Đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO KỲ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI THAM D Ự KÌ THI CAO B ẰNG CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI QU ỐC GIA NĂM 2015 - VÒNG 1 ĐỀ CHÍNH TH ỨC Môn: TOÁN Th ời gian: 180 phút (Không k ể th ời gian giao đề ) ĐỀ BÀI (Đề g ồm: 01 trang) Câu I: (4 điểm). Cho hàm s ố yx=−33 x 2 + 3(1 − mx ) ++ 1 3 m (1) 1. Ch ứng minh điểm u ốn là tâm đối x ứng c ủa đồ th ị hàm s ố (1) và ti ếp tuy ến t ại đó có h ệ s ố góc nh ỏ nh ất. 2. Với giá tr ị nào c ủa m thì đồ th ị hàm s ố (1) c ắt tr ục hoành t ại m ột điểm duy nh ất. Câu II : (3 điểm). 3 2sin2+ x 1 1. Gi ải ph ươ ng trình: + =++13 (x ∈ ℝ ) 2cos2 x sin2 x tan x 2. Tìm m để ph ươ ng trình: 2(sin4x+ cos 4 x ) + cos 4 x + 2sin 2 xm += 0 có ít π  nh ất m ột nghi ệm thu ộc đoạn 0;  . 2  Câu III : (4 điểm). Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 a, c ạnh bên b ằng a 5 . M ặt ph ẳng (P) là m ặt ph ẳng ch ứa AB c ắt các c ạnh SC , SD l ần l ượt t ại M và N và kho ảng cách gi ữa CD và m ặt ph ẳng (P) b ằng a. 1. Tính góc gi ữa hai m ặt ph ẳng ( P) và ( ABCD ). 2. Xác định thi ết di ện của hình chóp c ắt b ởi m ặt ph ẳng ( P). Tính di ện tích c ủa thi ết diện này. Câu IV: (3 điểm). Ch ứng minh: 0222+ 1 + 2 ++n 2 = n ∈ ℕ* (CCCnnn) ( ) ( ) ( CC nn) 2 ( n ) Câu V : (3 điểm). Gi ải ph ươ ng trình: (xx+ 2)(2 −−+=−+ 1) 3 x 6 4 ( xx 6)(2 −++ 1) 3 x 2 ( x ∈ ℝ ) Câu VI: (3 điểm). Cho m ột hình ch ữ nh ật có chu vi là P và di ện tích là S. Ch ứng minh r ằng: 32 S P ≥ . 2S+ P + 2 ___H ết___ Họ và tên thí sinh: S ố báo danh: Họ tên, ch ữ ký c ủa giám th ị 1: