Chuyên đề Toán lớp 10 - Phương trình hệ phương trình (Có đáp án và lời giải)

118 trang xuanha23 09/01/2023 1870

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Toán lớp 10 - Phương trình hệ phương trình (Có đáp án và lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_toan_lop_10_phuong_trinh_he_phuong_trinh_co_dap_an.docx

Nội dung text: Chuyên đề Toán lớp 10 - Phương trình hệ phương trình (Có đáp án và lời giải)

Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề cần nắm: Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách 1. Khái niệm phương chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách trình giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc hai. 2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm: 3. Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai 1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có tham số. 4. Hệ phương trình 2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp. §1. Khái niệm phương trình A. Lý thuyết I. Phương trình một ẩn 1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. 2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương. 3. Nếu mọi nghiệm của phương trình f x g x đều là nghiệm của phương trình f1 x g1 x thì phương trình f1 x g1 x được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x g x . Ta viết: f x g x f1 x g1 x . Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. | 1
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 II. Các phép biến đổi phương trình 1. Nếu hàm h x xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f x và g x đều có nghĩa thì: f x g x f x h x g x h x . 2. Nếu hàm h x xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f x và g x đều có nghĩa và h x 0,x thì: f x g x f x .h x g x .h x . 3. Đối với bất kỳ các hàm f x và g x và n là số tự nhiên ta có: n n f x g x f x g x . Đặc biệt: n n + Nếu n là số tự nhiên lẻ thì: f x g x f x g x 2 2 + f x 0; g x 0 thì: f x g x f x g x f x g x + f x g x f x g x B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Tìm điều kiện của phương trình x2 1 Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau: 3x . x 2 x 0 A. B. C. x 2 D. x 0 x 2 x 2 Lời giải x 2 Để phương trình có nghĩa ta phải có: . x 0 STUDY TIP Đáp án A. + Điều kiện để A có nghĩa là A 0 | 2 f x + Điều kiện để g x có nghĩa là f x 0
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình x2 1 Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình x 2 là: 7 x A. x 7 B. C.2 D. x 7 2 x 7 x 2 Lời giải x 2 0 x 2 Phương trình xác định khi: . 7 x 0 x 7 Đáp án C. x 1 Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình: 0 . x 4 x 0 x 0 A. x 0 B. C. D. x 0 x 4 x 4 Lời giải x 0 x 0 x 0 x 0 Điều kiện: . x 4 0 x 4 x 4 x 4 Đáp án B. x2 1 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 0 xác định trên  1;1 . x m 2 m 1 m 1 m 1 A. B. C. D. 1 m 3 m 3 m 3 m 3 Lời giải Phương trình xác định khi: x m 2 . Khi đó để phương trình xác định trên  1;1 thì: m 2 1 m 1 m 2  1;1 m 2 1 m 3 | 3
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Đáp án C. 1 Ví dụ 5: Cho phương trình: x 2m 1 0 . Tìm m để phương x m 2 trình xác định trên 0;1 . A. 1 m 2 B. 1 C. m 2 D. 1 m 2 1 m 2 Lời giải STUDY TIP Điều kiện xác định của phương trình là: Điều kiện ở biểu thức x 2m 1 0 x 2m 1 thứ 2 chỉ là: m 2 x 2m 1 x m 2 0 x m 2 x m 2 0 vì căn thức nằm ở mẫu. Hay phương trình xác định trên m 2;2m 1 do đó điều kiện để phương trình xác định trên 0;1 là: 0;1  m 2;2m 1 m 2 m 2 0 1 2m 1 hay 1 m 2 . m 1 Đáp án B. Dạng 2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 4 0 ? A. 2 x x2 2x 1 0 B. x 2 x2 3x 2 0 C. x2 3 1 D. x2 4x 4 0 Lời giải Ta có phương trình: x2 4 0 x 2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 2;2 . Xét các đáp án: STUDY TIP 0 2 Hai phương trình - Đáp án A: Giải phương trình: 2 x x 2x 1 0 được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. | 4
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình x 2 0 x 2 2 x 2x 1 0 x 1 2 Do đó tập nghiệm của phương trình là: S1 2;1 2;1 2 S0 STUDY TIP x 2 f x g x 2 - Đáp án B: Giải phương trình: x 2 x 3x 2 0 x 1 x 2 2 f x g x Do đó tập nghiệm của phương trình là: S 2; 1;2 S . g x 0 2 0 - Đáp án C: Giải phương trình: x2 3 1 x2 3 1 x 2 Do đó tập nghiệm S3 S0 nên chọn đáp án C. - Đáp án D: Có S4 2 S0 . Đáp án C. Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 3x 0 ? 1 1 A. x2 x 2 3x x 2 B. x2 3x x 3 x 3 C. x2 x 3 3x x 3 D. x2 x2 1 3x x2 1 Lời giải 2 x 0 Giải phương trình đã cho: x 3x 0 Tập nghiệm là S0 0;3 . x 3 Xét các đáp án: - Đáp án A: 2 x 0 2 x 3x x x 2 3x x 2 x 3 x 3 S1 3 S0 x 2 x 2 - Đáp án B: | 5
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 x 0 2 2 1 1 x 3x x 3x x 3 x 0 S2 0 S0 x 3 x 3 x 3 x 3 - Đáp án C: x2 3x x 0 x2 x 3 3x x 3 x 3 S 3 S x 3 0 x 3 3  0 . x 3 x 3 - Đáp án D: 2 2 2 x 0 x x 1 3x x 1 S4 0;3 S0 . x 3 Đáp án D. Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x x 2 x2 3x x2 x 2 B. 3x x 2 x2 x 2 3x x2 C. x 2 3x x 2 9x2 2x 3 2 D. x 1 2x 3 x 1 x 1 Đáp án A. Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai? x 1 A. x 1 2 x 1 x 1 0 B. x2 1 0 0 x 1 C. x 2 x 1 x 2 2 x 1 2 D. x2 1 x 1 Lời giải Chọn đáp án D vì x2 1 x 1 Còn các khẳng định khác đều đúng. | 6
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Đáp án D. Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. 2x x 3 1 x 3 và 2x 1 x x 1 B. 0 và x 0 x 1 C. x 1 2 x và x 1 2 x 2 D. x x 2 1 x 2 và x 1 Lời giải Xét các đáp án: x 3 - Đáp án A: + Phương trình 2x x 3 1 x 3 x  2x 1 1 + Phương trình 2x 1 x 2 Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm. x x 1 x 1 0 - Đáp án B: + Phương trình 0 x 0 x 1 x 0 + Phương trình x 0 STUDY TIP Vậy chọn đáp án B. A B2 2 A B x 1 2 x - Đáp án C: + Phương trình x 1 2 x B 0 2 x 0 x 2 x2 5x 3 0 5 13 5 13 x x 2 x 2 2 2 5 13 + Phương trình x 1 2 x x2 5x 3 0 x 2 | 7
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương. x 2 0 - Đáp án D: x x 2 1 x 2 Tập nghiệm rỗng. x 1 Do đó phương trình x x 2 1 x 2 và x 1 không phải là hai phương trình tương đương. Đáp án B. Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương: x2 x 2 0 (1) và x2 2 m 1 x m2 m 2 0 (2) A. m 3 B. C.m 3 D. m 6 m 6 Lời giải Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm. STUDY TIP Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức Hai phương trình vô 2 là: ' m 1 m2 m 2 0 m 3 0 m 3 . nghiệm thì tương đương với nhau. Đáp án A. Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau: A. x 1 x và 2x 1 x 1 x 2x 1 B. x 1 2 x 0 và 1 x. 2 x 0 2x x2 2x C. và x2 x 1 2 x 1 x 1 D. x2 x 2 0 và x . x 2 0 Lời giải Ta xét các đáp án: - Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x 1 | 8
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Khi đó 2x 1 0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2x 1 nên hai phương trình tương đương. - Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là 1;2 nên tương đương. - Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x 1 nên ta có thể nhận phương STUDY TIP trình thứ nhất với x 1 0 ta được phương trình thứ hai. Điều kiện của Vậy hai phương trình tương đương. phương trình 2 f 2 x .g x 0 là: - Đáp án D: Phương trình x x 2 0 có 2 nghiệm x 2 và x 0 thỏa mãn x 0 điều kiện . f x 0 x 2 g x 0 Còn phương trình x . x 2 0 chỉ có nghiệm x 2 vì x 0 không thỏa mãn điều kiện x 2 . Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương. Đáp án D. Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2x2 mx 2 0 và 2x3 m 4 x2 2 m 1 x 4 0 (2) A. m 2 B. C. m 3 D. m 2 m 3 Lời giải x 2 Ta có: Phương trình (2) x 2 2x2 mx 2 0 2 2x mx 2 0 Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có m 3 . Khi m 3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương. Đáp án B. | 9
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương: mx2 2 m 1 x m 2 0 (1) và m 2 x2 3x m2 15 0 (2) A. m 5 B. m 5C.;m 4 D. m 4 m 5 Lời giải x 1 Phương trình (1) x 1 mx m 2 0 mx m 2 0 Do 2 phương trình tương đương nên x 1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay x 1 vào phương trình (2) ta có: 2 2 m 4 m 2 3 m 15 0 m m 20 0 m 5 + Với m 4 : x 1 2 1  Phương trình (1) trở thành: 4x 6x 2 0 1 S1 1;  x 2 2 x 1 2 1  Phương trình (2) trở thành 2x 3x 1 0 1 S2 1;  S1 x 2 2 STUDY TIP Vậy hai phương trình tương đương. Với câu hỏi trắc + Với m 5 : nghiệm ta có thể thử từng đáp án. 7 2 x 7  Phương trình (1) trở thành: 5x 12x 7 0 5 T1 ;1 5  x 1 10 2 x 10  Phương trình (2) trở thành: 7x 3x 10 0 7 T2 ;1 7  x 1 Vậy T1 T2 Hai phương trình không tương đương. Vậy m 4 thỏa mãn đề bài. | 10
