Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2007-2008 - Phòng giáo dục và đào tạo Thành phố Huế (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2007-2008 - Phòng giáo dục và đào tạo Thành phố Huế (Có đáp án)

1. UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. x2 7x 6 2. x4 2008x2 2007x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 1. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 3: (2điểm) 1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 . Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Hết
2. UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 0.5 x 1 x 6 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 0,25 4 2 2 2 2 2 2 x x 1 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 0,25 2 2 2 2 2 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 0,25 2. 2,0 2.1 x2 3x 2 x 1 0 (1) 2 + Nếu x 1 : (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ). 0,5 + Nếu x 1 : (1) x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1 . 2.2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 0,25 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 0,5 x x x 0 hay x 8 và x 0 . 0,25 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8
3. 3 2.0 3.1 Gọi số cần tìm là ab 10a b (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có:10a b a b 10a b a2 2a b b 2a 5 b a2 2 5 b a (vì a 0 ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: a 2k , nên 5 b k Nếu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (thỏa điều kiện bài toán) 0,5 Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (thỏa điều kiện bài toán) 3.2 Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 0,5 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do đó khi chia tcho2 2t tta 1có99 số3 dư là 1993 0,5 4 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc Cà chung. CD CA (Hai tam giác CE CB vuông CDE và CAB đồng 1,0 dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: BãEC ãADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). ã 0 Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 0,5 BE AB 2 m 2 4.2 BM 1 BE 1 AD Ta có:   (do BEC : ADC ) 0,5 BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH 0,5 nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BãHM BãEC 1350 ãAHM 450 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH 0,5 GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: 0,5 GC HC GB GC HD HC BC AH HC