0 1 Dấu bằng xảy ra 2 x0 2 1 x 1 0 x0 1 Vậy mindM 2 2 1 khi M 2 1;1 2 . Câu II cosx 0 cosx 0 π 1. Điều kiện: π sin 2x 0 x k k cos x 0 sinx 0 2 2 Phương trình tương đương với 2sin2 x 1 cotx 3tan2 x tan 2 x 0 tan 3 x 1 cos2 x tan x π tanx 1 x kπ k . 4 x u2 x 2 u 4 2. Đặt u x ,u 0 ; v = y3 1 . Suy ra: 3 3 3 3 y 1 v y v 1 u v 3 v 3 u Hệ đã cho trở thành: 4 3 4 3 4 3 u 3 u 81 u v 81 u v 81 u4 u 39 u 2 27 u 54 0 u 3 u 3 2 u 2 15 u 18 0 . Do u 0 nên u3 2 u 2 15 u 18 0 . Suy ra u 3, v = 0 . x 3 x 9 Khi đó: . 3 3 y 1 y 1 0 x 9 Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho. y 1 Câu III I tan2 x tan x e x dx tan 2 x.e x dx t anx.e x dx I I 1 2 3 3 3 4 4 4 Sử dụng tích phân từng phần đối với I2 ta được: Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 22 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng I t anx. e x 1 tan2 x . e x dx e I I I I e . 23 1 1 2 4 3 4 Câu IV S BC SBC  ABC Ta có: SC BC SCA, 0; 2 CA BC Trong SAC vuông tại A, ta có: SA SCsin a sin . A C và AC SCcos a cos . Vì ABC vuông cân tại C nên: 1 12 1 2 2 S AB. AC AC a cos . B ABC 2 2 2 Thể tích hình chóp S. ABC là: 2 1 1 12 2 1 3 2a 3 VS. ABC SA. S ABC a sin . a cos a sin cos sin sin 3 3 2 6 6 3 Xét hàm số y f sin sin , 0; . 2 Đặt t sin , 0; t 0;1 . 2 Khi đó xét hàm số g t t t3 , t 0;1 g t 1 3 t 2 1 t  0;1 3 g t 0 1 3 t 2 0 1 t 0;1 3 Lập bảng biến thiên 1 t 0 3 1 g t 0 g t 0 0 2 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra a3 a 3 a 32 a 3 3 1 maxVS. ABC max f max g t . khi sin , 0; t 0;1 6 0; 6 63 3 27 3 2 2 Câu V Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 23 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Từ a2 b 2 c 2 d 2 4 suy ra a2 4 a 2. Khi đó a2 a 2 0 a 3 2 a 2 . Tương tự ta cũng chứng minh được: b3 2 b 2 , c3 2 c 2 , d3 2 d 2 . Cộng vế theo vế của bốn bất đẳng thức trên ta được a3 b 3 c 3 d 3 2 a 2 b 2 c 2 d 2 8. B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a xABCABG x x x x 1 3 x 1. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên : yABCABG y y y y 1 3 y Suy ra xAABBGG y x y 2 3 x y . Vì G đường thẳng x y 2 0 nên xGGGG y 2 0 x y 2 . Do đó: xAABBAABB y x y 2 6 x y x y 8 xAA 2 y 3 0 Lại vì A, B thuộc đường thẳng x 2 y 3 0 nên: 1 . xBB 2 y 3 0 yAB y 2 8 xAABBAABBAB y x y 3 2 y y 3 2 y y 6 y y xAB x 10 2 2 Mặt khác AB 5 xABAB x y y 5 Nhưng theo (1) xAABB 3 2 y , x 3 2 y nên xABBA x 2 y y . 2 2 2 Suy ra xABABAB x y y 5 y y 5 1 1 yAA y yABAB y 1 y y 1 2 2 Vậy   y y 2 y y 2 3 3 ABAB y y BB2 2 Cuối cùng ta thu được: 1 3 3 1 A 4; , B 6; hoặc A 6; , B 4; . 2 2 2 2    23 13 25 2. Giả sử I là một điểm thoả IA 2 IB 3 IC 0 . Khi đó ta tính được I ;; . 6 6 6           Ta có: MA 2 MB 3 MC MI IA 2 MI IB 3 MI IC 6 MI     MA 2 MB 3 MC nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 24 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng   Gọi là đường thẳng qua I nhận u nP 1;1;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương 23 x t 6 13 trình tham số : y t t . 6 25 z t 6 Ta có MP  toạ độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình : 23 13 25 79 5 20 2 t t t3 0 t M ; ; . 6 6 6 18 9 9 9    5 20 2 Vậy MA 2 MB 3 MC nhỏ nhất khi M ;; 9 9 9 Câu VII a Giả sử z x yi thì ta có A x; y . Vì z 0 nên x2 y 2 0 . 1 i 1 x y x y Ta có z z 1 i x yi i . 2 2 2 2 x y x y Vậy B có tọa độ : B ;. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y Ta lại có: OA x y ; OB . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y y x x y AB x y . 2 2 2 2 2 OB AB Từ đó, suy ra : Vậy tam giác OAB vuông cân tại B. 2 2 2 . OA OB AB B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b 1. ()C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. d cắt ()C tại 2 điểm phân biệt A, B B A d(,) I d R d 2 2 2m 1 2 3 2 m I 1 4m 4 m2 18 9 m 2 5m2 4 m 17 0 ( luôn đúng m ). 1 1 9 Ta có: S IA. IB sin AIB IA . IB IAB 2 2 2 9 3 2 Vậy: S lớn nhất là khi AIB 900 AB = R 2 3 2 d(,) I d IAB 2 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 25 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 3 2 1 2m 2 m2 16m2 16 m 4 36 18 m 2 2 2m2 16 m 32 0 m 4 2. Thay tọa độ A 1;2;5 vào hai phương trình d1 , d 2 thấy không thỏa. Do đó A d1 , A  d 2 . Giả sử d1 là trung tuyến vẽ từ B, d2 là trung tuyến vẽ từ C B d1 B32b;6 2b;1b , C d 2 C4 c;24c;2 c . G d1  d 2 Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ : x 3 y 6 z 1 2 2 1 . Giải hệ này ta thu được x 3; y 6;z 1. x 4 y 2 z 2 1 4 1 Do đó G 3;6;1 G là trọng tâm của tam giác ABC nên x x x 1 3 2b 4 c x ABC 3 G 3 3 2b c 1 yABC y y 2 6 2b 2 4c yG 6 b 2c 4 3 3 b c 5 zABC z z 5 1 b 2 c zG 1 3 3 b 2 B 7;2; 1 c 3 C 1;14; 1 Từ đó ta lập được phương trình các cạnh của tam giác ABC là: x 1 y 2 z 5 AB : 1 0 1 x 7 y 2 z 1 BC : 1 2 0 x 1 y 14 z 1 CA : . 0 2 1 Câu VII b 2y x y x 1 2 2 2 1 logx2 3 y 1 log y 2 x 2 4 y 1 2 5 5 Điều kiện : y 0. Chia cả hai vế của (1) cho 2x 0 ta được: 2y x 1 22 y x 2y x 2 2 2 y x 2 y x 2 0 y x 2 2 0 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 26 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Ta có: 2y x 1 x y . Thay y x vào (2) ta được: 2 2 1 2 log5 x 3 x 1 log 5 x 2 x 4 x 1 log 5 x 3 1 2 x 1 (3) x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: VT 3 l og5 x 3 log 5 2 3 1. x VP 3 1. 1 x Vậy VT 3 VP 3 1 x x 1 y 1 (thỏa điều kiện y 0 ) 2 x 1 0 Vậy x y 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. ĐỀ 5 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 3 2 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x 3 m 1 x 5 m 4 x 8 Cm 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị Cm của hàm số khi m 0 . 10. Tìm m để Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Câu II (2,0 điểm) 3 1 1. Giải phương trình:8sin x . cosx sin x 2 3 2. Giải phương trình: x 4 x 1 x 4 1 x 1 x 4 x3 4 x 2 1 x . 0 dx Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I . 1 1 x 1 x 2 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc a 3 với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng . 4 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm). Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: 2 1 1 2 sinx sinx 7 sinx sinx 2 2. 1 1 3 sinx sinx m 12 sinx sinx B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 27 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A 2;1 . Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ b 0 và điểm C thuộc trục Oy có tung độ c 0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 2. Trong không gian Oxyz cho các điểm A 2;0;0 , M 0; 3;6 . Viết phương trình mặt phẳng P chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho VOABC 3. Câu VII a (1,0 điểm). i m 1 Xét số phức: z . Tìm m để z. z . 1 m m 2 i 2 B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng :x 2 y 2 0 và hai điểm A 1;3 , B 3; 2 . Tìm M trên sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;3;0 , B 0; 2;0 và đường thẳng x t : y 0 . Tìm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. z 2 t Câu VII b (1,0 điểm). Tìm miền xác định của hàm số: y ln 8 2 lgx 3 4 2 lg x BÀI GIẢI Câu I 1. Học sinh tự giải 2. + Điều kiện cần : Giả sử Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1,, x 2 x 3 lập thành 3 2 một cấp số nhân . Khi đó x 3 m 1 x 5 m 4 x 8 0 có 3 nghiệm là x1,, x 2 x 3 3 2 x 31 mx 548 mx xxxxxx1 2 3  x 3 2 3 2 x 3 m 1 x 5 m 4 x 8 x x123 x xx xx 122331 xx xxxxxx 123 2 Suy ra : x1 x 2 x 3 8 . Vì x1,, x 2 x 3 lập thành một cấp số nhân nên x2 x 1 x 3 . Do đó 3 3 2 x2 8 x 2 2. Thay x2 2 vào phương trình x 3 m 1 x 5 m 4 x 8 0 ta thu được 4 2m 0 m 2. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 28 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng + Điều kiện đủ : Với m 2 thay vào phương trình x3 3 m 1 x 2 5 m 4 x 8 0 ta 3 2 thu được x 7 x 1480 x x 1 x 2 x 40 x1 1 , x 2 2, x 3 4 lập thành một cấp số nhân . Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu II sinx 0 1. Điều kiện: sin 2x 0 x k k . cosx 0 2 Phương trình đã cho tương đương với: 8sin2 x cos x 3 sin x cos x 4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x 4cosx 4cos 2 x cos x 3 sin x cos x 4cosx 2 cos3 x cos x 3 sin x cos x 1 3 cosx sin x cos3 x cos x cos3 x 2 2 3 x 3 x k 2 x k 3 6 k thoả điều kiện ban đầu. x 3 x k 2 x k 3 12 2 2. Điều kiện: 0 x 1 u 0 u 4 x Đặt v 0 4 v 1 x 4 4 u v 1 Từ phương trình đã cho ta được : u2 uv 2 v 3 v 2 u 2 u 2 v 2 2 u v u v u uv v 0 u v u v 1 u v 0 u v 1 u v 0 ( do u , v không âm và u , v không đồng thời bằng 0 nên u v 0 ). Ta được các hệ : 1 1 u4 x u v 0 2 2 1 a) . Do đó x . u4 v 4 1 1 1 2 v4 1 x 2 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 29 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng u v 1 u v 1 b) 2 2 u4 v 4 1 u v 2 uv 2 u2 v 2 1 u v 1 u 0 x 0 u v 1 u v 1 uv 0 v 1 1 x 1 x 0 uv 0 . Do đó . 2 2 2u v 4 uv 0 u v 1 u 1 x 1 x 1 uv 2 uv 2 v 0 1 x 0 1  Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: S 0; ;1  . 2  Câu III 0dx 0 dx Ta có: I 2 11 x 1 x 1 1 1 2 2 1 x 4 2 1 1 1 Đặt x sin t dx costdt ; t ; 2 2 2 2 2 1 2costdt 2 2 cost 2 Lúc đó: I 2 dt 1 dt 2 J . 1 1 2 cost 2 cos t 2 01 sin2 t 0 0 4 4 2 dt x2 dt Cần tính J . Đặt t tan dx 2 0 2 cos t 2 1 t 2dt 1 1 2 dt Ta có: J 1 t 2 1 t 2 3 t 2 02 0 1 t 2 Đặt t 3 tan u dt 3 1 tan 2 u du 2 63 1 tan u du 1 6 J du . 2 03 3tan u 3 0 6 3 9 4 3 Suy ra: I 2. . 26 3 18 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 30 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng S Câu IV Trong  ABO vuông tại O ta có: OA AC2 3 a tan ABO 3 OB BD2 a ABO 600 hay  ABD đều. I D SAC  ABCD A SBD  ABCD SO  ABCD . O SO SAC  SBD H a Do  ABD đều nên với H, K C K B lần lượt là trung điểm của AB, HB nên DH AB và DH = a 3 ; 1a 3 OK // DH và OK DH OK  AB AB  (SOK) 2 2 Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK; AB  OI OI  (SAB) , hay OI d O; SAB 1 1 1 a  SOK vuông tại O ta có: SO . OI2 OK 2 SO 2 2 2 Diện tích đáy: SABCD 4 S ABO 2 OA . OB 2 a 3 a 2 3 a . 1 1a a3 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V SO. S 2 3 a2 . S. ABCD3 ABCD 3 2 3 Câu V Bất phương trình đã cho tương đương với: 2 1 1 2 sinx sin x 1 sinx sin x 2 2 . 1 1 3 sinx sin x m sinx sin x 1 Đặt t sin x x k , t . sin x Bài toán tương đương với việc tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi t: 2t2 t 1 2 . 3t2 t m 1 Vì mẫu thức xác định t nên 1 12t 0 m . Khi đó 3t2 t m 0  t . 12 2t2 t 1 Vì 2t2 t 1 0  t nên 2 t 4 t2 3 t 2 m 1 0  t 3t2 t m 35 9 16 2m 1 0 m . 12 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 31 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 35 Vậy m là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 12 B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a 1. Ta có: B b;0 Ox , C 0; c Oy với b, c 0 .   AB b 2; 1 , AC 2; c 1 .   Do tam giác ABC vuông tại A nên ABAC 0 2 b 2 c 1 0 c 1 2 b 2 . 1 1 2 2 S ABAC b 2 1. 4 c 1 ABC 2 2 1 2 2 2 b 2 1 4 4 b 2 b 2 1 1. 2 5 Do c 2 b 5 0 0 b . 2 Dấu “=” xảy ra khi b 2 , c 1. Vậy minSABC 1 khi B 2;0 , C 0;1 . 2. Giả sử B 0; b ;0 , C 0;0; c . Mặt phẳng P qua A , B , C nên có phương trình là : x y z 1. 2 b c 3 6 M 0; 3;6 P 1 6 b 3 c bc . b c 1 2 1 bc Lại có : V . OA . S . bc 3 bc 9. OABC3 OBC 3 2 3 Từ đó ta có được các hệ phương trình : b 3 c 2 b 3 c 3 6b 3 c 9 c 2 b 3 c 2 b 3 b 3 (a) . . 2 3 bc 9 b 2 b 3 9 2b 3 b 9 0 3 b b 2 2 c 6 6b 3 c 9 c 2 b 3 c 2 b 3 (ii ). 2 ( Hệ vô nghiệm). bc 9 b 2 b 3 9 2b 3 b 9 0 Vậy phương trình mặt phẳng P cần tìm là : Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 32 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng x y z x y z 1 , 1. 2 3 3 2 3 6 2 Câu VII a 2 i m m i 1 m 2 mi Ta có: z 2 2 1 m 2 mi 1 m2 4 m 2 m 1 m2 2 m i 1 m 2 2 m 2 m 1 m 2 i 1 m 2 2 2 1 m2 1 m 2 m 1 m 1 = i z i 1 m2 1 m 2 1 m2 1 m 2 2 1m 1 1 1 1 2 Do đó z. z 2 2 m 1 2 m 1. 2 m2 1 2m 1 2 B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b 1. Đặt F x; y x 2 y 2 . Do FF 1;3 . 3; 2 15 0 nên A và B nằm về hai phía khác nhau đối với .   Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc với . Khi đó d nhận ud n 1;2 làm vectơ chỉ x 1 y 3 phương nên có phương trình: 2x y 1 0 . 1 2 2x y 1 0 x 0 Gọi H d  Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: H 0;1 . x 2 y 2 0 y 1 Gọi C là điểm đối xứng của A qua nên H là trung điểm của AC. Suy ra C 1; 1 . Ta có: MA MB MC MB BC 17. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M BC  . Đường thẳng BC qua B 3; 2 nhận BC 4;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương x 3 y 2 trình: x 4 y 5 0 . 4 1 x 9 x 2 y 2 0 7 Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ: 7 M 9; . x 4 y 5 0 y 2 2 7 Vậy Max MA MB 17 khi M 9; . 2 2. Ta có: C C t;0;2 t Gọi P là chu vi của tam giác ABC, ta có: P AB AC BC 15 6 2 2t2 8 t 17 2 t 2 4 y 6 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 33 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2 2 15 6 2 2 t 2 32 2 t 1 2 2 Trong mặt phẳng Oxy, đặt u 2 t 2;3 , v 2 t 1;2  AC BC u v u v 3 3 2 t 2 3 7 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng phương t . 2 t 1 2 5 7 3 MinP 15 6 3 3 3 khi C ;0; . 5 5 Câu VII b Hàm số xác định khi và chỉ khi x 0 x 0 2 lgx3 2 lg x 8 4 0 3 2 2 lgx3 2 lg x 2 lgx 2 lg x 8 4 8 4 x 0 x 0 9 2 lgx 4 2 lg x 2 2 9 2 lgx 4 2 lg x x 0 x 0 x 100 . lgx 2 x 100 Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: D 100; . ĐỀ 6 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x3 3 x 2 2 C 11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 12. Tìm m để C có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn 2 2 2 Cm : x y 2 mx 4 my 5 m 1 0 . Câu II (2,0 điểm) 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: sin 3x cos3 x 7 cosx 4 cos 2 x . 2sin 2x 1 75x x 1 7 5 x 1 2012x 2012 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2 x m 2 x 2 m 3 0 1 dx Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I = . 2 4 2 11 x x x 3 x 1 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 34 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Chứng minh AK HK và tính thể tích khối chóp S.ABC. Câu V (1,0 điểm). Cho x, y, z 0,1 . Chứng minh rằng xyz 1 x 1 y 1 z 1. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 2;3 và đường thẳng : m 2 x m 1 y 2 m 1 0 . Tìm tham số thực m để khoảng cách từ M đến đường thẳng là lớn nhất. 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng x 2 2 t x 2 y 1 z d1 : và d2 : y 3 t . Chứng minh hai đường thẳng trên chéo 2 1 2 z t nhau. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1, d 2 . Câu VII a (1,0 điểm). Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự 2 2 các số phức z1, z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z1 z 2 z 1 z 2 . Chứng minh tam giác OMN là tam giác đều. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng d1: x y 3 0, d 2 : x y 6 0 . Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu S lần lượt có phương trình: 2x y 2 z 3 0 ; x 1 2 y 2 2 z 4 2 25. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu V đối xứng với S qua mặt phẳng . Câu VII b (1,0 điểm). Giải bất phương trình: log2 3x 1 6 1 log 2 7 10 x . BÀI GIẢI Câu I 1. Học sinh tự giải 2. Hàm số xác định và liên tục trên . 2 2 x 0 Ta có: y 3 x 6 x ; y 0 3 x 6 x 0 x 2 Tọa độ các điểm cực trị: A 0;2 , B 2; 2 . Cách 1: (C) có điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn Cm khi và chỉ khi Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 35 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 485 m m2 144485 m m m 2 10 5m2 835 m m 2 4705 m m 2 830 m ( vì 5m2 4 m 7 0  m ). 3 m 1. 5 2 2 Cách 2: Đường tròn Cm : x m y 2 m 1 có tâm I m;2 m , bán kính R 1. 2 2 2 36 6 Ta có: IB 5 m 4 m 8 5 m 1 R điểm B nằm ở phía ngoài 5 5 5 đường tròn Cm . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn Cm , tức là: 3 IA 1 R 5 m2 8 m 4 1 5 m 2 8 m 3 0 m 1. 5 Câu II 5 x k2 12 1. Điều kiện: sin 2x 1 k . x k2 12 Phương trình đã cho tương đương với: 3sinx 4sin3 x 4cos 3 x 3cos x 7 cosx 4 cos 2 x 2sin 2x 1 3sin x cos x 4sin x cos x 1 sin x cos x 7 4 cos 2x 2sin 2x 1 sinx cos x 3 4 4sin x cos x 7 cosx 4 cos 2 x 2sin 2x 1 sinx cos x 2sin2 x 1 2 7 cosx 4cos2 x 7sin x 412sin x 2sin 2x 1 1 x k2 2 sin x 6 2sinx 7sin x 3 0 2 5 sinx 3 x k2 6 5 Vì x 0; nên ta có được hai nghiệm sau đây: x , x . 6 6 2. Điều kiện: x 1 Ta có: 75x x 1 7 5 x 1 2012x 2012 7 x 1 7 5 x 7 5 2012 1 x (*) Nếu x 1 thì VP * 0 VT * ( Vô lý). Bất phương trình (*) luôn đúng khi 1 x 1. Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm Bất phương trình x2 m 2 x 2 m 3 0 có nghiệm x  1;1 Bất phương trình: m x 2 x2 2 x 3 có nghiệm x  1;1 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 36 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng x2 2 x 3 x2 2 x 3 m có nghiệm x  1;1 m min f x với f x . x 2 x  1;1 x 2 3 Hàm số này được viết lại : f x x , x  1;1 x 2 3x2 4 x 1 f x 1 x 2 2 x 2 2 x 2 3  1;1 f x 0 x 2 3  1;1 f 2 3 2 2 3 ; f 1 f 1 2 ; Do đó minf x f 1 f 1 2 . x  1;1 Vậy m 2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu III Đặt x t dx dt . 1 dt 1 dx Khi đó: I . 2 4 2 2 4 2 11 t t t 3 t 1 1 1 x x x 3 x 1 1 1 Suy ra: 2I g x g x dx với g x . 2 4 2 1 1 x x x 3 x 1 1 1 Ta có: g x g x 1 x x2 x 4 3 x 2 1 x x 2 x 4 3 x 2 2 4 2 1 x x2 x 4 3 x 2 1 1 x x 2 x 4 3 x 2 1 2 1 x x 3 x 1 = 2 2 4 2 2 4 2 1 x x x 3 x 1 1 x x x 3 x 1 1 x2 x 4 3 x 2 1 x 2 2 1 x2 x 4 3 x 2 1 = 1 x4 x 4 3 x 2 1 2 x 2 2 x 4 3 x 2 1 2 x 2 x 4 3 x 2 1 x 2 2 1 x2 x 4 3 x 2 1 2 2x4 4 x 2 2 x 4 3 x 2 1 2 x 2 x 4 3 x 2 1 1 x2 x 4 3 x 2 1 1 x4 2 x 2 x 4 3 x 2 1 x 2 x 4 3 x 2 1 1 x2 x 4 3 x 2 1 1 2 . 1 x2 x 4 3 x 2 1 x 2 x 4 x 2 x 4 3 x 2 1 1 x 1dx 1 dx 1 dx Do đó: 2II 2 2 2 2 11 x 0 1 x 0 1 x Đặt x tan u dx 1 tan 2 u du Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 37 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2 4 1 tan u du 4 Vậy I du u 4 . 2 0 01 tanu 0 4 Câu IV. S . SA BC H Ta có: BC  SAC BC  AK AC BC Mà AK SC nên AK SBC AK  HK . Hơn nữa AK SBC AK  SB K Suy ra: SB AHK SB  HK A B Mà SB SAB  SBC nên AHK 600 . a2 3 Dễ dàng tính được S ABC 2 C Trong tam vuông AKH có 3 AK AHsin 600 AH 2 1 1 1 1 1 Các tam giác SAB, SAC vuông tại A nên (1) AH2 SA 2 AB 2 SA 2 4a 2 1 1 1 4 1 1 1 3 3 (2) AK2 SA 2 AC 2 3AH 2 SA 2 a 2 AH 2 4SA 2 4a 2 1 1 a 2 Từ (1) và (2) suy ra: SA . 4SA2 2a 2 2 a3 6 Vậy V . S.ABC 12 Câu V xyz 0;1 Cách 1: Do x, y , z 0;1 nên . 1 x 1 y 1 z 0;1 Khi đó: xyz 1 x 1 y 1 z 3 xyz 3 1 x 1 y 1 z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x y z  x 1 y 1 z 3 xyz 3 1 x 1 y 1 z 1 3 3 Suy ra: xyz 1 x 1 y 1 z 1. Cách 2: Ta có z 0;1 1 z 0;1 Do đó: xyz 1 x 1 y 1 z xy 1 x 1 y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 38 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2 xy 1 xyxxyy 1 1 1 1 xy 1 xy 1 1 Suy ra: xyz 1 x 1 y 1 z 1. B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a 2 m 2 3 m 1 2 m 1 7m 8 1. Ta có: d d M , 2 2 2 m 2 m 1 2m 6 m 5 49m2 112 m 64 Suy ra: d 2 2m2 6 m 5 Cách 1: 49m2 112 m 64 Ta có: d2 2 d 2 m 2 6 d 2 m 5 d 2 49 m 2 112 m 64 2m2 6 m 5 hay 2d2 49 m 2 2 56 3 d 2 m 5 d 2 64 0 . 7 2 117 117 + Nếu 2d2 49 0 d ( do d 0 ) thì 35m 0 m . 2 2 70 7 2 + Nếu 2d2 49 0 d thì phương trình bậc hai ẩn theo ẩn m ở trên có nghiệm 2 2 khi và chỉ khi 56 3d2 2 d 2 49 5 d 2 64 0 d4 37 d 2 0 d 2 37 0 ( do d 0 ) d2 37 d 37 11 Với d 37 ta có: 25m2 110 m 121 0 m . 5 11 Vậy maxd 37 khi m 5 Cách 2: 49m2 112 m 64 Xét hàm số: f m 2m2 6 m 5 Tập xác định D 70m2 234 m 176 f m 2 2m2 6 m 5 8 m 2 7 f m 0 70 m 234 m 176 0 11 m 5 49 49 limf m , lim f m . x 2 x 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 39 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 8 11 Bảng biến thiên: t 7 5 0 f m 0 49 f m 2 37 0 49 2 11 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra maxf m f 37 . m 5 11 Vậy maxd 37 khi m . 5  2. Đường thẳng d đi qua M 2;1;0 và có vectơ chỉ phương u 1; 1;2 . 1  1 Đường thẳng d2 đi qua N 2;3;0 và có vectơ chỉ phương u1 2;0;1 .    Ta có: u; u MN 10 0 d , d chéo nhau. 1 2 1 2 A 2 a ;1 a ;2 a d1 ; B1 2;3; b b d 2   1 AB. u1 0 a AB là đoạn vuông góc chung của d1, d 2   3 . AB. u 0 2 b 0 5 4 2 Do đó : A ; ; , B 2;3;0 3 3 3 11 13 1 AB 30 Mặt cầu (S) có tâm I ;; , bán kính R 6 6 3 2 6 2 2 2 11 13 1 5 Vậy phương trình của mặt cầu (S) là : x y z . 6 6 3 6 Câu VII a z2 z z z z2 z z z 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Ta có: z1 z 2 z 1 z 2 z2 z z z 2 1 2 1 2 z1 z 2 z 2 z 1 Vì z1, z 2 0 nên z1, z 2 0 . 2 2 z2 z 1 3 3 Từ ta có: z2 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z1 z 2 Do đó: z2 z 1 z 1 z 2 Mà OM z1 ; ON = z 2 ; MN = z 2 z 1 . Vậy tam giác OMN đều. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 40 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 9 x x y 3 0 2 1. Ta có : I d1  d 2 toạ độ điểm I là nghiệm của hệ : . x y 6 0 3 y 2 9 3 A Do đó I ; . B 2 2 M d  Ox M 3;0 . M 1 I Ta có : AB 2I M 3 2 D C 12 Giả thiết S 12 AB . AD 12 AD 2 2 ABCD 3 2 Vì I, M d nên d AD . 1 1   Đường thẳng AD qua M 3;0 và nhận u n 1; 1 làm vectơ chỉ phương nên có AD d1 x 3 y 0 phương trình: x y 3 0. 1 1 Toạ độ A, D có dạng: t;3 t . Ta có: 2 2 2 2 2 t 2 MA MD 2 MA MD 2 t 3 3 t 2 t 6 t 8 0 . t 4 Do đó: A 2;1 , D 4; 1 hoặc A 4; 1 , D 2;1 . + Với A 2;1 , D 4; 1 suy ra C 7;2 , B 5;4 + Với A 4; 1 , D 2;1 suy ra C 5;4 , B 7;2 2. + Mặt cầu S có tâm I 1; 2;4 và bán kính R 5. 2.1 2 2.4 3 d I; 3 5 R . 22 1 2 2 2 Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu S . + Gọi J là điểm đối xúng của I qua mặt phẳng thì V là mặt cầu có tâm J, bán kính R 5.  Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với . Khi đó d nhận n 2; 1;2 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: x 1 2 t y 2 t z 4 2 t Gọi H là trung điểm IJ. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng . Toạ độ điểm H ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: 2 1 2t 2 t 2 4 2 t 3 0 t 1. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 41 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Suy ra H 1; 1;2 . Vì H là trung điểm IJ nên dễ dàng suy ra được J 3;0;0 . Vậy phương trình mặt cầu (V) là: x 3 2 y2 z 2 25. Câu VII b (1,0 điểm) 1 Điều kiện: x 10. 3 Bất phương trình đã cho tương đương với: 3x 1 6 3 x 1 6 log log 7 10 x 7 10 x 22 2 2 3x 1 2 10 x 8 3x 1 4 3 x 1 10 x 4 10 x 64 4 3x 1 10 x x 23 16 3 x 1 10 x x 23 2 369 49x2 418 x 369 0 1 x 49 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của bất phương trình trên là: 369 S 1; . 49 ĐỀ 7 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 3x 2 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y C x 1 13. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d 5 26 cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thoả cos BAI . 26 Câu II (2,0 điểm) 1 sin 2x 1. Giải phương trình: cot x 2sin( x ) 2 sin x cos x 2 2. Giải bất phương trình sau: x2 3 x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4 Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường sau: x2 Elip (E): y2 1 , đường thẳng d: x 2 3 y 4 0 và trục hoành. 4 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB AD 2 a , CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 42 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu V (1,0 điểm). Tìm m để phương trình: mx2 2cos x 2 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt trong đoạn 0; . 2 B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G 2;0 . Biết phương trình các cạnh AB,AC theo thứ tự là 4x y 14 0 , 2x 5 y 2 0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C . 2. Trong không gian Oxy cho các điểm A 3;5; 5 , B 5; 3;7 và mặt phẳng P : x y z 0 . Tìm điểm MP sao cho MA2 MB 2 nhỏ nhất . Câu VII a (1,0 điểm) n Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ 3 4 5 biết n thỏa mãn 1 2 3 2n 496 CCCC4n 1 4 n 1 4 n 1 4 n 1 2 1. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 2 1. Cho parabol y x . Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại A1 và A2 . Hình chiếu của A1 , A 2 lên Ox là B1, B 2 . Chứng minh rằng: OB1. OB 2 const . 2. Cho mặt cầu: S : x2 y 2 z 2 2 x 2 z 2 0 và các điểm A 0;1;1 , B 1; 2; 3 C 1;0; 3 . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. n 3 i Câu VII b (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n bé nhất để là số thực 1 i BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải 3x0 2 2. Gọi M x0; C x 0 1 x0 1 3x 2 5 Tiếp tuyến d với (C) tại M có phương trình: y 0 x x . x 1 2 0 0 x0 1 5 26 Do d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B và IAB có cos BAI nên 26 tanBAI 5 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 43 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 5 Lại có tan BAI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y x0 2 0 nên x0 1 5 2 x 0 5 x 1 1 0 . 2 0 x 2 x0 1 0 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán: y 5 x 2 ; y 5 x 2 . Câu II 1. Điều kiện: sin x 0, sin x cos x 0. Ta có: 1 sin 2x cos x 2sin xcos x cotx 2sin( x ) 2cos x 0 2 sinx cos x 2 2 sin x sin x cos x 2 cosx 0 cosx 2cos x 0 cosx sin( x ) sin 2 x 0 2 sin x sinx cos x 4 sin x sin 2 x 4 x k 2 x k 2 x k2 k ( thoả điều kiện ban đầu) 4 k2 x k2 4 3 x 4 3 x k 2 Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm: k k2 x 4 3 2 x 3 x 2 0 x 1  x 2 2 2. Điều kiện: x 4 x 3 0 x   1 x 3 x 1 x 4 . 2 x 1  x 4 x 5 x 4 0 x2 3 x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4 x2 3 x 2 x 2 5 x 4 x 2 4 x 3 x 2 5 x 4 0 2 x 1 x 1 0 x2 3 x 2 x 2 5 x 4 x 2 4 x 3 x 2 5 x 4 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 44 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2x 1 x 1 0 x2 3 x 2 x 2 5 x 4 x 2 4 x 3 x 2 5 x 4 x 1 0 x 1. Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: x 1  x 4 . Câu III 3 + Giao điểm của d và (E) là A 1; 2 y + d cắt trục hoành tại B 4;0 . Gọi A là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox. Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm A là phần gạch xiên như hình vẽ. O B x K C Ta có: SSS AKB AKC . 1 1 3 3 3 S AK.KB .3 AKB 2 2 2 4 Những điểm thuộc hình phẳng có tung độ y 0 nên từ phương trình (E) suy ra: 1 y 4 x 2 . 2 1 2 Do đó: S 4 x2 dx AKC 2 1 Đặt x 2sin t dx 2cos tdt Khi đó: 12 2 2 1 2 3 S 4 4sin2 t .2cos tdt 2 cos 2 tdt 1 cos 2 t dt t sin 2 t AKC 2 2 3 4 6 6 6 6 3 3 3 Vậy S 3 ( 4 3 4 3 đvdt). S Câu IV Ta có: SBI  ABCD SCI  ABCD SI  ABCD . SI SBI  SCI Gọi I là hình chiếu của I lên BC. A E B Theo định lý 3 đường vuông góc suy SH BC . I 0 H Mà BC SBC  ABCD nên SHI 60 D C Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 45 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng là góc giữa hai mặt phẳng SBC và (ABCD). 1 1 Ta có : S ADABCD 2 aaa 2 3 a2 . ABCD 2 2 1 1 1 3a2 S S S S 3 a2 IDCD . IAABa . 3 2 aa 2 2 . IBC ABCD  ICD  IAB 2 2 2 2 3a2 2. 2 2S 3a 3 a 5 Kẻ CE AB , ta có: IH IBC 2 BC CE2 BE 24 a 2 a 2 5 3a 5 3 a 15 Trong tam giác SIH vuông tại I, ta có: SI IH tan 600 . 3 . 5 5 1 1 3a 15 3 a3 15 Do đó : V SI. S . .3 a2 ( đvtt). 3ABCD 3 5 5 Câu V + Rõ ràng: x 0 là một nghiệm của PT. x 4sin 2 2 x + Với x 0; ta có: m 2 . Đặt t , x 0; t 0; 2 x 2 2 4 2 sin t Ta có phương trình sau: m , t 0; . t 4 2 sin t Xét hàm số: f t , t 0; . t 4 sin 2t f t 3 1 tan t 0  t 0; suy ra f(t) nghịch biến trên 0; . t 4 4 limf t 1. t 0 Phương trình trên có 2 nghiệm thực phân biệt tong đoạn 0; PT f t m có đúng 1 2 nghiệm thực trong 0; . 4 0 Bảng biến thiên : t 4 f t f t 1 8 2 8 Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được : m 1. 2 B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 46 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu VI a (2,0 điểm) 4x y 14 0 x 4 1. Ta có : A AB  AC Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2x 5 y 2 0 y 2 hay A 4;2 2 1 B AB B b; 4 b 14 ; C AC C c; c 5 5 4 b c 6 b 3 B 3; 2 Vì G là trọng tâm ABC nên 2 1 2 4b 14 c 0 c 1 C 1;0 5 5 Vậy A 4;2 , B 3; 2 , C 1;0 . 2. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo công thức độ dài trung tuyến MH của tam AB2 giác MAB ta có: MA2 MB 2 2 MH 2 . 2 MA2 MB 2 nhỏ nhất MH nhỏ nhất. Ta có: H 1;1;1 cố định. Suy ra MH nhỏ nhất M là chân của đường vuông góc hạ từ H đến (P).  Để ý rằng OH 1;1;1 là vectơ pháp tuyến của mp (P) và OP nên M O 0;0;0 . Vậy MA2 MB 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với gốc tọa độ và MinMA 2 MB 2 MinOA 2 OB 2 142 . Câu VII a (1,0 điểm) 4n 1 0 1 22 33 4n14n1 Ta có: 1x C4n1 CxCxCx Cx 4n1 4n1 4n1 4n1 4n 1 0 1 2 3 4n 1 Chọn x 1 2 C4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 0 1 2 3 2n 2 C4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 4n 0 1 2 3 2n Suy ra 2 C4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 C 4n1 Hay 24n 2 496 4n 496 n 124. 124124 124 k k 124 124 k k 4k 4 k 2 4 3 5  C124 3 5  C 124 3 5 . k 0 k 0 124 k 2 Trong khai triển có số hạng hữu tỉ k 4 0 k 124 k 4 k 4t 0 t 31 0 k 124 0 4t 124 Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 47 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 2 1. Giả sử A1 x 0; x 0 P .Khi đó: A2 A B1 là hình chiếu của A1 lên Ox nên có tọa độ 1 B2 O B là B1 x 0;0 OB 1 x 0 . 1 Phương trình đường thẳng OA1: y xx 0 . 1 Do OA2 OA 1 nên phương trình đường thẳng OA2 : y x . x0 y x2 1 1 Tọa độ A2 là nghiệm của hệ phương trình: 1 A2 ; . B2 là hình chiếu y x 2 x0 x 0 x0 1 1 của A2 lên Ox nên có tọa độ là B2 ;0 OB 2 . Vì thế OA1. OB 2 1. x0 x 0 2. S có tâm I 1;0; 1 , bán kính R 2 .   AB 1; 3; 4 , AB 1; 1; 4 .   Gọi là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n AB, AC 8; 8;4 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 818 x y 243022 x x y z 10 . 2 0 1 1 2 d I, 2 R S   . 22 2 2 1 2 3 1 Ta có: V h. S nên V lớn nhất h lớn nhất. ABCD3 D ABC ABCD D Gọi DD1 2 là đường kính của S vuông góc với mặt phẳng . Vì D là điểm bất kì thuộc S nên d D, max d D1 , , d D 2 , . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D1 hoặc D2 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 48 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng DD1 2 qua I nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương nên có phương trình x 1 2 t tham số: D1 D 2 : y 2 t t . z 1 t Gọi D 1 2 d0 ; 2 d 0 ; 1 d 0 D 1 D 2 là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương 2 2 2 trình: 12 d 4 d2 1 d 21221 d d 20 d . 0 0 0 0 0 0 3 2 2 9. 2 9. 2 9d 2 3 2 Ta có: d D, 0 . Vì 3 nên D phải ứng với d . 3 3 3 0 3 7 4 1 Vậy D ;; là điểm cần tìm. 3 3 3 Câu VIIb (1,0 điểm) Ta có: 3 i 2 c os i sin ; 1 i = 2 c os isin . 6 6 4 4 3 i 5 5 2 c os isin . 1 i 12 12 n n 3 12 5n 5 n Do đó: 2 c os isin . 1 i 12 12 5n 5 n 5 n Số đó là thực khi và chỉ khi sin 0 k k k . 12 12 12 Số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n 12 . ĐỀ 8 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 1 8 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x3 x 2 3 x (C). 3 3 14. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 2. Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O ( O là gốc toạ độ). Câu II (2,0 điểm) 1 1. Giải phương trình: 1 4sin2 x sin 3 x . 2 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 49 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2. Giải phương trình : 4 x x2 1 x x 2 1 2 . 3 dx Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: I 0 1 sinx cos x Câu IV (1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC. A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh AA tạo với đáy góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. x2 xy y 2 3 Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa: . 2 2 y yz z 16 Chứng minh rằng: xy yz zx 8. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm P 7;8 và hai đường thẳng: d1 : 2 x 5 y 3 0, d2 :5x 2 y 7 0 cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua P và tạo với 29 d, d thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng . 1 2 2 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm H 4;5;6 . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua H, cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Câu VII a (1,0 điểm) . Tính in với n . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol P : y2 64 x và đường thẳng : 4x 3 y 46 0 . Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến nhỏ nhất. Tính khoảng cách nhỏ nhất đó. 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c Gọi ,  ,  lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: cos2 c os 2  c os 2  1. Câu VII b (1,0 điểm) 2 2log1 x ( xy 2x y 2) log 2 y (x 2x 1) 6 Giải hệ phương trình: log1 x (y 5) log 2 y (x 4) 1 BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải 2. Vì d song song với trục hoành nên phương trình của d là: y m m 0 . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 50 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 1 8 x3 x 2 3 x m x 3 3 x 2 9 x 8 3 m 0 1 3 3 Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân thì phương trình (1) phải có các nghiệm: x1, x 1 , x 2 ( với x1, x 1 là hoành độ của A, B ). Khi đó x1, x 2 là nghiệm của phương trình: 2 2 3 2 2 2 xxxx 1 2 0 xxxxxxx 2 1 1 2 0 (2) x2 3 2 19 Đồng nhất (1) và (2) ta được: x1 9 9.3 8 3 m hay m . 3 2 x1 x 2 8 3 m 19 Vậy d: y . 3 Câu II 1. Nhận xét: cosx 0 không phải là nghiệm của phương trình . Do đó, nhân cả hai vế của phương trình cho cosx 0 ta được: 1 1 cosx 4cos x sin2 x sin3 x cos x cos x 4cos x 1 cos 2 x sin3 x cos x 2 2 2sin 3x 4cos3 x 3cos x cos x 2sin 3 x cos3 x cos x sin 6 x cos x 2 x k 14 7 sin 6x sin x k . 2 2 x k 10 5 2 x 1 0 15. Điều kiện: x 1. 2 x x 1 Khi đó: x x2 1 x x 2 1 4 x x 2 1 ( do x 1). Suy ra: 4x x2 1 x x 2 1 4 x x 2 1 4 x x 2 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 4x x21 4 x x 2 1 2 4 x x 2 1. 4 x x 2 1 2 Do đó: 4 x x2 1 x x 2 1 1. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu III x2 dt Đặt t tan dx 2 1 t 2 1 x 0 t 0 ; x = t 3 3 1 1 32dt 3 dt 1 1 I ln 1 t 3 ln 1 . 2 0 02 2t 1 t 0 1 t 3 1 t 1 2 2 1 t 1 t Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 51 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu IV A' Gọi H là hình chiếu của A lên mp (ABC) và M là trung điểm của BC. C' Do ABC là tam giác đều và AAABAC nên H là trọng tâm tam giác ABC. B' 2 2a 3 a 3 Ta có: AH AM . 3 3 2 3 Mặt khác AH là hình chiếu của AA lên A 0 mặt phẳng (ABC) nên A AH 60 là góc C hợp bởi cạnh bên AA và ABC . H M Trong tam giác A HA vuông tại H, ta có : a 3 B A H AHtan 600 . 3 a . 3 a2 3 S . ABC 4 a2 3 3 Vậy V A H S a a3 . ABC. A B C  ABC 4 4 Câu V Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 2 32 x 3 3 z xy yz zx y z x y 4 2 2 2 2 2 2 x 32 3 2 z 2 2 2 2 y x zy xxyyyyzz 48 2 4 4 2 2 xy yz zx 64 xy yz zx 8 ( đpcm). B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a 1. Ta có: A d1  d 2 toạ độ điểm A là nghiệm d1 của hệ : d2 2x 5 y 3 0 x 1 A hay A 1; 1 . 5x 2 y 7 0 y 1 Phương trình các đường phân của góc tạo bởi d1, d 2 là: 1: 7x 3 y 4 0 , 2 :3 x 7 y 10 0 B C d P Vì d tạo với d1, d 2 một tam giác vuông cân nên H Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 52 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng d 1 3 x 7 y C 1 0 d 2 7 x 3 y C 2 0 Mặt khác P 7;8 d nên C1 77, C 2 25. d: 3 x 7 y 77 0 Suy ra: d: 7 x 3 y 25 0 Gọi B d1  d, C d 2  d 1 1 29 Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên S ABAC AB2 AB 29 . ABC 2 2 2 và BC AB 2 58 29 2S 2. 58 Suy ra: AH  ABC 2 . BC 58 2 3.1 7. 1 77 87 58 Với d:3 x 7 y 77 0 , ta có: d A; d AH ( loại). 2 32 7 58 2 7.1 3. 1 25 29 58 Với d: 7 x 3 y 25 0 , ta có : d A; d AH ( thoả). 72 3 2 58 2 Vậy d: 7 x 3 y 25 0 . 2. Giả sử : POxAa  ;0;0, POyBb  0;;0, POzC  0;0; c x y z Khi đó (P) có phương trình : 1. a b c 4 5 6 Ta có : HP 4;5;6 1   a b c   AH 4 a ;5;6, BH 4;5 b ;6, BC 0; bcAC ; , ac ;0;   AH. BC 0 5 b 6 c 0 Vì H là trực tâm tam giác ABC nên   BH. AC 0 4b 6 c 0 77 4 5 6 a 1 4 a b c 77 Giải hệ phương trình : 5b 6 c 0 b . 5 4b 6 c 0 77 c 6 x y z Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : 1. 77 77 77 4 5 6 Câu VIIa k + Nếu n 4 k k thì in i4 k i 4 1 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 53 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng + Nếu n 4 k 1 k thì in i4 k i 1. i i + Nếu n 4 k 2 k thì in i4 k i 2 1. 1 1 + Nếu n 4 k 3 k thì in i4 k i 3 1 i i . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b 2 2 a 1. Ta có: A P : y 64 x A ; a 64 a2 4. 3a 46 64 1 1 2 d A, a2 48 a 736 a 24 160 42 3 2 80 80 12 160 a 24 160 2. 80 80 Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a 24 0 a 24 . Lúc đó Mind A, 2 khi A 9; 24 . 2. x y z 1 1 1 P  ABC : 1 0 có phương vectơ pháp tuyến n ,, a b c a b c   mp OAB có vectơ pháp tuyến n OC 0,0, c  1  mp() OBC có vectơ pháp tuyến n OA a ,0,0  2  mp OAC có vectơ pháp tuyến n3 OB (0, b ,0) Gọi ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt phẳng OAB , OBC , OCA với mp ABC . Do đó: 1 1 1 0 0 c 1 a b c cos c (1) 1 1 1 1 1 1 02 0 2 c 2 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 1 1 1 a 0 0 1 a b c cos a (2) 1 1 1 1 1 1 a2 0 2 0 2 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 1 1 1 0 b 0 1 a b c cos b (3) 1 1 1 1 1 1 02 b 2 0 2 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Từ (1), (2) và (3) suy ra: cos2 c os 2  c os 2  1. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 54 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu VIIb 4 x 1, x 0 Điều kiện: y 2; y 1 2 2log1 x ( xy 2 x y 2) log 2 y ( x 2 x 1) 6 log1 x (y 5) log 2 y ( x 4) 1 2 2log1 x 1 x y 2 log 2 y x 1 6 2 2log1 x y 2 2log 2 y x 1 6 logy 5 log x 4 1 log1 x y 5 log 2 y x 4 1 1 x 2 y 2 log1 x 2 y log 2 y 1 x 2 log1 x 2 y 2log 1 x 2 y 1 0 log1 x y 5 log 2 y x 4 1 log1 x y 5 log 2 y x 4 1 log1 x 2 y 1 y x 1 log 4 x log x 4 1 log1 x y 5 log 2 y x 4 1 1 x 1 x y x 1 y x 1 y x 1 y x 1 x 2 4 x 4 x 2 2 . log1 x 1 1 x 4 x x 3 x 4 x 2 x 0 y 1 x 4 x 4 x 2 Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho. y 1 ĐỀ 9 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 3 2 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x 2 mx m 3 x 4 có đồ thị Cm 16. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số khi m 1. 2. Cho đường thẳng d: y x 4 và điểm E 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt Cm tại ba điểm phân biệt ABC 0;4 , , sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 . Câu II (2,0 điểm) 2 3 2 1. Giải phương trình: cos3x cos3 x sin 3 x sin 3 x . 8 2 x 1 y y x 4 y 2. Giải hệ phương trình: x , y . 2 x 1 y x 2 y 4 ln 9 x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I dx 2 ln 9 x ln x 3 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 55 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Câu IV (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD. A B C D có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng 00 90 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Câu V (1,0 điểm). Giải phương trình: 3 x x x 2 x x x 2 x2 x x 2 x 2 3 10 xxxx2 3 xxx 2 3 x 2 x 4 xxx 4 xxxx 3 3 B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ độ các đỉnh A 2;0 , B 3;0 và I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I nằm trên đường thẳng y x . Xác định toạ độ các điểm C, D. x y z x 1 y z 1 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: d : và d : . 1 1 1 2 2 2 1 1 Chứng minh d1, d 2 chéo nhau. Tìm A d1, B d 2 sao cho đường thẳng AB song song với mặt phẳng P : x y z 0 và độ dài AB 2 . Câu VII a (1,0 điểm) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n 6 điểm đã cho là 439. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình đường tròn C qua M 2;4 và tiếp xúc với hai trục tọa độ. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ABC 1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1 và x y 1 z 3 đường thẳng d : . Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích 1 1 2 khối tứ diện ABCD bằng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Câu VII b (1,0 điểm) Giải phương trình: z2 z 0 . BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải 2. Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và d: x 0 3 2 3 2 x 2 mx m 3 x 4 x 4 x 2 mx m 2 x 0 2 x 2 mx m 2 0 * Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 56 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng d cắt Cm tại ba điểm phân biệt A 0;4 , B,C Phương trình (*) có hai nghiệm phân m2 m 2 0 m 1  m 2 biệt khác 0 . m 2 0 m 2 Gọi x1, x 2 theo thứ tự là hoành độ của các điểm BC, . Do đó x1, x 2 là hai nghiệm phân biệt x1 x 2 2 m của phương trình (*). Theo định lý Viet, ta có: . x1 x 2 m 2 1 1 S 4 dEdBC ,.4 2.4 BC BC 42 BC 2 32 EBC 2 2 22 2 x2 x 1 x 2 4 x 1 4 32 2 x 2 x 2 32 2 2 2 x2 x 1 16 x 1 x 2 4 x 1 x 2 16 4 m 4 m 2 16 2 m 2 m m 6 0 . So với điều kiện ta đầu ta tìm được m 3 m 3 Vậy m 3 là giá trị cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu II 2 3 2 1. Ta có: cos3x cos3 x sin 3 x sin 3 x 8 cos3x 3cos x 3sin x sin 3 x 2 3 2 cos3x . sin 3 x . 4 4 8 2cos2 3x 6cos3 x cos x 6sin 3 x sin x 2sin 2 3 x 2 3 2 2 cos2 3x sin 2 3 x 6 cos3 x cos x sin 3 x sin x 2 3 2 x k 2 16 2 cos 4x k . 2 x k 16 2 2 x 1 0 2. + Với y 0 ta có: 2 ( Hệ vô nghiệm). x 1 x 2 0 x2 1 2 y x 2 2 x 1 y y x 4 y y + Với y 0 , ta có : x2 1 y x 2 y x2 1 y x 2 1 y x2 1 Suy ra: ,y x 2 là nghiệm của phương trình: t2 2 t 1 0 t 1. y Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 57 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng x 1 x2 1 x 1 1 y x2 1 x 2 x 2 0 y 2 Do đó: x 2 . y y 3 x y 3 x x 2 y x 2 1 y 3 x y 5 Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S  1;2 , 2;5  . Câu III Đặt x 6 t dx dt 2ln t 3 dt 4 ln t 3 4 ln x 3 I dt dx 4ln t 3 ln9 t 2 ln t 3 ln9 t 2 ln x 3 ln 9 x 4 4 2I I I dx x 2 I 1. 2 2 Câu IV A' D' Giả sử B AD và x là cạnh đáy của hình lăng trụ. Áp dụng định lý Côsin trong A BD ta có: B' C' 2 2 2 BD A B A D 2 A B . A D cos h BD2 2 A B 2 2 A B 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 A 2x 2 x h 1cos 2 x 2 x h .2sin D 2 2h2 sin 2 22 0 0 C x 0 90 . B cos 2h3 sin 2 Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V AA S x2 h 2 . ABCD cos Câu V Đặt a 2, b x 1, c x 1, d x x 1, e x2 1. Phương trình đã cho trở thành: a b b c c d d e e a 10 cdedeaeababcbcd 3 a b b c c d d e e a 10 1 1 1 1 1 5 cde dea eab abc bcd 3 1 1 1 1 1 25 a b c d e cdedeaeababcbcd 3 1 1 1 1 1 cdedeaeababcbcd cde dea eab abc bcd 25 * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của (*) thì ta được VT * 25 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 58 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c d e x 1. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. B- PHẦN RIÊNG D B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN C Câu VI a I 1 1. Ta có: SS 1. IAB4 ABCD Mặt khác A H B 1 12 1 S IHABIH. . 3 2 02 IH 1 IH 2 IAB 2 2 2 I d:; y x I a a , ta có phương trình đường thẳng AB là : y 0. a 2 Ta có : IH 2 d I , AB 2 a 2 . a 2 + Nếu a 2 thì suy ra : ID 2;2 , C 2;4 , 2;4 + Nếu a 2 thì suy ra : ID 2; 2 , C 5; 4 , 6; 4 .  2. d qua O 0;0;0 nhận u 1;1;2 làm vectơ chỉ phương 1  1 d2 qua I 1;0;1 nhận u2 2;1;1 làm vectơ chỉ phương.    Ta tính được u, u OI 4 0 . Suy ra d, d chéo nhau. 1 2 1 2 A d A a;;2 a a ; B d B 1 2;;1 b b b 1  2 AB/ / P AB . n 0 b a . P  Do đó B 1 2 a ; a ;1 a và AB 1 a ; 2 a ;1 3 a . a 0 22 2 2 2 AB 2 AB 2 a 1 4 a 1 3 a 2 7a 4 a 0 4 . a 7 + Với a 0 ta có AO ( loại) 4 4 4 8 1 4 3 + Với a ta được A ; ; , B ; ; . 7 7 7 7 7 7 7 Câu VIIa Nếu n 2 thì n 6 8 và số tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ n 6 điểm đó không 3 vượt quá C8 56 439 . Vậy n 3 . Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một tổ hợp chập 3 từ n 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 điểm, trên cạnh DA có n điểm nên số tam giác được tạo thành chỉ là n 6 n 5 n 4 n n 1 n 2 CCC3 3 3 1 . n 6 3 n 6 6 n 6 n 5 n 4 n n 1 n 2 Theo giả thiết ta có: 439 1 440 6 2 n 10 n 4 n 140 0 . Chọn n 10 . n 14 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 59 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Vậy n 10 là giá trị cần tìm. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) y 1. Gọi I a;b là tâm và R là bán kính của đường tròn C . Vì C tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R a b . M 2;4 C qua điểm M 2;4 nên C nằm ở góc phần tư thứ I trên mặt phẳng Oxy. Do đó a 0;b 0 . I Như vậy R a b . Khi đó, phương trình đường tròn C có dạng: x O x a 2 y a 2 a2 . 2 2 2 2 a 2 M 2;4 C 2 a 4 a a a 12 a 20 0 a 10 Kết luận: Phương trình đường tròn C là: x 2 2 y 2 2 4 x 10 2 y 10 2 100 1 2. Ta có: V S. h trong đó S là diện tích tam giác ABC, h là khoảng cách từ ABCD3 ABC ABC D đến mặt phẳng ABC .     AB 1;3;0 , AC 0;3;2 AB, AC 6; 2;3 1  7 S AB, AC ABC 2 2 3V 3 6 Do đó: h . 7 S ABC 7 2   Mặt phẳng ABC qua A 1;0; 1 nhận AB, AC 6; 2;3 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 6 x 1231062330 y z x y z x t Dạng tham số của d: y 1 t z 3 2 t Do D d D t;1 t ;3 2 t nên 6t 2 1 t 3 3 2 t 3 2t 4 6 h d D, ABC 62 2 2 3 2 7 7 Suy ra: t 1  t 5 Vậy có hai điểm D và D thỏa mãn yêu cầu bài toán D 1;0;5 , D 5;6; 7 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 60 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng b) Đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là giao tuyến của mặt phẳng qua A- vuông góc với đường thẳng BC với mặt phẳng qua B-vuông góc với đường thẳng AC ( cũng là giao tuyến với mặt phẳng qua C, vuông góc với đường thẳng AB).  Mặt phẳng qua A 1;0; 1 nhận BC 1;0;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: x 1 2 z 1 0 x 2 z 3 0.  Mặt phẳng qua B 2;3; 1 nhận AC 0;3;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: x 1 2 z 1 0 x 2 z 3 0. Dễ thấy M 0 7;1;2 0 2 2 1 1 0 Vectơ chỉ phương của là: u ; ; 6; 2;3 3 2 2 0 0 3 x 7 6 t Phương trình tham số của là: y 1 2 t z 2 3 t Câu VII b (1,0 điểm) Đặt z x yi . Suy ra: z2 x 2 y 2 2 xyi và z x2 y 2 . Phương trình đã cho trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 0 1 x y x y 2 xyi 0 . 2xy 0 2 Các trường hợp sau: + x y 0 . + x 0 , y 0 . Khi đó từ (1) ta có: y2 y 2 0 y 2 y 0 y 1 y 1. 2 x x 0 + x 0 , y = 0 . Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: ( Vô nghiệm). x 1 0 ĐỀ 10 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 4 2 2 Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: y x 2 m m 1 x m 1 có đồ thị Cm 17. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số khi m 1. 2. Tìm m để đồ thị Cm có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. Câu II (2,0 điểm) Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 61 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 1. Tìm các nghiệm thực của phương trình: sinx tan2 x 3sin x 3tan2 x 33 thỏa mãn 1 log1 x 0 . 3 2 2 2xy x y 1 2. Giải hệ phương trình: x y . 2 x y x y Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x y , y 0, x 0, x 1 sin x Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA (ABC) . Từ A kẻ AD SB và AE SC . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Câu V (1,0 điểm). 1 1 1 Cho a,, b c là các số dương thỏa mãn 2011. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P 2a b c a 2 b c a b 2 c B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm ABCD 1;0, 2;4, 1;4, 3;5 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng :3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2 x y z 1 0 và hai đường thẳng x 1 y 2 z 3 x 1 y 1 z 2 d : , d : . Viết phương trình đường thẳng song 1 2 1 3 2 2 3 2 song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 tại điểm C có hoành độ bằng 3. Câu VII a (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z 1 i n , n . Trong đó n thỏa mãn : log4 n 3 log 5 n 6 4 . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) x2 y 2 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1 và hai điểm AB 5; 1 , 1;1 . Tìm 16 5 một tọa độ điểm M nằm trên (E) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 62 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Pxyz :22 160, Sxyzxyz :2 2 2 42650 . Điểm M di động trên (S), điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của MN. Xác định vị trí của MN, . Câu VII b (1,0 điểm) 2 y 2 xy y 2 x 2 0 Giải hệ phương trình sau: . 2log2 2x y 3log 2 y 1 4 BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải 2. Ta có: y 4 x3 4 m 2 m 1 m , đồ thị Cm luôn có ba điểm cực trị. x 0 y 0 2 x m m 1 2 2 1 3 Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là: d 2 m m 1 2 m 3 . 2 4 1 Dấu “=” xảy ra khi m . 2 Câu II x 0 1. Ta có: 1 log1 x 0 0 x 3. log1 x 1 3 3 sinx tan2 x 3sin x 3tan2 x 33 sin x tan2 x 3sin x 3tan2 x 33 0 sinx tan2 x 3 3tan2 x 3 0 tan2 x 3sin x 3 0 tan 2x 3 2 x k x k k . 3 6 2 Kết hợp với điều kiện 0 x 3 , ta chọn được k 1;2 . 5 Vậy ta có được các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: x ; x . 3 6 2. Điều kiện: x y 0 . 2xy2 2 xy Ta có: xy2 2 1 xyxy 2 1 0 xyxyxy 1 2 2 0 x y x y Vì x y 0 nên x2 y 2 x y 0 . Do đó: x y 1 0 y 1 x . Thay vào phương 2 2 x 1 y 0 trình thứ hai ta được: 1 x 1 x x x 2 0 . x 2 y 3 Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 63 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình trên là: S  1;0 , 2;3  . 2 x 1 0 2. + Với y 0 ta có: 2 ( Hệ vô nghiệm). x 1 x 2 0 x2 1 2 y x 2 2 x 1 y y x 4 y y + Với y 0 , ta có : x2 1 y x 2 y x2 1 y x 2 1 y x2 1 Suy ra: ,y x 2 là nghiệm của phương trình: t2 2 t 1 0 t 1. y x 1 x2 1 x 1 1 y x2 1 x 2 x 2 0 y 2 Do đó: x 2 . y y 3 x y 3 x x 2 y x 2 1 y 3 x y 5 Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S  1;2 , 2;5  . Câu III x Nhận xét: y 0,  x  0; . Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. 1 sin x x x1 x Ta có: S dx dx . 2 01 sinx 0 x x 2 0 2 x sin c os cos 2 2 2 4 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được: x x I xtan x tan dx 2ln c os 4 00 2 4 2 4 0 Câu IV AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC S ABC vuông tại B nên AB BC Giả thiết cho :SA (ABC) E SA BC BC (ABC) AD BC D AD là đường cao trong tam giác SAB AD SB AD (SBC) A C AD SC Mặt khác : AE SC SC (ADE) Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE B Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 64 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng AS.AB AS.AB a.c AD SB AS2 AB 2 a 2 c 2 AS.AC SA.AC c. a2 b 2 AE SB SA2 AC 2 a 2 b 2 c 2 Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: 2 2 2 2 2 2 2 c (a b ) c SE AS AE c 2 2 2 = a b c a2 b 2 c 2 c2 .b 2 DE = AE2 AD 2 = (a2 b 2 c 2 ).(a 2 c 2 ) 1 1 c2 .b 2 ac S = .AD.AE = 2 2 (a2 b 2 c).(a 2 2 c) 2 a 2 c 2 1 a.c3 .b 3 = . 2 (a2 b 2 c 2 ).(a 2 c 2 ) Thể tích: 1 1 1 c 1 a.c3 .b 3 V = .SE. .AD.DE = 3 2 3a2 b 2 c 2 2 (a 2 b 2 c).(a 2 2 c) 2 1 a.b2 .c 4 . 6 (a2 c 2 )(a 2 b 2 c 2 ) Câu V 2 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 4xy x y . x y4 x y Dấu “=” xảy ra khi x y . 1 11 1 1111111 1111 Ta có: 2abc 4 abac 4 4 ab 4 ac 8 abc 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự: , abc 2 8 2 abcabc 2 2 8 2 abc 2 Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 2011 P . 4 a b c 4 B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a 1. Ta có: M M t;3 t 5 . Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 65 MATHVN.COM - Toán học Việt Nam