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Đáp án C. Ví dụ 10: Cho phương trình 2x2 x 0 . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho: x A. 2x 0 B. 4x3 x 0 1 x 2 C. 2x2 x x 5 2 0 D. 2x3 x2 x 0 Lời giải STUDY TIP x 0 Phương trình (2) là 2 1  Giải phương trình 2x x 0 1 Tập nghiệm S0 0;  phương trình hệ quả x 2 2 của phương trình (1) nếu tập nghiệm của Ta xét các đáp án: phương trình (2) x 1 chứa tập nghiệm của x 0 x 1 x 0 x 0 - Đáp án A: 2x 0 1 phương trình (1). 1 x 2x 1 x x 0 1 x x 2 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 0;   S0 2 STUDY TIP Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Phương trình x 0 2 2 3 1 1  f x g x 0 - Đáp án B: 4x x 0 1 S2 0; ;  S2  S0 x 2 2 2 f x 0 Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. g x 0 2 2 2 2 2 2x x 0 2x x 0 - Đáp án C: 2x x x 5 0 vô nghiệm x 5 0 x 5 S3  S2  S0 Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. | 11
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 1  - Đáp án D: Giải phương trình ta có: S4 1;0;   S0 2 Đáp án C. Dạng 3 Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số - Kiến thức cần nhớ + f x 0 Đồ thị của hàm số y f x nằm phía trên trục hoành. + f x 0 Đồ thị của hàm số y f x nằm phía dưới trục hoành. + f x g x Đồ thị hàm số y f x nằm trên đồ thị hàm số: y g x . Ví dụ 1: Cho parabol y f x có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f x 3 có điều kiện xác định là: x 1 x 1 A. B. C. D. 1 x 4 x ¡ x 4 x 4 Lời giải STUDY TIP Điều kiện: f x 0 nhìn đồ thị ta thấy: 1 x 4 thì đồ thị nằm phía trên trục Đồ thị y f x mà hoành hay hàm cho f x 0 . f x 0 là những giá Đáp án C. trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành. | 12
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình f x 0 xác định trên khoảng 1;4 . B. Phương trình f x 0 xác định trên đoạn 2;4 . 1 C. Phương trình 0 xác định trên khoảng 1;2 . f x 1 D. Phương trình xác định trên khoảng 0;4 . f x Lời giải Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x 1;2 Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình f x x 1 0 xác định trên tập nào sau đây? A. 1;3 B.  2;1C. D.  2;3 0; Lời giải Ta thấy đường thẳng: y x 1 đi qua các điểm 2; 1 ; 1;2 và 3;4 . Từ điều kiện của phương trình là: f x x 1 ta thấy trên đoạn 1;3 . Đồ thị y f x nằm phía trên đường thẳng y x 1 nên với x 1;3 thì f x x 1. Đáp án A. | 13
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Ví dụ 4: Cho parabol y f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình 2 f x 0 là: A. x 0;4 \ 2 B. x 0;4 C. x D.  2;2 x 0;2 Lời giải Đồ thị y f x như hình bên. Khi đó điều kiện: 2 f x 0 f x 2 x 0;4 . Đáp án B. Ví dụ 5: Cho hàm y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình m f x 0 xác định trên  1;1 . A. 5B. 1C. 3D. 4 Lời giải Đồ thị y f x như hình vẽ: m f x x  1;1 m 3 m 3 . Đáp án C. | 14
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình 1 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng C. ; D.  1; 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 82 Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x 2 6 2x 0 là: 2x 3 2 1 2 là: x 1 x 1 A. 2; B. ;2 A. D ¡ \ 1 B. D ¡ \ 1 C. ¡ \ 2;2 D. 2 x 3 C. D \ 1 D. D ¡ ¡  Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình: x 2 7x2 5x là: 1 3 4 x2 4x 3 7 2x là: x 2 x 2 x2 4 7 7  A. 2; \ 3 B. ¡ \ 1;3;  A. 2; B. ¡ \ 2;2 2 2 C. ;2 D. 2;2 7 7 C. 2; D. 2; \ 3 2 2 Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình: Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình x 3 4 là x 1 x 1 x 2 x2 5 x 2 0 là: 7 x A. ¡ \ 1;1; 2 B. ¡ \ 1;1;2 A. 2; B. 7; C. 1; D. 2; C. 2;7 D. 2;7 Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình: 1 Câu 9: Cho đường thẳng y f x có đồ thị x2 1 0 là: x như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của 1 A. x 0 B. và x 0 x2 1 0 phương trình g x là: f x C. x 0 D. x 0 và x2 1 0 Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình 2x 1 4x 4 thuộc tập nào sau đây? 1 1 A. ; B. ; 2 2 | 15
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 A. x 1 B. x 0 C. x 0 D. x 1 1 Khi đó phương trình 2 xác Câu 10: Cho parabol y f x có đồ thị như f x x2 1 hình vẽ: định trên tập nào sau đây? A. ; 2 B. 2;0 C. 0;2 D. 1;2 Phương trình f x 0 có điều kiện là: x 1 A. B. 1 x 3 x 3 C. x 0 D. x 2 Câu 11: Cho parabol y f x như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình: f x 2 0 là: x 1 x 0 A. B. C. x 2 D. x 2 x 3 x 4 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ: | 16
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình §2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất A. Lý thuyết Giải biện luận phương trình ax b 0 : b + Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x . a + Nếu a 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu a 0 và b 0 thì phương trình có nghiệm x ¡ . B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Giải biện luận phương trình Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: m2 x 1 2 mx 2 có nghiệm dyu nhất là nghiệm nguyên? A. 1B. 2C. 3D. 4 STUDY TIP Phương trình Lời giải ax b 0 có nghiệm Phương trình m2 2m x m2 4 m m 2 x m 2 m 2 duy nhất khi a 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m 0 và m 2 m 2 2 m 1 Khi đó nghiệm duy nhất là: x 1 là nghiệm nguyên m m m 2 Có 4 giá trị của m. Đáp án D. STUDY TIP Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vô nghiệm. Phương trình 4 p2 2 x 1 2 p x . ax b 0 hay 1 1 phương trình ax b A. p 2 B. C.p D. p 1 p 2 2 a 0 vô nghiệm b 0 | 17
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với 4 p2 1 x 1 2 p 2 p 1 2 p 1 x 2 p 1 1 p 2 2 p 1 2 p 1 0 1 1 Phương trình vô nghiệm p p 2 p 1 0 2 2 1 p 2 Đáp án B. Ví dụ 3: Cho phương trình m2 x 6 4x 3m . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m 2 B. C.m 2 D. m 2 m 2 Lời giải Viết lại phương trình: m2 4 x 3m 6 Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi: 2 m 2 m 4 0 m 2 m 2 3m 6 0 m 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m 2 . Đáp án A. 2 Ví dụ 4: Cho hai hàm số: y m 1 x 2 và y 3m 7 x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau. A. m 2 B. và m 2 m 3 C. m 3 D. và m 2 m 3 Lời giải | 18
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình: m 1 2 x 2 3m 7 x m có nghiệm duy nhất 2 m 3 m2 m 6 x m 2 có nghiệm duy nhất m m 6 0 m 2 Đáp án B. Ví dụ 5: Cho hai hàm số y m 1 x 1 và y 3m2 1 x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau. 2 2 A. m 1,m B. và m 1 m 3 3 2 C. m 1 D. m 3 STUDY TIP Lời giải Phương trình Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình: ax b 0 có vô số 2 a 0 m 1 x 1 3m 1 x m có vô số nghiệm nghiệm b 0 2 2 3m m 2 0 3m m 2 x 1 m vô số nghiệm m 1 . 1 m 0 Đáp án C. Dạng 2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp: | 19
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Dùng tính chất: B 0 A B + A B B 0 A B A B + A B A B Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình 2x m 2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m 4 phương trình đã cho có nghiệm. m 4 phương trình đã cho vô nghiệm. B. Phương trình đã cho luôn có nghiệm m . C. Phương trình đã cho vô nghiệm m . D. m 4 phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải STUDY TIP x 2 2 x 0 m 2 A B 2x m 2 x x Phương trình đã cho 3 A B A B 2 x 0 x 2 2x m x 2 x m 2 m 2 +) 2 m 4 3 +) m 2 2 m 4 m 2 x Vậy m 4 phương trình có 2 nghiệm 3 . x m 2 | 20
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình m 4 phương trình vô nghiệm. Đáp án A. Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: mx 2 2x m . Khi đó kết luận nào sau đây là đúng? m 2 2 m A. m 3 phương trình có 2 nghiệm x ; x . 1 m 3 2 3 m m 3 phương trình đều có nghiệm x 0 . m 2 2 m B. m 2 phương trình có 2 nghiệm x ; x . 1 m 2 2 2 m m 2 phương trình vô nghiệm. m 2 C. m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 m 2 phương trình vô nghiệm. m 2 m 2 2 m D. phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 . m 2 m 2 2 m m 2 phương trình có nghiệm x 0 . m 2 phương trình có nghiệm x 0 . Lời giải mx 2 2x m 1 Phương trình đã cho tương đương với mx 2 2x m 2 - Giải (1): 1 m 2 x m 2 m 2 + Với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 + Với m 2 ta có phương trình 0x 4 , phương trình vô nghiệm. - Giải (2): 2 m 2 x 2 m | 21
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 2 m + Với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x . m 2 + Với m 2 phương trình 0x 4 , phương trình vô nghiệm. Kết luận: m 2 m 2 2 m + phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 . m 2 m 2 2 m + m 2 phương trình (1) vô nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm x 0 . + m 2 phương trình (2) vô nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm x 0 . Đáp án D. Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 1 x m (1). A. m 1 B. m 1 C. D.m không ¡ tồn tại m Lời giải Cách 1: Ta thấy nếu x0 là nghiệm thì 1 x0 cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để 1 phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x 1 x x 0 0 0 2 1 Thay x vào phương trình (1) ta được m 1 . 0 2 - Với m 1 phương trình (1) trở thành: x 1 x 1 1 Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm x 0, x 1, x . 2 Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất. Cách 2: Ta vẽ đồ thị y x 1 x ta có bảng xét dấu: | 22
