Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án chi tiết)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án chi tiết)

1. Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn thi: Toán (thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1: (2đ) Không dùng bảng số hoặc mấy tính cá nhân chứng minh: tg 550 > 1,4. Câu 2: (2 đ )   2 Cosn.dx 2 Sinn x.dx Chứng minh n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x Và suy ra giá trị của chúng . Câu 3 ( 2 đ ) Biện luận theo m số nghiệm ccủa phương trình x4 4x m 4 x4 4x m 6 Câu 4: ( 2 đ ) Tìm m để phương trình: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 Có các nghiệm thoả mẫn: - 2 1 n 1 n – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Sở GD&ĐT Thanh hoá Trường THPT Thọ Xuân 4 Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2005-2006 Môn toán- bảng A Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 Câu 1: (0,5đ)  0 1 tg 1 tg10 Ta có: tg550 tg(450 100 ) 18 0  1 tg10 1 tg 18 1 x Xét hàm số : f(x) = ta có: 1 x (0,5đ) 2 f’(x) =2 > 0 .Vậy f(x) đồng biến  x (- ;1) hoặc  x (1;+ (1 x) (0,5đ) ).   1 Theo (1) ta có tg550=f(tg )> f( )>f() =1,4 (0,5đ) 18 18 6 2  (0,5đ) Đặt t= -x dt = - dx. 2   n  2 n 2 Cos ( t)dt Cos xdx Ta có: = 2 = n n Cos x Sin x n  n  (0,25đ) 0 0 Sin ( t)x Cos ( t) 2 2   2 Sinntdt 2 Sinn xdx = = (1) (0,5đ) n n n n 0 Cos t Sin t 0 Cos x Sin x    2 Cosn xdx 2 Sinn xdx 2  Mặt khác: + =dx = . (2) (0,5đ) n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x 0 2   2 Cosn xdx 2 Sinn xdx  Từ(1) và (2): = = (0,25đ) n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x 4 3 x4 4x m 4 x4 4x m 6 (1) 4 4 Đặt t=x 4x m (t 0) (2) 0,25đ t2 =x4 4x m 0,25đ 0,25đ – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. t 0 Ta có: t=2. 2 t t 6 0 0,25đ Từ (2) 4 x4 4x m = 2 x4+4x+m=16. -x4-4x+16=m Đặt: f(x)= -x4-4x+16 3 3 f’(x) = -4x -4=-4(x +1) 0,25đ f’(x)=0 x=-1và f(-1)=19 Lim = - x Bảng biến thiên của f(x) x - -1 + F’(x) + 0 - 19 F(x) 0,25đ - - Từ bảng biến thiên ta có bảng biện luận theo m số nghiệm của (1) như sau: m Số nghiệm của phương trình (1) + 0 19 1 0,5đ - 2 4 Đây là phương trình trùng phương Đặt t= x2 0; khi đó phương trình đã cho có dạng: 0,25đ t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2). Phương trình đã cho có 4 nghiệm x1;x2;x3;x4 khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1 ; t2 dương.(0<t1<t) 0,25đ Khi đó: x1 t2 , x2 t1 , x3 t1 và x4 t2 0,5đ Do đó: - 2< x1 <-1 < x2 < 0 < x3 < 1< x4 < 2 2 t2 1 t1 0 t1 1 t2 2 4 t2 1 t1 0 0,5đ af (1) 0 m 3 0 m 3 af (0) 0 m 5 0 m 5 9 af (4) 0 7m 9 0 m 7 0,5đ (Không có m thoả mãn ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 5 x 3 Ta có: 4Sin2 3Cos2x 1 2Cos2 x 2 4 3 2(1 Cosx) 3Cos2x 1 1 Cos(2x ) 0,25đ 2 2Cosx 3Cos2x Sin2x 0,25đ 3Cos2x Sin2x 2Cosx  0,25đ Cos 2x Cos( x) 6  0,25đ 2x ( x) +k2  6 5 2 x k. (2) 18 3 7 0,5đ x k2(3) 6 