Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng B - Vòng I - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng B - Vòng I - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B Ngày thi:23/10/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề) Câu 1: (6,0 điểm) x y x y 2 a) Giải hệ phương trình: ,với x, y ¡ 2 2 2 2 x y 1 x y 3 b) Giải phương trình: x 4 x 2 1 3 x 2 1 3 3x ,với x ¡ Câu 2: (5,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: 2x y 2 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình: x y 1 0 , điểm M 1;1 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng: AC  BD AB2 CD2 AD2 BC 2 Câu 3: (3,0 điểm) Cho dãy số(un) xác định như sau : u 2 1 un 2 1 un 1 (n 1,n ¥ ) 1 ( 2 1)un a) Chứng minh: tan 2 1 8 b) Tính: u2015 Câu 4: (3,0 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 a b c 1 1 1 b) 1 a b 1 b c 1 c a 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Câu 5: (3,0 điểm) 3 x y m 2 Cho hệ phương trình 2 (x 2)y2 2xy 3m(y ) 3 Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với x,y ¡ . .HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: .Chữ ký giám thị 2: . – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Câu 1a x y x y 2 Giải hệ phương trình: (3,0 điểm) 2 2 2 2 Điểm x y 1 x y 3 0,25 x y x y 2 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x y 1 x y 3 Điều kiện: x+y 0, x-y 0 u x y 0,25 Đặt: ĐK: u 0,v 0 ta có hệ: v x y u v 2 (u v) u v 2 uv 4 0,5 u2 v2 2 u2 v2 2 uv 3 uv 3 2 2 u v 2 uv 4 (1) 0,5 (u v)2 2uv 2 uv 3 (2) 2 Thế (1) vào (2) ta có: uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv)2 uv 0 . 0,5 u 4 uv 0 v 0 Kết hợp (1) ta có: u v 4 u 0 0,5 v 4 u 4 0,25 (vì u>v). v 0 Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25 Câu 1b Giải phương trình: x2 (x2 1) 1 3 x2 1 3 3x (1) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B Ngày thi:23/10/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. (3,0 điểm) Từ pt ta thấy x0 0,5 2 1 1 (1) x 2 1 3 x 3 3 x x 1 0,5 Đặt: t x ,t 2 x Pt trở thành: t 2 1 3 3 t 0,5 t 3 1,0 2 t 2 t 9t 14 0 1 0,5 x 2 x 1 x Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm Câu 2a trên đường thẳng có phương trình 2x y 2 0 . Đường cao kẻ từ B có phương (2,5 điểm) trình x y 1 0 , điểm M 1;1 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC A M I N B E C x y 1 0 0,25 Toạ độ B là nghiệm của hệ 2x y 2 0 Suy ra B 3; 4 Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC d : 2x y 3 0 0,25 Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ 2x y 3 0 0,25 Suy ra N 4; 5 x y 1 0 5 0,25 Gọi I là trung điểm MN I ; 2 . 2 Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi 13 0,5 qua I vuông góc với BC IE : x 2y 0 . 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 13 x 2y 0 21 11 6 2 Toạ độ E là nghiệm của hệ 2 E , C ; . 