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình x 0 1 x x 0 x x 1 x x 1 1 x 1 x 0 y 1 2x 1 2x 1 2x 1 khi x 1 Vậy y 1 khi 0 x 1 1 2x khi x 0 Ta có đồ thị như hình bên ta thấy m thì đường thẳng y m không thể cắt đồ thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) không có nghiệm duy nhất. Đáp án D. Dạng 3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu mx m 3 Ví dụ: Tìm m để phương trình: 1 (1) có nghiệm. x 1 3 A. m 1 B. và m 1 m 2 3 3 C. m D. hoặc m 1 m 2 2 Lời giải Điều kiện xác định của phương trình: x 1 . Khi đó phương trình (1) mx m 3 x 1 m 1 x m 4 (2) m 4 - Với m 1 phương trình (2) có nghiệm duy nhất x nó là nghiệm của 1 m 1 (1). m 4 3 Khi 1 m 4 m 1 2m 3 m m 1 2 | 23
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 - Với m 1 phương trình (2) vô nghiệm (1) vô nghiệm. m 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi 3 m 2 Đáp án B. | 24
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 6: Cho phương trình x m x 1 . Xem đáp án chi tiết tại trang 129 Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để A. m 1 phương trình có nghiệm x ¡ . 2 m 1 phương trình: m 4 x 3m 6 vô nghiệm. m 1 phương trình có 1 nghiệm x . 2 A. m 1 B. m 2 B. m 1 phương trình đã cho có tập nghiệm C. m 2 D. m 2 ¡ . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy m để phương trình: mx m 0 vô nghiệm. nhất. A. m  B. m 0 C. m 1 vô nghiệm. C. m ¡ D. m ¡ m 1 phương trình có nghiệm x ¡ . Câu 3: Tìm m để phương trình: D. m 1 phương trình vô nghiệm. 2 2 phương trình có nghiệm duy nhất m 5m 6 x m 2m vô nghiệm. m 1 m 1 x . A. m 1 B. m 2 2 C. m 3 D. m 6 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 1 1 Câu 4: Tìm a để phương trình: phương trình: x 1 x x m có nghiệm. 2 2 x 1 a có nghiệm. x 3 x 3 A. m 1 B. m 1 C. m 1D. m 1 A. a 2 B. a 2 Câu 8: Biểu diễn hình học tập nghiệm của C. a ¡ D. a 1 phương trình x y 1 là: Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương m 1 x m 2 A. Hình vuông cạnh bằng 2 trình m có nghiệm. x 3 B. Đường tròn tâm O bán kính bằng 1 A. m 1 B. m 1 C. Hai đường thẳng y x 1 5 5 C. m D. m D. Hình vuông cạnh bằng 1 2 2 | 25
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 §3. Phương trình bậc hai và quy về bậc hai A. Lý thuyết 1. Giải biện luận phương trình: ax2 bx c 0 a 0 Ta có: b2 4ac . + 0 : phương trình vô nghiệm. b + 0 : phương trình có nghiệm kép x . 2a b b + 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x . 2a 2a 2. Định lí Vi-et 2 Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có 2 nghiệm x1; x2 thì b S x x 1 2 a c P x x STUDY TIP 1 2 a Trong trường hợp x y S phương trình có 2 Nếu hai số x, y mà thì x, y là nghiệm của phương trình t 2 St P 0 x.y P nghiệm trái dấu ta 2 không cần điều kiện (với S 4P ). c c 0 vì 0 nên 3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x 0 x 0 a 1 2 a phương trình luôn có a 0 2 nghiệm. 0 4. Phương trình có 2 nghiệm dương 0 x1 x2 P 0 S 0 a 0 0 5. Phương trình có 2 nghiệm âm x1 x2 0 P 0 S 0 | 26
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Xác định tham số biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn  10;10 để phương trình x2 x m 0 vô nghiệm? A. 9B. 10C. 11D. 20 Lời giải 1 Phương trình đã cho vô nghiệm khi 1 4m 0 m 4 Vì m  10;10,m ¢ nên m 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 , có 10 phần tử thỏa mãn. Đáp án B. Ví dụ 2: Phương trình m 2 x2 2x 1 0 có nghiệm kép thì: m 1 A. B. C.m 1 D. m 2 m 1 m 2 STUDY TIP Lời giải Phương trình m 2 0 m 2 Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: m 1 . ax2 bx c 0 có ' m 1 0 m 1 nghiệm duy nhất xảy Đáp án B. ra ở 1 trong 2 trường hợp sau: Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 6 4x 3m có nghiệm duy nhất. + TH1: a 0 , A. m  B. C.m 0 D. m ¡ m 0 phương trình bx c 0 có nghiệm Lời giải duy nhất. 2 Viết lại phương trình: mx 4x 6 3m 0 + TH2: a 0, 0 3 hoặc ' 0 - Với m 0 : Khi đó phương trình có dạng 4x 6 0 x là nghiệm. 2 | 27
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 - Với m 0 : Ta có ' 2 2 m 6 3m 3m2 6m 4 3 m 1 2 1 0 m . Khi đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 0 . Vậy m 0 thỏa mãn. Đáp án B. Ví dụ 4: Phương trình m 1 x2 6x 1 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 A. m 8 B. m 4 5 C. m 8 và m 1 D. và m m 1 4 Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi: m 1 0 m 1 m 1 ' 0 m 8 0 m 8 Đáp án C. Dạng 2 Dấu của nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ 1: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: 0 0 0 0 A. B. C. D. P 0 P 0 S 0 S 0 Lời giải STUDY TIP Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 . ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1; x2 . biệt cùng dấu: Do x1; x2 cùng dấu nên x1.x2 0 hay P 0 . 0 Đáp án B. P 0 | 28
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Ví dụ 2: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: 0 0 0 0 A. B. C. P 0 D. P 0 P 0 S 0 S 0 S 0 STUDY TIP Lời giải ĐK để phương trình Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: có 2 nghiệm âm phân 0 0 biệt: x1 x2 0 S 0 x .x 0 P 0 0 1 2 P 0 Đáp án C. S 0 Ví dụ 3: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: 0 0 A. B. C. D. P 0 P 0 S 0 S 0 Lời giải Giả srw phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì x1.x2 0 P 0 . c Khi đó P 0 a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân STUDY TIP a biệt. ĐK để phương trình có 2 nghiệm dương Đáp án C. phân biệt: Ví dụ 4: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2;6 để 0 phương trình x2 4mx m2 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần P 0 tử của S bằng: S 0 A. 3 B. 2C. 18D. 21 | 29
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Lời giải Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi: ' 0 3m2 0 m 0 S 0 4m 0 S 2; 1 m 0 2 P 0 m 0 Vậy tổng các phần tử của S là 3 . Đáp án A. Ví dụ 5: Phương trình m 1 x2 3x 1 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m 1 B. C. m 1 D. m 1 m 1 Lời giải Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: m 1 0 a 0 m 1 1 m 1 P 0 0 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2m 1 x m2 m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 1 . 3 A. m 2 B. C. m D. m 1 m 1 2 Lời giải Trước hết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi: 2m 1 2 4 m2 m 0 4m2 4m 1 4m2 4m 0 1 0 luôn đúng Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1x2 m m | 30
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Để x1; x2 thỏa mãn x1 x2 1 x1 1 x2 1 0 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 STUDY TIP Điều kiện: x1 1 x2 1 0 x1 x2 2 0 x1 x2 1 2 2 m 3m 2 0 x1 1 x2 1 0 m m 2m 1 1 0 3 2m 1 2 0 m ta đi so sánh hai số 2 với nhau. m 1 0 m 2 0 3 m 1 m 2 0 m 2 m 2 3 m 2 m 1 0 m 2 0 3 m 2 Đáp án A. Ví dụ 7: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2m 1 x m2 m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 2 x2 . m 2 A. m 2 B. C. m 3 D. 2 m 3 m 3 Lời giải STUDY TIP Trước hết phương trình đã cho phải có 2 nghiệm 0 1 0 thỏa mãn m. Việc so sánh x1, x2 Để x1; x2 thỏa mãn x1 2 x2 x1 2 0 x2 2 ta đi so sánh hai số x1 2 với 2 số ta đưa về so và x2 2 với số 0. sánh 2 số x1 2 và Vậy điều kiện là: x1 2 x2 2 0 x1x2 2 x1 x2 4 0 x2 2 với số 0. x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1.x2 m m | 31
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 m2 m 2 2m 1 4 0 m2 5m 6 0 m 2 0 m 3 0 m 2 m 3 0 2 m 3 m 2 0 m 3 0 Đáp án C. Dạng 3 Định lí Vi-et và những bài toán về phương trình bậc hai Ví dụ 1: Giả sử phương trình x2 3x m 0 (m là tham số) có hai nghiệm là 2 2 x1; x2 . Tính giá trị của biểu thức P x1 1 x2 x2 1 x1 theo m. A. P m 9 B. P 5m C. 9 PD. m 9 P 5m 9 Lời giải STUDY TIP Ta có: P x2 1 x x2 1 x 2 2 1 2 2 1 x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x1 x2 x2 x1x2 x1 x2 2x1x2 x1x2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 3 Theo định lí Vi-et ta có: thay vào P ta được: x1.x2 m P 32 2 m m .3 5m 9 . Đáp án B. 2 Ví dụ 2: Giả sử phương trình 2x 4ax 1 0 có hai nghiệm x1; x2 . Tính giá trị của biểu thức T x1 x2 . 4a2 2 a2 8 a2 8 A. T B. T 4a2 C.2 T D. T 3 2 4 Lời giải STUDY TIP Vì a và c trái dấu nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . x x 2 1 2 Theo định lí Vi-et ta có: x x 2 4x x 1 2 1 2 | 32
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình x1 x2 2a 2 2 2 2 1 2 1 và T x1 x2 x1 x2 4x1x2 4a 4 4a 2 0 x .x 2 1 2 2 T 4a2 2 0 Đáp án B. 2 2 Ví dụ 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2m 1 x m 1 0 . x x Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P 1 2 có giá trị nguyên. x1 x2 STUDY TIP A. m 2 B. C.m 1 D. m 1 m 2 Trong lời giải bên ta Lời giải nhân 2 vế của P ở đẳng thức (1) với 4 Ta có 2m 1 2 4m2 4 4m 3 để 2m 1 luôn là 3 Để phương trình có hai nghiệm thì 0 m số nguyên với m 4 nguyên. x x 2m 1 Theo định lí Vi-et ta có: 1 2 2 x1x2 m 1 2 x1x2 m 1 2m 1 5 1 5 Khi đó P 2m 1 (1) x1 x2 2m 1 4 4 2m 1 4 2m 1 5 3 5 4P 2m 1 ;m 2m 1 2m 1 4 2 P ¢ thì 2m 1 là ước của 5 2m 1 5 m 2 Thử lại với m 2 P 1 thỏa mãn. Đáp án D. | 33