Do x 0; nên ở họ ( 2 ) chỉ lấy được k = 0, k = 1 0,25đ ở họ ( 3 ) chỉ lấy được k = 1 0,25đ 5 17 5 Vậy các nghiệm (0;) là: x ; x ; x 1 8 2 18 3 6 6 1 CosB 2a c ( 1) SinB 4a2 c2 Ta có: (1 CosB)2 2a c (1) 0,25đ Sin2B 2a c 2 B 2Cos2 2a c 1 2 1 0,25đ B B 2a c 2Sin .Cos 2 2 B 4a 1 cot g 2 2 2a c 1 4a B Sin2 2a c 2 B 2a c 4a.Sin2 2 0,5đ B c 2a 1 2Sin2 2 0,25đ 2a.CosB c – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 4RSinACosB 2RSinC 2SinACosB SinC 0,25đ 2SinACosB Sin(A B) Sin(A B) 0 0,5đ A B 0 ( Vì -  A B ) A B hay ABC là tam giác cân tại C. 7 Ta có: m 1 n 1 E = lim m n = ĩ 1 1 x 1 x 1 x 1 x (m (1 x x2 xm 1) (n (1 x x2 xn 1) = Lim x 1 m n 1 x 1 x (1 x) (1 x2 ) (1 xm 1) (1 x) (1 x2 ) (1 xn 1) 0,5đ = Lim x 1 m n 1 x 1 x 1 (1 x) (1 x xm 2 ) 1 (1 x) (1 x xn 2 ) lim 2 m 1 2 n 1s x 1 1 x x x 1 x x x 0,5đ 1 2 (m 1) 1 2 (n 1) E= m n 0,5đ m(m 1) n(n 1) m 1 n 1 m n E= 2 2 m n 2 2 2 0,5đ 8 Đặt t = 2x – y 0,25đ 1 42x y 51 2x y 1 22x y 1(1) Khi đó hệ (I): 3 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0(2) Ta có: 0,25đ (1) 1 4t 5 t 1 1 2t 1 t t 1 4 0,25đ 5 1 2.2t (3) 5 5 t t 1 4 0,25đ Đặt f (t) 5 ; g(t) = 1+2. 2t 5 5 Ta có: f(t) là hàm số giảm, g(t) là hàm số tăng – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. Và f(1) = g (1) 0,25đ Do đó: (3) t 1 2x y 1 2x y 1 0,25đ Vậy hệ (I) 3 2 y 2y 3 ln(y y 1) 0 Đặt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 ) 2y 1 Ta có: h’(y) = 3y2 + 2 + y2 y 1 2y2 4y 3 = 3y2 y2 y 1 2(y 1)2 1 0,25đ = 3y2 0 y2 y 1 h’(y) >0 h(y) là hàm số tăngvà h(-1) = 0 0,25đ 2x y 1 x 0 Vậy (I) y 1 y 1 9 Phương trình của ( C1) và ( C2 ) có dạng sau: 2 1 2 5 (C1): x (y 3) 2 4 2 2 2 0,25đ (C2): (x-m) + y = m + 1 1 5 Vậy ( C1) là đường tròn với tâm O1 ;3 và bán kính R1 = ; (C2) là 2 2 2 0,25đ đường tròn với tâm O2 (m,0) và bán kính R2 = m 1 2 2 2 1 4m 4m 37 4m 4m 37 0,25đ Ta có: O1O2 = 9 m 2 4 2 a, ( C1) và ( C2) tiếp xúc ngoài nếu R1+R2 = O1O2 5 4m2 4 4m2 4m 37 4m2 9 2 20m2 20 4m2 4m 37 5m2 5 7 m m 7 2 2 5m 5 49 14m m m 7 2 4m 14m 44 0 0,5đ 11 m=2 hoặc m = - 2 b, (C ) và (C ) tiếp xúc trong nếu R R O O 1 2 1 2 1 2 0,25đ – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. 5 4m2 4 4m2 4m 37 (1) 1 +) nếu m thì R2 > R1, do vậy từ (1) ta có 2 4m2 4 5 4m2 4m 37 4m2 9 2 20m2 20 4m2 4m 37 0,25đ m 7 5m2 5 m 7 2 (Hệ vô nghiệm) 0,25đ 4m 14m 44 0 1 +) nếu m thì R1 > R2 , lập luận tương tự trên ta có được hệ vô 2 nghiệm. Kết luận: Để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau thì m = 2 11 hoặc m = - và khi đó mọi sự tiếp xúc đều là tiếp xúc ngoài 2 10 1 1 áp dụng bất đẳng thức côsi 0,25đ 1 1 1 cho n+1 số gồm n số 1+ n  n n số hạng 1 1 1 1 1 và số 1 ta có: n 1 n n 1 n  n n thừa số 0,5đ n n 2 1 n 1 1 n 1 n 0,25đ n 1 n 1 1 1 1 n 1 n 1 0,5đ Dấu đẳng thức không thể xảy ra vì 1 1 n n 1 n 1 1 Vậy 1 > 1 n 1 n 0,5đ – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất