Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/4/2019 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị (P) . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng 1 1 (dm ) : y x m cắt đồ thị (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 2 . x1 x2 2) Cho hàm số y (m 1)x2 2mx m 2 (m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) . Câu II (3,0 điểm) 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 1) Giải hệ phương trình 2 2 x y x 2x 12 0 2) Giải phương trình (x 3) 1 x x 4 x 2x2 6x 3 . 3) Giải bất phương trình x3 (3x2 4x 4) x 1 0 . Câu III (3,0 điểm)    1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 . Gọi P là PA giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . PC 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK . Biết rằng 9 S 4S , chứng minh sin 2 A sin 2 B sin 2 C . ABC HEK 4 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương trình x y 3 0 , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 . Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh A, B,C . Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz 3 . x2 y2 z2 Chứng minh bất đẳng thức 1 . x3 8 y3 8 z3 8 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 6 trang) Câu Nội dung Điểm Câu I.1 Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị (P) . Tìm giá trị của tham số m để đường 1,0đ thẳng (dm ) : y x m cắt đồ thị (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x 2thỏa 1 1 mãn 2 . x1 x2 Phương trình hoành độ giao điểm x2 4x 3 x m x2 5x 3 m 0 (1) 0,25 Đường thẳng (dm ) cắt đồ thị (P)tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 13 (1) có hai nghiệm phân biệt 0 13 4m 0 m . 0,25 4 x1 x2 5 Ta có 0,25 x1x2 3 m 1 1 x1 x2 2x1x2 5 2(3 m) 1 2 m (thỏa mãn) 0,25 x1 x2 x1x2 0 m 3 2 Câu I.2 Cho hàm số y (m 1)x2 2mx m 2 ,(m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch 1,0 đ biến trên khoảng ( ;2) . Với m 1 y 2x 3 . Hàm số nghịch biến trên ¡ . Do đó m 1 thỏa mãn. 0,25 m 1 0 Với m 1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) khi và chỉ khi m 0,25 2 m 1 1 m 2 . 0,25 Vậy 1 m 2 0,25 CâuII.1 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 1 1,0 đ Giải hệ phương trình 2 2 x y x 2x 12 0 2 x y x2 xy y2 3 3 x2 y2 2 x y x2 xy y2 3(x y) 3(x2 y2 ) 2 0,25 x3 y3 3(x y) 3x2 3y2 2 x3 3x2 3x 1 y3 3y2 3y 1 0,25 (x 1)3 (y 1)3 x 1 y 1 y x 2 Thế y x 2 vào phương trình (2) ta có 0,25 x2 (x 2) x2 2x 12 0 x3 x2 2x 12 0 . 2 x 3 (x 3)(x 2x 4) 0 x 3 y 1. Hệ có nghiệm 0,25 y 1
3. CâuII.2 Giải phương trình (x 3) 1 x x 4 x 2x2 6x 3 (1) 1,0 đ Điều kiện 1 x 4 . Phương trình (1) (x 3)( 1 x 1) x( 4 x 1) 2x2 6x 0,25 x 3 x (x 3) x 2x2 6x 1 x 1 4 x 1 1 1 x(x 3) 2 0 1 x 1 4 x 1 x(x 3) 0 0,25 1 1 2 (2) 1 x 1 4 x 1 x(x 3) 0 x 0; x 3(Thỏa mãn điều kiện). 0,25 Với điều kiên 1 x 4 ta có 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 2 . Dấu " " không xảy 1 1 x 1 4 x 1 4 x 1 1 1 0,25 4 x 1 ra nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0 và x 3 . CâuII.3 3 2 1,0 đ Giải bất phương trình x (3x 4x 4) x 1 0 (1) Điều kiện x 1 . 3 2 3 2 x (3x 4x 4) x 1 0 x 3x x 1 4(x 1) x 1 0 0,25 3 x3 3x2 x 1 4 x 1 0 (2) Xét x 1 , thay vào (2) thỏa mãn. 3 Xét x 1 x 1 0 . Chia hai vế của (2) cho x 1 ta được bất phương trình 0,25 3 2 x x 3 4 0 . x 1 x 1 x 3 2 2 Đặt t , ta có bất phương trình t 3t 4 0 (t 1)(t 2) 0 t 1 0,25 x 1 1 x 0 1 x 0 1 x 0 x t 1 1 x 1 x x 0 x 0 1 5 x 1 2 2 0 x x 1 x x x 1 0 2 1 5 1 x 2 0,25 1 5 Kết hợp x 1 là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 1; . 2
4.    Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 . Gọi P là III.1 PA 1,0 đ giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . PC   Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt AP k AC . A     1   GP AP AG k AC AB AC 3 G 0,25 P 1  1  N k AC AB . B 3 3 M C    1   1     7  5  GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 3 6 6 6 0,25   Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ GP,GN cùng phương. Do đó 1 1 1 k k 2 1 7 4  4  0,25 3 3 3 k k AP AC 7 5 7 5 3 15 5 5 6 6 6 4 PA AP AC 4. 5 PC 0,25 Câu Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh III.2 A, B,C . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK . Biết 1,0 đ 9 rằng S 4S , chứng minh sin 2 A sin 2 B sin 2 C . ABC HEK 4 Đặt S SABC thì từ giả thiết suy ra A 3 E S S S S K EAK KBH HCE 4 0,25 SEAK SKBH SHCE 3 C S S S 4 B H 1 AE.AK sin A S AE AK EAK 2 . cos A.cos A cos2 A 1 S AB.AC sin A AB AC 2 1 BK.BH.sin B S BK BH KBH 2 . cos B.cos B cos2 B S 1 BC AB AB.BC sin B 0,25 2 1 CH.CE.sinC S CH CE HCE 2 . cosC.cosC cos2 C 1 S AC.BC sinC AC BC 2 S S S 3 3 EAK KBH HCE cos2 A cos2 B cos2 C S S S 4 4 0,25 3 9 1 sin2 A 1 sin2 B 1 sin2 C sin2 A sin2 B sin2 C . 0,25 4 4
5. Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương III.3 trình x y 3 0 , đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 . Biết điểm M (1;10) 1,0 đ thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh A, B,C . x y 3 0 x 2 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình . Vậy A(2;1) . x 7y 5 0 y 1 0,25 x y 3 x 7y 5 Phương trình các đường phân giác của góc A là 2 5 2 x 3y 5 0 (d1) 0,25 3x y 5 0 (d2 ) Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao. Xét trường hợp d1 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A . Phương trình đường thẳng BC là 3x y 7 0 . x y 3 0 x 1 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B( 1;4) . 3x y 7 0 y 4 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 11 x 0,25 x 7y 5 0 5 11 2 C ; . 3x y 7 0 2 5 5 y 5   16 48  8  MB ( 2; 6), MC ; MC MB M nằm ngoài đoạn BC . Trường 5 5 5 hợp này không thỏa mãn. Nếu d2 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A Phương trình đường thẳng BC là x 3y 31 0 . Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x y 3 0 x 11 B( 11;14) . x 3y 31 0 y 14 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 101 x x 7y 5 0 5 101 18 0,25 C ; . x 3y 31 0 18 5 5 y 5   96 32  8  MB ( 12;4), MC ; MC MB M thuộc đoạn BC . 5 5 5 101 18 Vậy A(2;1), B( 11;14),C ; . 5 5 Câu IV Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một 1,0 đ máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
6. Giả sử sản xuất x(kg) sản phẩm loại I và y(kg) sản phẩm loại II. Điều kiện x 0, y 0 và 2x 4y 200 x 2y 100 Tổng số giờ máy làm việc: 3x 1,5y 0,25 Ta có 3x 1,5y 120 Số tiền lãi thu được là T 300000x 400000y (đồng). Ta cần tìm x, y thoả mãn: x 0, y 0 x 2y 100 (I) 0,25 3x 1,5y 120 sao cho T 300000x 400000y đạt giá trị lớn nhất. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1 : x 2y 100; d2 : 3x 1,5y 120 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0) , cắt trục tung tại điểm B(0;50) . Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm C(40;0) , cắt trục tung tại điểm D 0;80 . 2 y Đường thẳng d và d cắt nhau tại điểm E 20;40 . 1 2 0,25 Biểu diễn hình học tập nghiệm của D hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC . B E x O C A x 0 x 0 x 20 T 0 ; T 20000000 ; T 22000000 ; y 0 y 50 y 40 x 40 T 12000000 0,25 y 0 Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II. Câu V Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz 3 . Chứng minh bất đẳng thức 1,0 đ x2 y2 z2 1 . x3 8 y3 8 z3 8 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: (x 2) (x2 2x 4) x2 x 6 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) 2 2 0,25 x2 2x2 2 x3 8 x x 6
7. y2 2y2 z2 2z2 Tương tự, ta cũng có 2 ; 2 . y3 8 y y 6 z3 8 z z 6 Từ đó suy ra: x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 2 2 2 . (1) x3 8 y3 8 z3 8 x x 6 y y 6 z z 6 2 a2 b2 a b Chứng minh bổ đề: Cho x, y 0 và a,b ¡ ta có: * x y x y Ta có 2 2 2 a y b x a b 2 2 * a2 y b2 x x y xy a b ay bx 0 xy x y a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y 0,25 Áp dụng bổ đề ta có 2 x2 y2 z2 x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 6 y y 6 z z 6 x y x y 12 z z 6 2(x y z)2 . x2 y2 z2 (x y z) 18 Đến đây, ta chỉ cần chứng minh: 2(x y z)2 1 3 x2 y2 z2 (x y z) 18 Do x2 y2 z2 (x y z) 18 2 x y z x y z 2 xy yz zx 18 0,25 x y z 2 x y z 12 0 Nên 3 2(x y z)2 x2 y2 z2 (x y z) 18 x2 y2 z2 x y z 6 (4) Mặt khác, do x, y, z là các số dương nên ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 3 x y z 3(xy yz zx) 3 0,25 Nên bất đẳng thức (4) đúng. Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 . Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.