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 2 2 Ví dụ 4: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2mx m 2 0 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x1x2 x1 x2 4 . 1 25 9 A. P B. P C. 2 D. P P max 2 max max 4 max 4 Lời giải Ta có: ' m2 2 m2 2 m2 4 Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: STUDY TIP ' 4 m2 0 m2 4 2 m 2 b x x x x m 1 2 a 1 2 Theo định lí Vi-et ta có: m2 2 c x x x x 1 2 1 2 a 2 2 Khi đó: P 2x1x2 x1 x2 4 m 2 m 4 m2 m 6 m 2 m 3 m 2 m 3 2 2 1 25 25 m m 6 m 2 4 4 25 1 Do 2 m 2 P khi m  2;2 . max 4 2 Đáp án C. 2 Ví dụ 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x mx m 1 0 . Tìm m để 2x1x2 3 biểu thức P 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 x2 2 x1x2 1 1 5 A. m B. C. m 1 D. m 2 m 2 2 Lời giải Ta có m 2 2 0m . | 34
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình STUDY TIP Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm. 2x x 3 2m 1 Lời giải bên ta đã trừ P 1 2 (1) 2 m2 2 hai vế của (1) cho số x1 x2 2x1x2 2 x1x2 1 1 đưa về hằng đẳng 2 2 2 2m 1 2m 1 m 2 m 1 thức m 1 để đánh P 1 1 0m ¡ m2 2 m2 2 m2 2 giá dễ dàng hơn. P 1 Vậy Pmax 1 khi m 1 0 m 1 . Đáp án B. Dạng 4 Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước 2 Ví dụ 1: Giả sử phương trình: ax bx c 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Khi đó hệ thức nào sau đây là điều kiện để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại? A. k 1 2 ac kb2 0 B. k 1 2 ac kb2 0 C. k 1 2 ac kb2 0 D. k 1 2 ac kb2 0 Lời giải b STUDY TIP x x 1 2 a Theo định lí Vi-et ta có: Phương trình bậc hai c x x có nghiệm này bằng k 1 2 a lần nghiệm kia thì 2 2 2 Khi đó: P x1 kx2 x2 kx1 x1x2 k x1 x2 k x1x2 x1 kx2 x kx 2 2 2 2 1 2 k 1 ac kb 2 c b c 2 c x1x2 k x1 x2 2x1x2 k x1x2 k 2 2 k 2 a a a a a | 35
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 2 2 x1 kx2 0 Nếu k 1 ac kb 0 thì một trong hai thừa số của P là hay x2 kx1 0 nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. Đáp án B. Ví dụ 2: Cho phương trình: m 1 x2 2 m 1 x m 2 0 . Xác định m để STUDY TIP phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4 x1 x2 7x1x2 . PT: ax2 bx c 0 A. m 6 B. C.m 1 D. m 2 m 5 a 0 có 2 nghiệm x1; x2 thì: Lời giải b m 1 0 x1 x2 a Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 2 ' m 1 m 1 m 2 0 c x1x2 a m 1 1 m 3 3 m 0 2 m 1 x1 x2 m 1 Khi đó phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 m 2 x x 1 2 m 1 2 m 1 m 2 4 x x 7x x 4. 7. 8m 8 7m 14 m 6 . 1 2 1 2 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 3: Cho hai phương trình x2 ax bc 0 (1) và x2 bx ca 0 (2). Giả sử a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c 0 nếu phương trình (1) và phương trình (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của hai phương trình trên là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. x2 cx ab 0 B. x2 cx ab 0 C. x2 cx ab 0 D. x2 cx ab 0 Lời giải | 36
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình 2 x0 ax0 bc 0 Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x khi đó: 0 2 x0 bx0 ca 0 Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta có: a b x0 c 0 x0 c (vì a b ) x0 x1 a x1 b; x0 c Phương trình (1) có nghiệm x1; x0 nên ta có: x0 x1 bc c a b x0 x2 b x2 a; x0 c Phương trình (2) có nghiệm x0 ; x2 nên ta có: x0 x2 ca c a b x1 x2 a b c Vậy ta được x1x2 ab 2 Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình: x cx ab 0 (3) Và phương trình (3) có c2 4ab a b 2 4ab a b 2 0a b Đáp án B. Dạng 5 Các phương trình quy về bậc hai Phương pháp: 1. ax2 bx2 c 0 : Đặt t x2 ,t 0 . STUDY TIP 2 Phương trình: 2. a. P x b.P x c 0 : Đặt t P x . 4 4 x a x b 3. x a x b x c x d e,a d b c : Đặt t x a x d . c 0 4 3 2 2 1 a b 4. ax bx cx bx a 0 : Chia cho x 0 , đặt t x . nếu đặt t x x 2 4 4 a b thì phương trình thu 5. x a x b c 0 : Đặt t x . 2 được luôn là phương trình bậc 4 trùng 6. a. f x b f x c 0 : Đặt t f x . phương. 7. a. f x b.g x c f x .g x + Xét g x 0 . | 37
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 + Với g x 0 , chia hai vế cho g x ta có phương trình: f x f x f x a. b c . Đặt t . g x g x g x Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: x 1 4 x 3 4 256 . A. 2 B. 1C. 2D. 0 Lời giải 1 3 Đặt y x hay y x 1 x y 1 , ta có phương trình: 2 y 2 4 y 2 4 256 2y4 48y2 224 0 2 2 t 4 Đặt y t 0 , phương trình trở thành: 2t 48t 224 0 t 28 l 2 y 2 x 1 Với t 4 y 4 Tổng các nghiệm là 3 1 2 . y 2 x 3 Đáp án A. 1 Ví dụ 2: Cho phương trình x4 3x3 4x2 3x 1 0 . Đặt t x ta được x phương trình nào sau đây? A. t 2 3t 2 0 B. t 2 3t 2 0 C. t 2 3t 2 0 D. t 2 t 2 0 Lời giải Với x 0 không là nghiệm. x 0 chia 2 vế cho x2 ta được phương trình: 2 3 1 2 1 1 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x x | 38
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình 1 1 1 Đặt x t x2 2 t 2 x2 t 2 2 ta có phương trình: x x2 x2 2 2 STUDY TIP t 2 3t 4 0 t 3t 2 0 1 Đáp án B. t x thì x Ví dụ 3: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: 1 x2 t 2 2 x2 x 1 x 2 x 3 x 4 3 . 5 5 A. B. 5C. D. 5 2 2 Lời giải STUDY TIP Phương trình x 1 x 4 x 2 x 3 3 x2 5x 4 x2 5x 6 3 Trong phương trình ta nhóm Đặt: x2 5x y ta có phương trình: x 1 x 4 và 2 y 3 x 2 x 3 để sau y 4 y 6 3 y 10y 21 0 y 7 khi nhân ra ta được những biểu thức 5 13 x1 2 2 giống nhau là + Với y 3 x 5x 3 0 2 5 13 x 5x x2 2 + Với y 7 x2 5x 7 0 vô nghiệm. Vậy tổng x1 x2 5 . Đáp án C. Ví dụ 4: Phương trình x2 x2 11 31 có bao nhiêu nghiệm? A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Đặt x2 11 t,t 0 ta có phương trình: | 39
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 x2 11 x2 11 11 31 0 trở thành t 2 t 42 0 có nghiệm t 6 x2 11 6 x2 25 x 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án B. Ví dụ 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình: x 5 2 x 3 x2 3x . 3 3 A. 3B. C. D. 3 2 2 Lời giải x 3 ĐKXĐ: . Khi đó phương trình đã cho tương đương với: x 0 x2 3x 10 3 x2 3x 0 x2 3x 3 x2 3x 10 0 2 2 t 5 l Đặt x 3x t,t 0 ta có phương trình: t 3t 10 0 t 2 2 2 x 1 x 3x 2 x 3x 4 0 x 4 Vậy tổng các nghiệm bằng 3 . Đáp án B. x x 1 Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình: 2 3 là: x 1 x A. vô nghiệmB. 1C. 2D. 4 Lời giải ĐKXĐ: x 1 hoặc x 0 x 1 Đặt t,t 0 ta có phương trình: x | 40
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình t 1 l 1 3 2 2 2 2t 3 0 2t 3t 1 0 t 1 2t t 1 0 1 t t 2 1 x 1 1 x 1 1 4 Với t 4x 4 x 3x 4 x 2 x 2 x 4 3 (TMĐK) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. Đáp án B. 2 3 x 1 Ví dụ 7: Cho phương trình: 2 x 2 5 x 1 . Đặt t 2 ;t 0 ta có x x 1 phương trình nào sau đây? A. t 2 5t 2 0 B. t 2 5t 2 0 C. 2t 2 5t 2 0 D. 2t 2 5t 2 0 STUDY TIP Lời giải 3 2 2 2 x3 1 Để ý x 1 x 1 x x 1 nên ta tách: 2 x 2 a x 1 b x x 1 2 x 1 x x 1 bằng cách đồng nhất hệ số và ta được: 2 x2 2 2 x 1 2 x2 x 1 Điều kiện: x 1 Ta có: 2 x2 2 5 x3 1 2 x 1 2 x2 x 1 5 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 Chia hai vế cho x2 x 1 0 ta được: 2. 2 5 x2 x 1 x2 x 1 x 1 Đặt t ta có phương trình: 2t 2 5t 2 0 . x2 x 1 Đáp án C. | 41
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Ví dụ 8: Cho phương trình: x 3 6 x x 3 6 x 3 Đặt t x 3 6 x ta được phương trình nào sau đây? A. t 2 2t 1 0 B. t 2 2t 3 0 C. 2t 2 t 1 0 D. t 2 2t 3 0 Lời giải ĐKXĐ: 3 x 6 Đặt t x 3 6 x t 2 9 2 x 3 6 x t 2 9 x 3 6 x thay vào phương trình đã cho ta có: 2 t 2 9 t 3 2t t 2 9 6 t 2 2t 3 0 . 2 Đáp án D. Ví dụ 9: Cho phương trình: 7x 7 7x 6 2 49x2 7x 42 181 14x và t 7x 7 7x 6 , khi đó t nhận giá trị nào sau đây? A. 19B. 13C. 11D. 27 Lời giải 6 ĐKXĐ: x 7 Ta có: 49x2 7x 42 7x 7 7x 6 Khi đó: t 2 14x 1 2 49x2 7x 42 t 2 1 14x 2 49x2 7x 42 Thay vào phương trình đã cho ta có: 2 2 t 14 l t t 1 181 t t 182 0 t 13 | 42
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Đáp án B. Ví dụ 10: Cho phương trình: x 1 3 x x 1 3 x n . Tìm tất cả các giá trị của n để phương trình đã cho có nghiệm. A. n 2 2 2;2 B. n 2 C. n 2 D. n 2 2 2 Lời giải ĐKXĐ: 1 x 3 . STUDY TIP Đặt: t x 1 3 x t 2 4 2 x2 2x 3 Phương trình: Xét f x x2 2x 3 trên 1;3 2 t 2 2 t 2 2t 2n 4 0   2 t 2 4 t 2t 4 2n Khi đó: x 1 3 x x2 2x 3 phương trình đã cho trở thành: 2 Lập bảng biến thiên t 2 4 cho hàm số t n 2 g t t 2 2t 4 ta 2t t 2 4 2n t 2 2t 2n 4 0 có ' 5 2n . cũng tìm được n. 5 t 1 5 2n Nếu ' 5 2n 0 n thì phương trình có 2 nghiệm 1 2 t2 1 5 2n - Với t2 1 5 2n (không thỏa mãn). - Với t1 1 5 2n (thỏa mãn) thì: 1 5 2n 2 2 2 2 2 n 2 Đáp án A. Ví dụ 11: Cho phương trình: mx4 2 m 3 x2 4m 0 (1). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 3 m 1 A. 3 m 1 B. C. 3 m D. 0 m 0 m 0 | 43
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 Lời giải Đặt x2 t,t 0 ta có phương trình: mt 2 2 m 3 t 4m 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương m 0 m 0 2 2 m 3 4m 0 m 0 ' 0 phân biệt 2 m 3 3 m 1 m 3 0 S 0 0 m m 0 P 0 4 0 m 3 m 0 3 m 1 3 m 0 m 0 m 3 Đáp án C. Ví dụ 12: Tìm m để phương trình: 2x2 2mx 1 3 2x3 x có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của mthỏa  0mãn.;20 A. 10B. 11C. 21D. 20 Lời giải ĐKXĐ: x 0 STUDY TIP Phương trình 2mx 2x2 1 3 2x3 x Bảng biến thiên của Ta thấy x 0 không là nghiệm. hàm số y ax2 bx c 1 1 Với x 0 , phương trình 2m 2x 3 2x a 0 x x 1 1 3 Đặt t 2x ,t 2 2 4 8 ta có phương trình: m t 2 t x 2 2 | 44