0,5 10 5 5 5 2x y 2 0 8 0,25 CA đi qua C vuông góc với BN suy ra CA: x y 0 5 13 x 2y 0 2 33 49 0,25 Toạ đô A là nghiệm của hệ A ; 8 10 10 x y 0 5 Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D và không cùng nằm trên đường Câu 2b thẳng. Chứng minh rằng: AC  BD AB2 CD2 AD2 BC 2 (2,5 điểm) Chọn hệ trục Oxy sao cho A,C Ox , B Oy . 0,25 Giả sử trong hệ trục đó ta có: A(a,0),C(c,0),B(0,b),D(m,n) 0,25 AB2 CD2 AD2 BC 2 2 2 0,5 a2 b2 c m n2 a m n2 c2 b2 2m(a c) 0 (*) 0,5 DoA(a,0) C(c,0) a c 0,25 Vậy từ (*) suy ra m = 0 , hay D nằm trên trục tung. 0,5 Vậy (*) AC  BD 0,25 Cho dãy số(un) xác định như sau : Câu 3 u 2 1 un 2 1 un 1 (n 1,2,3, ) 1 ( 2 1)un a) Chứng minh: tan 2 1 8 b)Tính: u2015 Ta có : Câu 3a 2 tan (1,0 điểm) 1 tan tan 8 0,25 4 8 8 1 tan2 8 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 0,25 tan2 2 tan 1 0 8 8 tan 2 1 8 tan 2 1 0,25 8 0,25 tan 2 1(Vì tan dương) 8 8 Đặt u1 2 tan a , ta có: Câu 3b tan a tan tan(a ) tan (2,0 điểm) 0,25 u 8 tan(a ) , u 8 8 tan(a 2. ) 2 3 1 tan a.tan 8 1 tan tan(a ) 8 8 8 8 Ta chứng minh : u tan(a (n 1) ),n 1,n ¥ (*) n 8 Với n = 1 u1 tan a đúng 0,25 Giả sử (*) đúng với n = k , k 1 , hay ta có: u tan(a (k 1) ) k 8 tan(a (k 1) ) tan u 2 1 Ta có: u k 8 8 tan(a k. ) 0,25 k 1 8 1 ( 2 1)uk 1 tan(a (k 1) ).tan 8 8 Vậy (*) đúng với n = k+1 0,25 0,25 Vậy u tan(a (n 1) ),n 1,n ¥ n 8 3 3 0,25 Cho n = 2015, ta có : u tan(a 2014. ) tan(a 251 ) tan(a ) 2015 8 4 4 2 1 0,25 = tan(a ) 4 2 1 0,25 ( 2 1)2 tan2 8 Cho ba số dương a, b c thoả mãn abc = 1 Câu 4 a) a2 b2 c2 a b c b) 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 a2 1 2a , b2 1 2b , c2 1 2c 0,25 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. Câu 4a a2 b2 c2 a b c a b c 3 0,25 (1,0 điểm) Mà a b c 3 3 abc 3 0,25 Vậy: a2 b2 c2 a b c , đẳng thức xảy ra khi a b c 1 0,25 a b 3 a 3 b 3 a 2 3 ab 3 b2 Câu 4b 0,5 3 ab 3 a 3 b (2,0 điểm) a b 1 3 ab 3 a 3 b 1 3 ab 3 a 3 b 3 abc 3 ab 3 a 3 b 3 c 0,5 1 1 3 abc 3 c a b 1 3 ab 3 a 3 b 3 c 3 ab 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 0,5 Tương tự: 1 1 3 abc 3 a b c 1 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 0,25 1 1 3 abc 3 b c a 1 3 ca 3 a 3 b 3 c 3 ca 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 1 1 1 3 a 3 b 3 c Vậy: 1 a b 1 b c 1 c a 1 3 a 3 b 3 c 0,25 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 3 x y m(1) Câu 5 2 Cho hệ phương trình 2 (3,0 điểm) (x 2)y2 2xy 3m(y )(2) 3 Tìm m để hệ phương trinh có nhiều hơn hai nghiệm 3 (1) x m y 2 0,25 3 2 3 Thế vào (2) m 2 y y 2 m 2 y 3my 2m 2 2 3 0,25 f (y) y3 my2 2m 0(*) 2 Hpt có nhiều hơn hai nghiệm khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt f (y) có hai 0,5 nghiệm phân biệt y1, y2 và f (y1). f (y2 ) 0 f (y) có hai nghiệm phân biệt khi m 0 0,5 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. 2 2 0,5 f (y1). f (y2 ) 0 m 4 m 0 m 0 0,5 Vậy 2 2 m 4 m 0 m ( , 2)  (2, ) 0,5 Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang điểm tương ứng. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất