Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Đồng Đậu

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Đồng Đậu

1. TRƯỜNG THPT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỒNG ĐẬU MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) 1 a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx3 m 1 x2 3 m 2 x 2019 3 đồng biến trên 2; . mx m 2 b) Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường x 1 thẳng d : y 2x 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45 . Câu 2 (2,0 điểm) cos x 2sin x 1 a) Giải phương trình lượng giác sau 3 . sin x 1 2sin x 1 2 2 x 4y 3 x y 3y 3 0 b) Giải hệ phương trình sau x, y ¡ . 2 3 x 3x y 5 3x 2 2 3a 6 Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a , AC 2a , AA 2   và góc B· AC 60 . Gọi M là điểm trên cạnh CC sao cho CM 2MC . a) Chứng minh rằng AM  B M . b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng AB M . 1 * Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số un có số hạng tổng quát un 1 2 , n ¥ . n 1 Tính lim u1u2u3 un . Câu 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi H có n đỉnh (n ¥ ,n 4 ). Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của H và không có cạnh nào là cạnh của H gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của H và có đúng một cạnh là cạnh của H . Xác định n. Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là x y 1 0 , điểm G 1;4 là trọng tâm tam giác ABC, điểm E 0; 3 thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương. Câu 7 (1,0 điểm) Cho a,b,c 0 và a b c 3 . Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 a2 b c b2 c a c2 a b HẾT