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Vì mỗi t 4 8 thì có 2 nghiệm x nên bài toán trở thành tìm m để phương trình 1 3 m t 2 t có một nghiệm lớn hơn 4 8 . 2 2 1 3 Xét hàm số g t t 2 t 2 2 Bảng biến thiên: t 4 8 g t 1 8 34 8 2 1 Vì 8 34 8 1,1 nên m 1;0;1;2;  2 Vì m 0;20 nên có 21 giá trị của m thỏa mãn. Đáp án C. | 45
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng m 2 C. 17 D. m 1 Xem đáp án chi tiết tại trang 130 m 8 Câu 1: Phương trình Câu 6: Phương trình ax2 bx c 0 a 0 m 1 x2 2mx m 2 0 vô nghiệm khi: có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: A. m 2 B. m 2 0 C. m 2 D. m 2 0 A. B. P 0 P 0 Câu 2: Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương S 0 trình 2x kx 4 x2 6 0 vô nghiệm là: 0 0 A. k 1 B. k 1 C. k 2 D. k 3 C. P 0 D. S 0 S 0 Câu 3: Phương trình mx2 2 m 1 x m 1 0 có nghiệm duy Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham nhất khi: số m thuộc đoạn  5;5 để phương trình A. m 0 B. m 1 x2 4mx m2 0 có hai nghiệm âm phân biệt. m 0 A. 5B. 6 C. 10D. 11 C. D. m 1 m 1 Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham Câu 4: Phương trình số m để phương trình 2 2 2 x 2 m 1 x m 1 0 có hai nghiệm m 1 x 6 m 1 x 2m 3 0 có nghiệm kép khi: dương phân biệt là: A. m 1;1 B. m 1; m 1 A. m 1 B. 6 m 1 7 C. m ; D. m ; 1 2 6 6 C. m D. m Câu 9: Cho phương trình x2 px q 0 trong 7 7 đó p 0 , q 0 . Nếu hiệu các nghiệm của 2 Câu 5: Phương trình 2 x 1 x mx 1 có phương trình bằng 1, khi đó p bằng: nghiệm duy nhất khi: A. 4q 1 B. 4q 1 17 A. m B. m 2 8 C. 4q 1 D. q 1 | 46
Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Câu 10: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương Câu 14: Cho phương trình; trình x2 2 m 1 x m2 2 0 . Tìm m để x2 2 m 1 x m2 3m 4 0 . biểu thức P x1x2 2 x1 x2 6 đạt giá trị 2 2 Xác định m để biểu thức P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. nhỏ nhất. 1 A. m B. m 1 A. m 3 B. m 4 2 C. m 7 D. m 2 C. m 2 D. m 1 Câu 15: Giả sử phương trình x2 px q 0 ( Câu 11: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương p 0 , q 0 ) có các nghiệm x , x . Lập trình x2 mx m 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 phương trình bậc hai có các nghiệm của nó là 2x1x2 3 Pmin của biểu thức P 2 2 . x1 , x2 . x1 x2 2 x1x2 1 1 2 A. 2 B. C. 0D. 1 A. x p 2 q .x q 0 2 2 Câu 12: Giả sử các nghiệm của phương trình B. x p 2 q .x q 0 x2 px q 0 là lập phương các nghiệm của C. x2 p 2 q .x q 0 phương trình x2 mx n 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? D. x2 p 2 q .x q 0 3 3 A. p q m B. p m 3mn Câu 16: Xác định các giá trị của m để phương 3 trình x 2 x2 2 m 1 x m2 5 0 có 3 3 m p C. p m 3mn D. n q nghiệm dương phân biệt. Câu 13: Cho phương trình: A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 2 x2 2 m 1 x m2 3m 4 0 Câu 17: Cho phương trình: Xác định m để phương trình có hai nghiệm 2 1 1 x 2 1 3m x 3m 0 x x phân biệt x1, x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Tìm m để phương trình có nghiệm x 0 . A. m 2 B. m 3 m 0 m 0 A. 3 B. 4 m 5 m 4 m m C. D. 4 3 m 3 m 7 | 47
Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 m 0 C. 4 D. m 0 m 3 Câu 18: Tìm m để phương trình: mx4 2 m 3 x2 4m 0 có đúng 3 nghiệm. A. không tồn tại mB. m 0 C. m 0 D. m 0 Câu 19*: Cho phương trình: 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm. 1 A. m 1 B. m 3 1 C. m 1 D. 1 m 3 Câu 20*: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 9 x x2 9x m có nghiệm. 9 A. 9 m 10 B. m 10 4 9 C. m 10 D. m 9 4 | 48
§4. Hệ phương trình A. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a1x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a1 b1 - Tính các định thức: D a1b2 a2b1 a2 b2 c1 b1 Dx c1b2 c2b1 c2 b2 a1 c1 Dy a1c2 a2c1 a2 c2 - Biện luận: D x x D + Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: D y y D + Nếu D 0 và Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ vô nghiệm. + Nếu D Dx Dy 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. (Khi đó thay tham số vào hệ ta sẽ kết luận cụ thể).
mx y m 1 Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất. Khi đó x my 2 tính x y ? m 3 m 2 A. m 1; x y B. m 1; x y m 1 m 1 C. m 1; x y 1 D. m 1; x y 0 STUDY TIP Lời giải Phương trình bậc hai 2 m 1 ax bx c 0 Ta có: D m2 1 m 1 m 1 1 m a 0 có 2 nghiệm 2 m 1 1 thì: ax bx c D m2 m 2 m 1 m 2 x 2 m a x x1 x x2 m m 1 D 2m m 1 m 1 y 1 2 m 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất D 0 m 1 Dx m 1 m 2 m 2 x D m 1 m 1 m 1 m 3 và nghiệm x y D m 1 1 m 1 y y D m 1 m 1 m 1 Đáp án A. Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng: d1 : m 1 x y 5 và d2 : 2x my 10 . Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 song song. A. m 1 B. C.m 1 D. m 2 m 2 Lời giải m 1 x y 5 Xét hệ phương trình: (*) 2x my 10 | 50
m 1 1 D m2 m 2 m 1 m 2 2 m 5 1 D 5 m 2 x 10 m m 1 5 D 10 m 2 y 2 10 D 0 d1 / /d2 Hệ phương trình (*) vô nghiệm Dx 0 m 1 . D 0 y Đáp án B. Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng d1 : 2x 3y 4 (1) d2 :3x y 1 (2) d3 : 2mx 5y m (3) Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây để d1,d2 ,d3 đồng quy tại một điểm? A. m ;1 B. m 1 ;C.9 mD. 9;20 m 20 Lời giải STUDY TIP 2x 3y 4 1 d ,d ,d đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình: 3x y 1 2 có d1,d2 ,d3 đồng quy 1 2 3 2mx 5y m 3 d3 đi qua giao nghiệm duy nhất. điểm của d1 và d2 x 1 Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: thay vào (3) ta tìm được m 10 y 2 . Đáp án C. Dạng 2 Hệ đối xứng loại I 1. Định nghĩa
Hệ đối xứng loại I là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi. f x, y 0 f x, y f y, x trong đó: g x, y 0 g x, y g y, x 2. Phương pháp giải tổng quát - Bước 1: Đặt điều kiện nếu có. - Bước 2: Đặt x y S; xy P S 2 4P + Đưa hệ về hệ mới chứa ẩn S, P + Giải hệ tìm S, P. Chọn S, P thỏa mãn S 2 4P . - Bước 3: Với S, P tìm thấy thì x, y là nghiệm của phương trình: X 2 SX P 0 3 3 x y 2 Ví dụ 1: Biết x0 ; y0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình . xy x y 2 Khi đó x0 y0 bằng: STUDY TIP A. 0B. 1C. 2D. 4 x2 y2 S 2 2P x3 y3 S 3 3PS Lời giải Đặt x y S, xy P ta có: x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS S 3 3PS 2 S 3 8 S 2 Khi đó ta có hệ: PS 2 PS 2 P 1 x, y là nghiệm của phương trình: X 2 SX P 0 X 2 2X 1 0 x0 1 X 1 x0 y0 2 y0 1 Đáp án C. | 52
x xy y a 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 2 2 x y xy a Xác định a để hệ có ít nhất một nghiệm x; y thỏa mãn x 0 và y 0 . 1 1 0 a a 2 a a 2 A. 4 B. C. D. 4 a 2 a 0 a 2 a 2 Lời giải S P a 1 Đặt x y S; x.y P ta có hệ phương trình: S.P a Khi đó S, P là nghiệm phương trình: 2 X 1 S 1 S a X a 1 X a 0 hoặc X a P a P 1 STUDY TIP S 2 4P Phương trình: Để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x 0, y 0 thì S 0 2 ax bx c 0 có 2 P 0 nghiệm khi và chỉ 1 4a 0 1 TH1: S 1, P a thì: 1 0 0 a khi: P 0 4 a 0 S 0 a2 4 a 2 TH2: S a, P 1 thì: 1 0 a 2 a 2 a 0 a 0 1 0 a Vậy 4 . a 2 Đáp án A. Dạng 3 Hệ đối xứng loại II 1. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi thay đổi x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ. Chú ý: Nếu x0 ; y0 là nghiệm của hệ thì y0 ; x0 cũng là nghiệm của hệ. 2. Phương pháp giải - Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi phương trình nhận được về phương trình tích số. - Kết hợp một phương trình tích với một phương trình của hệ để tìm nghiệm. 3 x 2x y 1 Ví dụ 1: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm? 3 y 2y x 2 A. 2B. 3C. 5D. Vô nghiệm Lời giải Trừ vế theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được: x y STUDY TIP x3 y3 x y x y x2 y2 xy 1 0 2 2 x y xy 1 0 Khi cộng vế với vế x 0 của 2 phương trình 3 - TH1: Với x y thế vào (1) ta có phương trình: x 3x 0 trong hệ đối xứng x 3 loại II ta luôn được một phương trình đối Hệ có nghiệm là 0;0 , 3; 3 , 3; 3 . xứng. - TH2: Với x2 y2 xy 1 0 . Kết hợp với tổng của hai phương trình (1) và (2) ta có hệ: 2 2 2 x y xy 1 0 x y xy 1 0 (là hệ đối xứng loại I) x3 y3 3 x y 3 x y 3xy x y 3 x y 2 S P 1 0 3 Đặt x y S, x.y P ta có hệ: 3 S 3PS 3S 0 4 | 54
Từ (3) ta có: P S 2 1 thế vào (4) ta được: 3 2 3 x y 0 S 3 S 1 .S 3S 0 2S 0 S 0 P 1 x.y 1 x, y là nghiệm của phương trình: X 2 1 0 X 1 Hệ có nghiệm x; y là 1; 1 , 1;1 . Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm. Đáp án C. Ví dụ 2: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 x y 4y ay 1 2 3 2 y x 4x ax 2 25 A. Không có giá trị nào của aB. a 4 25 C. a D. a 0 4 Lời giải STUDY TIP Do tính đối xứng nên: Nếu hệ có nghiệm x0 ; y0 thì cũng có nghiệm y0 ; x0 . Nếu x0 ; y0 là một Một điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0 y0 thế vào (1) ta được: nghiệm và y0 ; x0 x 0 cũng là nghiệm để hệ 2 3 2 2 0 x0 x0 4x0 ax0 x0 x0 5x0 a 0 2 có nghiệm duy nhất x0 5x0 a 0 3 thì điều kiện cần Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm x0 y0 kép x 0 . 25 - TH1: (3) vô nghiệm 25 4a 0 a 4 25 - TH2: (3) có nghiệm kép x 0 0 a 4 Khi đó x 0 không phải nghiệm kép.
25 Thử lại với a giải hệ thấy có nghiệm duy nhất. 4 Đáp án B. Dạng 4 Hệ đồng bậc x3 y3 1 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 2 2 3 x y 2xy y 2 x0 Gọi x0 ; y0 là nghiệm của hệ. Khi đó tất cả các tỉ số thuộc tập nào sau đây? y0 x 1  x 1  A. 0 1;1;  B. 0 1;  y0 2 y0 2 x x 1  C. 0 1;1 D. 0 1;  y0 y0 2 Lời giải Nhận xét ta thấy vế trái của hai phương trình đã cho đều bậc 3 với x và y còn vế phải là bậc 0 (hay hằng số) nên ta nhân chéo để đưa về phương trình đồng bậc. 3 3 STUDY TIP x y 1 2 Hệ phương trình 3 3 2 2 3 Phương trình (3) 2 x y x y 2xy y 3 trong lời giải là Với y 0 x 0 không là nghiệm. phương trình đẳng 3 2 cấp bậc 3 (là phương 3 x x x Với y 0 chia hai vế của (3) cho y ta được: 2 2 1 0 trình mà tất cả các y y y đơn thức của nó đều x 1  bậc 3) Giải phương trình bậc ba ta có: 1;1;  y 2 x + Với 1 x y thay vào (2) ta có: y3 y3 1 vô nghiệm. y x 1 + Với 1 x y thay vào (2) ta có: 2x3 1 x 3 y 2 | 56
x 1 3 1 + Với y 2x thay vào (2) ta có: 2x x3 1 9x3 1 x 3 y 2 9 x 1 y Tóm lại chỉ có: thỏa mãn. x 1 y 2 2 2 2x 3y x 3xy y 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: . Giả sử hệ có 2 2 x 2y x 2y 2 x0 nghiệm x0 ; y0 , x0 0 ,y0 0 thì tỷ số: là nghiệm của phương trình nào sau y0 đây? A. t3 2t 2 3t 4 0 B. 4t3 3t 2 2t 1 0 C. 4t 2 3t 1 0 D. 4t 2 3t 1 0 Lời giải STUDY TIP Nhận xét: Ta nói mỗi phương trình đều có một vế bậc nhất vế còn lại là bậc hai với x, y nên khi nhân vế với vế của hai phương trình ta được phương trình đồng Phương trình (1) có bậc: vế trái bậc 1, vế phải bậc 2. 2x 3y x2 2y2 x2 3xy y2 x 2y x3 2x2 y 3xy2 4y3 0 Phương trình (2) có Vì x 0, y 0 ta chia 2 vế cho y3 ta được phương trình: vế trái bậc 2, vế phải 3 2 bậc 1. x x x 2 3 4 0 y y y x 0 là nghiệm của phương trình: t3 2t 2 3t 4 0 y0 Đáp án A.
Dạng 5 Giải hệ bằng phương pháp thế Ví dụ 1: Biết cặp x0 ; y0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình: x4 2x3 y x2 y2 2x 9 2 x 2xy 6x 6 Khi đó tổng x0 y0 là: 1 25 1 1 A. B. C. D. 6 4 4 4 Lời giải STUDY TIP 2 2 4 3 2 2 x xy 2x 9 1 x 2x y x y Hệ phương trình 1 2 2 xy 6x 6 x 2 x2 xy 2 Thế xy ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: 2 2 1 2 1 2 2 x 0 x 6x 6 x 2x 9 6x 6 x 2x 9 2 4 x 4 + Với x 0 không thỏa mãn hệ. + Với x 4 thay vào (2) ta có: 1 17 17 1 4y 24 6 16 y x 4, y x y . 2 4 0 0 4 0 0 4 Đáp án D. 2 2 x 4y 8x 4y 15 0 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: . 2 2 x 2y 2xy 5 2 Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm? A. 2B. 3C. 4D. 5 Lời giải STUDY TIP Trong phương trình (1) ta coi x là ẩn và giải phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai 2 2 x 8x 4y 4y 15 0 | 58 với ẩn là x thì hệ số a 1 ;;b 8 c 4y2 4y 15 .
x2 8x 4y2 4y 15 0 2 2 2 x 5 2y Có ' 16 4y 4y 15 4y 4y 1 2y 1 x 3 2y - Với x 5 2y thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 2 y 1 x 3 10y 30y 20 0 . Khi đó hệ có nghiệm là 3;1 , 1;2 . y 2 x 1 - Với x 3 2y thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 3 2y 2 2y2 2 3 2y .y 5 9 12y 4y2 2y2 6y 4y2 5 2 y 1 x 1 2y 6y 4 0 y 2 x 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x; y là 1; 1 , 1; 2 , 3;1 , 1;2 . Đáp án C. Dạng 6 Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 2 2 x y xy 1 4y Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: . 2 2 y x y 2x 7y 2 Biết hệ có 2 nghiệm x1; y1 và x2 ; y2 . Tính tổng x1 x2 y1 y2 . A. 6 B. 6C. 7D. 2 STUDY TIP Lời giải Hệ đã cho ta thấy có Dễ thấy y 0 không phải là nghiệm của hệ. những biểu thức giống Với y 0 chia hai vế của các phương trình trong hệ cho y ta được hệ: nhau là x2 1 và x y . x2 1 x y 4 y 2 2 x 1 x y 2. 7 y
x2 1 u u v 4 u 4 v v1 3 u1 1 Đặt ta có hệ: y 2 2 v 2u 7 v 2v 15 0 v2 5 u2 9 v x y - TH1: u 1,v 3 ta có hệ: x2 1 1 x2 1 y y 3 x x 1 x 2 hoặc y 2 y 3 x x x 2 0 y 2 y 5 x y 3 - TH2: v 5,u 9 ta có hệ: x2 1 9 x2 1 9y x2 9x 46 0 y vô nghiệm y 5 x y 5 x x y 5 Vậy hệ có nghiệm x; y là 1; 2 và 2;5 x1 x2 y1 y2 6 . Đáp án B. x 2 6y x 2y 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: y x x 2y x 3y 2 2 Gọi x; y là nghiệm của hệ mà x, y ¢ . Khi đó x y là: A. 5B. C. D. 10 12 2 STUDY TIP Trong phương trình (1) Lời giải x x 2y biến đổi 2 y y Điều kiện: y 0, x 2y 0; x x 2y 0 thì thấy có những biểu x x 2y x 2y thức giống nhau, từ đó Phương trình 1 2 x 2y 6y 0 6 0 tìm cách đặt ẩn phụ. y y2 y x 2y 3 y Giải phương trình bậc hai ta được: x 2y 2 y | 60
x 2y y 0 24 4 - Với 3 thế vào (2) ta được nghiệm ; không 2 y x 9y 2y 9 9 thỏa mãn x, y ¢ . x 2y y 0 - Với 2 thế vào (2) ta được nghiệm . 2 12; 2 y x 4y 2y Đáp án D. Dạng 7 Hệ phương trình 3 ẩn x y 3z 2 2 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: x y 5z . 3 3 x y 9z Số nghiệm của hệ phương trình trên là: A. 1B. 2C. 4D. 5 Lời giải Ta coi z như là tham số thì hệ đã cho là hệ đối xứng với x và y nên: x y 3z x y 3z 2 2 Hệ phương trình x y 2xy 5z 9z 5z 2xy 3 9z2 5z x y 3xy x y 9z 27z3 9z. 9z 2 x y 3z x y 3z 2 2 2xy 9z 5z 2xy 9z 5z 3z3 5z2 2z 0 2 z 0  z 1 z 3 x y 0 - Với z 0 ta có: xy 0 . z 0 Hệ này có nghiệm 0;0;0 .
x y 3 - Với z 1 ta có: xy 2 z 1 Giải hệ ta có nghiệm 1;2;1 , 2;1;1 . STUDY TIP Trong Ví dụ 1, ta cũng có x y 2 thể dùng phương pháp thế 2 1 để giải. - Với z ta có: xy 3 3 2 z 3 3 6 3 6 2 3 6 3 6 2 Giải hệ ta có 2 nghiệm ; ; và ; ; . 3 3 3 3 3 3 Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm. Đáp án D. xy 12 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: yz 20 2 zx 15 3 Giả sử x1; y 1; z1 , x2 ; y2 ; z2 là các nghiệm của hệ. Tính x1 x2 y1 y2 . A. 0B. 3C. 6D. 9 Lời giải 2 xyz 60 Nhân vế với vế 3 phương trình trên ta được: xyz 3600 xyz 60 xy 12 1 yz 20 2 - Với xyz 60 ta có hệ: zx 15 3 xyz 60 4 Thay (1) vào (4) ta được z 5 | 62
Thay (2) vào (4) ta được x 3 Thay (3) vào (4) ta được y 4 Hệ có nghiệm là x; y; z là 3;4;5 - Tương tự với xyz 60 ta giải được nghiệm là 3; 4; 5 x1 x2 y1 y2 3 3 4 4 0 Đáp án A.
Câu 5: Cho hệ phương trình: B. Bài tập rèn luyện kĩ năng x3 x3 y3 y3 17 Xem đáp án chi tiết tại trang 132 . Gọi x1; y1 và x2 ; y2 là x xy y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: các nghiệm của hệ. Tính x1 x2 . mx m 2 y 2 . Khi hệ có nghiệm duy A. 3B. 2 C. 0D. 1 x my m 3 3 nhất x; y thì tổng x y là: x y 2 Câu 6: Cho hệ phương trình: . xy x y 2 2 2 A. B. m2 m 2 m2 m 2 Đặt S x y, P x.y , tính S P ? 2m2 2 2m2 2 A. 1B. 2 C. 3D. 6 C. D. m2 2m 2 m2 2m 2 Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau có Câu 2: Xác định m để hệ phương trình sau vô nghiệm: nghiệm: x 4 y 1 4 2 2m x 3 m 1 y 3 x y 3m m x y 2y 2 13 A. m B. m 7 1 3 A. m 3 hoặc m B. m 0 2 5 13 C. m D. m 7 3 3 3 3 C. m 0 hoặc m D. m 0hoặc m 4 4 Câu 8: Cho x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ và lớn nhất của biểu thức Q x x y y . Khi m 1 x 2y m 1 phương trình: có nghiệm đó các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất theo thứ tự 2 2 m x y m 2m là: nguyên (tức là x, y ¢ )? 1 1 A. 0; B. ;1 C. 1 ;D.4 0;4 A. 2B. 3 C. 4D. Vô số 4 4 Câu 4: Biết hệ phương trình: Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình y x2 4x 1 x2 3x 2y là: có hai nghiệm x ; y và 2 1 1 y 3y 2x 2x y 5 0 2 x2 ; y2 . Khi đó x1 x2 y1 y2 bằng: A. 2B. 3 C. 4D. 5 A. 14B. 0 C. 3D. 4 Câu 10: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: | 64
3 Biết hệ phương trình có hai nghiệm là x 2x y 1 x1; y1 y3 2y x 2 và x2 ; y2 . Tìm x1 x2 . A. 4B. 2 C. 3D. 5 A. 5B. 6 C. 7D. 8 Câu 11: Gọi x1; y1 , x2 ; y2 là các nghiệm 2 y 3xy 4 1 của hệ phương trình: . 2 2 x 4xy y 1 2 Hãy tính x1 y1 x2 y2 . A. 0B. 8 C. 10D. 5 Câu 12*: Cho hệ phương trình: x y 2a 1 . Xác định a để hệ có tích 2 2 2 x y a 2a 3 x.y nhỏ nhất. 2 A. a 1 B. a 2 2 2 C. a 2 D. a 2 2 Câu 13*: Cho hệ phương trình: 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 . 5 x4 y2 xy 1 2x 4 Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm là x1; y1 và 3 3 x2 ; y2 . Khi đó tổng x1 x2 là: 9 9 5 5 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 14*: Cho hệ phương trình: 2 x 2x y 4 4x y 1 x 1 0 x2 3 y 6x 5 3x 2 x 3 7
x 3y 3 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III D. z 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 134 2x 1 Câu 1: Cặp x; y 1;2 là nghiệm của Câu 4: Cho phương trình ax b 0 . Hãy chọn phương trình: mệnh đề đúng? A. 3x 2y 7 B. x 2y 5 A. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ C. 0.x 3y 4 D. 3x 0.y 2 khi a 0 Câu 2: Cho phương trình bậc hai B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ 2 khi b 0 ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 . Hãy xác định mệnh đề đúng. C. Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a 0,b 0 c b A. x x ; x .x 1 2 a 1 2 2a D. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi b c a 0,b 0 B. x1 x2 ; x1.x2 2a a Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình: c b 2x 3 C. x1 x2 ; x1.x2 5 là: a a x2 1 x 1 b c D. x x ; x .x A. D ¡ \ 1 B. D ¡ \ 1 1 2 a 1 2 a C. D \ 1 D. D Câu 3: Hệ phương trình nào sau đây không ¡  ¡ phải là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn? Câu 6: Phương trình x2 2 3 x 6 0 x 2y 2 0 có: A. 2x y 3 0 2 A. Hai nghiệm trái dấuB. Hai nghiệm dương 2y 0 C. Hai nghiệm âm D. Vô nghiệm x y z 1 Câu 7: Tìm điều kiện xác định của phương B. x 2 trình 2x y 3z 3 3x 1 x 1 0 . x 0 15 3x C. y 3 A. 1 x 5 B. x 5 z 1 C. x 1 D. 1 x 5 | 66
Câu 8: Chọn cặ phương trình không tương C. 3x2 x 3 0 D. 3x3 4x2 x 0 đương trong các cặp phương trình sau: Câu 12: Nghiệm của hệ phương trình 2 A. x 1 x2 2x và x 2 x 1 2 3 0 x y là x0 ; y0 . Tính x0 y0 bằng: B. 3x x 1 8 3 x và 6x x 1 16 3 x x 2 0 x y C. x 3 2x x2 x2 x và x 3 2x x 2 8 2 D. x 2 2x và x 2 4x2 A. 2B. C. D. 3 3 3 Câu 9: Cho các phương trình sau: Câu 13: Một công ty Taxi có 85 xe chở khách 2x 1 x 2 gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe chở (1) x 3 x 3 được 7 khách. Dùng tất cả xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công 2 x x 3 (2); ty đó có mấy xe mỗi loại? x 2 A. 50 xe 4 chỗ; 35 xe 7 chỗ x 1 x 3 x 1 (3); B. 35 xe 7 chỗ; 50 xe 4 chỗ 3x 1 x 3 (4). C. 45 xe 4 chỗ; 40 xe 7 chỗ x 2 D. 40 xe 4 chỗ; 45 xe 7 chỗ Số phương trình vô nghiệm là: A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 14: Cho phương trình 10x 9 2x 1 có hai nghiệm x , x phân biệt. Hãy tính Câu 10: Tính tổng tất cả các nghiệm của 1 2 2 2 phương trình A x1 x2 . 2 29 2x 3x 2 x 2 . A. A B. A 39 4 3 A. 3B. 2 C. 1D. 25 2 C. A 0 D. A 4 Câu 11: Cho x , x là hai nghiệm của phương 1 2 Câu 15: Tìm số nghiệm của phương trình trình x2 3x 2 0 . Trong các phương trình x 3 5 2x ? sau đây, phương trình nào chỉ có hai nghiệm là x x A. 1B. 2 C. 3D. 0 1 và 2 ? x 1 x 1 2 1 Câu 16: Cho phương trình 2 2 A. 8x 6x 1 0 B. 3x 4x 1 0 x2 3x x2 3x 1 0 . Đặt
t x2 3x 1, t 0 . Khi đó, phương trình đã Câu 21: Phương trình 2 2 cho trở thành phương trình nào sau đây? m 4m 3 x m 3m 2 có nghiệm duy A. t 2 t 1 0 B. t 2 t 1 0 nhất khi: A. m 1 B. m 3 C. t 2 t 0 D. t 2 t 1 0 C. m 3 và m 1 D. m 3 hay m 1 Câu 17: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình x4 3x2 4 0 . Hãy tính S. Câu 22: Với điều kiện nào của m thì phương trình m 2 2 x 4 4x m có nghiệm âm? A. S 1 B. S 3 C. S 3D. S 0 1 2x 1 A. 0 m B. m 4 Câu 18: Phương trình x có bao x 1 x 1 C. 0 m 4 D. 0 m và m 4 nhiêu nghiệm? x my 1 A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 23: Cho hệ phương trình (I), mx y 1 2 Câu 19: Cho phương trình 2x x 0 . Trong m là tham số. Mệnh đề nào sai? các phương trình sau đây, phương trình nào A. Hệ (I) có vô số nghiệm. không phải là hệ quả của phương trình đã cho? B. Khi m 1 thì hệ (I) có vô số nghiệm. x A. 2x 0 1 x C. Hệ (I) có nghiệm duy nhất m 1 . B. 4x3 x 0 D. Khi m 1 thì hệ (I) vô nghiệm. 2 Câu 24: Số nghiệm của phương trình C. 2x2 x x 5 2 0 x7 14x5 49x3 36x 0 là: D. 2x3 x2 x 0 A. 4B. 5 C. 6D. 7 Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ Câu 25: Một lớp học có 36 học sinh được phân 2x 3y 4 0 thành 3 nhóm A, B, C để thảo luận trong giờ phương trình 3x y 1 0 có duy nhất học toán. Biết nhóm A ít hơn nhóm B 2 học 2mx 5y m 0 sinh, tổng số học sinh nhóm A và C gấp đôi số một nghiệm. Khi đó m thuộc khoảng nào sau học sinh nhóm B. Hỏi số lượng học sinh từng đây nhóm A, B, C lần lượt là bao nhiêu? A. ;4 B. 2;9 A. 12, 14, 16B. 12, 10, 14 C. 0;3 D. 8;12 C. 14, 12, 10 D. 10, 12, 14 Câu 26: Giả sử phương trình: | 68
x2 5x 4 5 x2 5x 28 0 A. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h có các nghiệm là x , x . Tính T x2 x2 1 2 1 2 B. Vận tốc trung bình của Châu là 12km/h, của A. T 16 B. T 81 C. D.T 9 T 97 Thảo là 15km/h Câu 27: Tổng các nghiệm của phương trình C. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 17km/h x2 x 5 3x 4 0 là: x x2 x 5 D. Vận tốc trung bình của Châu là 11km/h, của Thảo là 8km/h A. 6B. 8 C. D. 7 6 Câu 32: Có bao nhiêu tam giác cân có một góc Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham gấp đôi góc kia? số m trên đoạn  2;20  để phương trình A. 0B. 1 C. 2D. Vô số x2 2mx m2 4m 1 0 vô nghiệm. Câu 33: Cho phương trình A. 4B. 3 C. 19D. 20 ax4 bx2 c 0 1 a 0 . Đặt: Câu 29: Phương trình 2 b c 2 2 b 4ac , S , P . Ta có (1) vô x 2mx m m 1 0 có hai nghiệm dương a a phân biệt khi? nghiệm khi và chỉ khi: A. m 1 B. m 0 0 C. m ¡ D. 1 m 0 A. 0 B. hoặc 0 S 0 Câu 30: Cho phương trình: P 0 x2 2m 3 x m2 2m 2 0 . 0 0 C. D. S 0 P 0 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm sao cho tổng bình phương hai Câu 34: Số nghiệm của phương trình nghiệm đó bằng 5? 2x 1 x 3 4 là: A. 0B. 1 C. 2D. 3 A. 1B. 4 C. 2D. 3 Câu 31: Thảo và Châu đi xe đạp cùng xuất Câu 35: Số nghiệm của phương trình: phát một lúc đi từ A đến B dài 30km, vận tốc 1 1 1 trung bình của Châu nhanh hơn vận tốc trung 3 1 x 1 x 1 x 0 là: bình của Thảo 3km/h nên Châu đến B sớm hơn 1 x x 1 2x Thảo 30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi 1 x 1 x 1 x người. A. 2B. 1 C. 4D. 5
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để x2 mx 2 phương trình 1 vô nghiệm? x2 1 A. 0B. 1 C. 2D. 3 x2 2 m 1 x 6m 2 Câu 37: Cho x 2 x 2 (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên đoạn A. 1B. 2 C. 3D. 4  2;2 để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Câu 41: Cho hệ phương trình A. 2B. 5 C. 3D. 4 2m 3 x my 3m 2 . Có bao nhiêu giá trị Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 5x 2m 3 y 5 phương trình: 2 m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y thỏa 2 x2 2x 4m 3 x2 2x 1 2m 0 có mãn điều kiện 2x 3y 27 . đúng 3 nghiệm thuộc  3;0 . A. 0B. 1 C. 2D. 3 A. 1B. 2 C. 3D. 0 Câu 42: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Câu 39: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương Biết c và d là hai nghiệm của phương trình 2 trình x2 2 m 1 x 2m2 3m 1 0 (m là x ax b 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x2 cx d 0 . Tính giá trị của tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu biểu thức S a b c d . thức P x1 x2 x1x2 . A. S 2 B. S 0 1 A. Pmax B. Pmax 1 C. S 1 D. S 1 4 Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 9 9 C. P D. P max 8 max 16 số m thuộc đoạn  5;5 để phương trình mx 2x 1 x 1 có đúng hai nghiệm phân Câu 40: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm các giá trị nguyên của m biệt? trên đoạn  5;5 để phương trình A. 8B. 9 C. 10D. 11 m f x 0 xác định trên  4;4 . Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 2 x2 2x2 số m để phương trình m 0 x 1 x 1 có đúng bốn nghiệm? | 70
A. 0B. 1 C. 2D. Vô số 3 6 y 1 2x y 3x 6 2 6 Câu 45: Nghiệm của phương trình 1 4x y 5x 3 x 7 x 1 thuộc khoảng nào sau đây: A. 1B. 2 C. 3D. 4 A. ; 2 B. 5;1 C. 2;3 D. 2; Câu 46: Nghiệm của phương trình a b 21 3 12 x 3 4 x 2 có dạng với a, c b, c tối giản. Tính T a b c A. 11B. 43 C. 61D. 29 Câu 47: Phương trình: x 3 2 5 3x 2x 3x 5 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 48: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: 2 2 5 x y y 2x 2 2 3 x y 2x y 8xy A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 49: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: 3 2x y x2 3 2 2y x y A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 50: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 3 I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Đáp án D. ĐKXĐ: x2 1 0 x ¡ Câu 2: Đáp án B. x 2 0 x 2 ĐKXĐ: x 2 0 x 2 2 x 4 0 Vậy D ¡ \ 2;2 . Câu 3: Đáp án A. x 1 0 x 1 ĐKXĐ: x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 x ¡ \ 1;1; 2. Câu 4: Đáp án B. x 0 ĐKXĐ: 2 x 1 0 Câu 5: Đáp án C. 1 1 ĐKXĐ: 2x 1 x x ; 2 2 Câu 6: Đáp án D. ĐKXĐ: x 2 0 x 2 2 x 3 6 2x 0 x 3 Câu 7: Đáp án D. ĐKXĐ:
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing x 1 2 x 4x 3 0 x 3 7 2 x 7 2x 0 7 2 x x 2 0 2 x 3 x 2 Câu 8: Đáp án C. ĐKXĐ: x 2 0 x 2 2 x 7 7 x 0 x 7 Câu 9: Đáp án D. Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x 1 Điều kiện: f x 0 x 1 . Câu 10: Đáp án A. x 1 Nhìn đồ thị ta thấy f x 0 x 3 Câu 11: Đáp án B. x 0 Từ đồ thị ta thấy f x 2 . x 4 Câu 12: Đáp án B. Vẽ lại hình: | 73
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ta thấy: Parabol y x2 1 đi qua các điểm 2;3 , 0; 1 , 2;3 nên x 2;0 thì f x x2 1 . II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC NHẤT Câu 1: Đáp án B. Phương trình đã cho vô nghiệm khi: m2 4 0 m 2 m 2 3m 6 0 m 2 Câu 2: Đáp án A. Phương trình đã cho vô nghiệm khi: m 0 m  m 0 Câu 3: Đáp án C. Phương trình đã cho vô nghiệm khi: m 2 2 m 5m 6 0 m 3 m 3 2 m 2m 0 m 0 m 2 Câu 4: Đáp án B. ĐKXĐ: x 3 Phương trình tương đương với x 1 a x a 1 là nghiệm khi a 1 3 a 2 Câu 5: Đáp án C. ĐKXĐ: x 3 . Phương trình tương đương với m 1 x m 2 mx 3m x 2m 2 là nghiệm của phương trình đã cho khi
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 5 2m 2 3 m 2 Câu 6: Đáp án A. Phương trình x m x 1 0x m 1 1 x m x 1 m 1 x m x 1 x 2 2 - Với m 1 : (1) nghiệm đúng x ; (2) có nghiệm x 1 m 1 - Với m 1 : (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm x 2 Câu 7: Đáp án C. Viết lại phương trình thành: 1 1 x 1 x x m (*) 2 2 Vẽ đồ thị hàm số: 1 1 y x 1 x x C 2 2 1 2x khi x 0 1 x khi 0 x 2 1 khi x 2 | 75
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vì số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng y m nên m 1 thì phương trình có nghiệm. Câu 8: Đáp án A. Khử giá trị tuyệt đối ta được x 0 1. ta có phương trình: y 0 x y 1 d1 x 0 2. ta có phương trình: y 0 x y 1 d2 x 0 3. ta có phương trình: y 0 x y 1 d3 x 0 4. ta có phương trình: y 0 x y 1 d4
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vẽ 4 đường thẳng d1,d2 ,d3 ,d4 suy ra tập nghiệm của phương trình là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 . III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC HAI Câu 1: Đáp án B. - Với m 1 0 m 1 Khi đó phương trình trở thành 3 2x 3 0 x 2 - Với m 1 0 m 1 . Ta có: ' m2 m 1 m 2 m 2 . Phương trình vô nghiệm khi m 2 0 m 2 Câu 2: Đáp án C. Viết lại phương trình: 2k 1 x2 8x 6 0 . 1 - Với 2k 1 0 k . 2 Khi đó phương trình trở thành | 77
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 3 8x 6 0 x 4 1 - Với 2k 1 0 k . 2 Ta có ' 16 6 2k 1 0 11 12k 22 0 k , do đó số nguyên k nhỏ nhất là k 2 6 Câu 3: Đáp án C. 1 - Với m 0 . Khi đó, phương trình trở thành: 2x 1 0 x . 2 Do đó m 0 là một giá trị cần tìm. - Với m 0 ta có ' m 1 2 m m 1 m 1 Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi ' 0 m 1 0 m 1 Câu 4: Đáp án C. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: m 1 0 2 ' 9 m 1 m 1 2m 3 0 m 1 m 1 6 m 6 7 m 7 Câu 5: Đáp án C. Viết lại phương trình: 2 m x2 x 2 0 - Với 2 m 0 m 2
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Khi đó phương trình trở thành; x 2 0 x 2 . Do đó m 2 là một giá trị cần tìm. - Với 2 m 0 m 2 . Ta có: 1 2 4 2 m 2 8m 17 Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi: 17 0 8m 17 0 m 8 Câu 6: Đáp án B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 Khi đó gọi hai nghiệm là x1, x2 là x1 x2 0 S 0 x1.x2 0 P 0 Câu 7: Đáp án A. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi: ' 0 3m2 0 S 0 4m 0 m 0 2 P 0 m 0 m 1;2;3;4;5 Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu. Câu 8: Đáp án B. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt | 79
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book ' 2m 2 0 m 1 S 2 m 1 0 m 1 2 m 1 P m 1 0 m 1 m 1 Vậy với m 1 thỏa mãn. Câu 9: Đáp án A. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình khi đó ta có x1 x2 p 0 x1.x2 q Theo giả thiết ta có x1 x2 1 2 2 x1 2x1x x2 1 2 x1 x2 4x1x2 1 q2 4q 1 p2 4q 1 p 4q 1 0 Câu 10: Đáp án C. 2 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 m 1 x m 2 0 . Tìm m để biểu thức P x1x2 2 x1 x2 6 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: ' m 1 2 m2 2 2m 1 để phương trình có nghiệm 1 ' 0 m 2 Theo định lí Vi-et ta có: x x 2m 2 1 2 2 x1x2 m 2
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Khi đó: P m2 2 2 2m 2 6 m2 4m 8 m 2 2 12 12 Pmin 12 khi m 2 . Câu 11: Đáp án A. Ta có m2 4 m 1 m 2 2 0 m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức x1 x2 m Vi-et ta có: x1x2 m 1 2 2 2 Ta có: x1 x2 x1 x2 2x1x2 m2 2 m 1 m2 2m 2 . Khi đó: 2x1x2 3 2m 1 P 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 m 2 1 2m 1 1 P 2 m2 2 2 2 2m 1 m2 2 2 m2 2 m 2 2 0 m ¡ 2 m2 2 1 P m ¡ . 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2 . Câu 12: Đáp án C. | 81
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 Giả sử phương trình x px q 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương 2 trình x mx n 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 . 3 x1 x3 Theo bài ra ta có: 3 x2 x4 3 3 x1 x2 x3 x4 2 2 x3 x4 x3 x4 x3 x4 x x x x 2 3x x (*) 3 4 3 4 3 4 x1 x2 p Theo hệ thức Vi-et: x3 x4 m x3.x4 n Thay vào (*) ta được: p m m2 3n p m3 3mn Câu 13: Đáp án D. Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi ' m 1 2 m2 3m 4 0 m 3 0 m 3 Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi: x1 2x2 x2 2x1 0 2 2 5x1x2 2 x1 x2 0 2 9x1x2 2 x1 x2 0 9 m2 3m 4 8 m2 2m 1 0 2 m 4 m 11m 28 0 m 7
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Câu 14: Đáp án A. Phương trình có nghiệm ' m 3 0 m 3 2 2 P x1 x2 2 2 x1 x2 2x1x2 2m 2m 4 Xét f m 2m2 2m 4,m 3 Bảng biến thiên: 1 m 3 2 f m 8 P 8 Pmin 8 khi m 3 Câu 15: Đáp án B. Phương trình bậc hai có các nghiệm x1 , x2 có dạng x x1 x x2 0 2 x x1 x2 .x x1x2 0 Đặt x1 x2 B B 0 ta có: 2 2 B x1 x2 x1 x2 2 x1x2 p 2 q B p 2 q , x1x2 q Vậy phương trình đã cho cần lập là: x2 p 2 q x q 0 Câu 16: Đáp án D. | 83
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt f x x2 2 m 1 x m2 5 0 có hai nghiệm dương phân biệt 2 ' m 1 2 m2 5 0 2 m 1 0 f 2 0 m 2 Câu 17: Đáp án C. 1 1 Đặt t x t 2 x2 2 4 x x2 Phương trình đã cho trở thành; t 2 1 3m t 3m 2 0 (2) với t 2 Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có nghiệm t ; 22; . 2 t1 1 Ta có: 9 m 1 nên phương trình (2) có 2 nghiệm . t2 3m 2 Ta đi tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm 2;2 2 3m 2 2 vì t1 1 2;2 m 0 4 0 m thỏa mãn yêu cầu tương đương với 4 . 3 m 3 Câu 18: Đáp án A. Đặt x2 t,t 0 ta có phương trình: mt 2 2 m 3 t 4m 0 (2)
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t1 0,t2 0. Điều kiện cần: t 0 m 0 Khi đó ta có phương trình: 6t 0 t 0 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 19: Đáp án D. Điều kiện: x 1 . Phương trình x 1 x 1 3 m 2 4 x 1 x 1 x 1 Đặt t 4 0 t 1 x 1 Bài toán trở thành tìm m để phương trình 3t 2 2t m có nghiệm thuộc 0;1 . Xét hàm số f t 3t 2 2t,t 0;1 . Bảng biến thiên: 1 t 0 1 3 1 f t 0 3 1 1 Từ bảng biến thiên 1 m là giá trị cần tìm. 3 Câu 20: Đáp án B. Điều kiện: 0 x 9 . Bình phương 2 vế của phương trình ta được: 9 2 x2 9x x2 9x m 9 Đặt t x2 9x,0 t ta có phương trình: t 2 2t 9 m . 2 | 85
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 9 Khảo sát f t t 2 2t 9 trên 0; . 2 Ta có bảng biến thiên: 9 t 0 1 2 10 f t 9 9 4 9 Từ bảng biến thiên m 10 . 4 IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Đáp án B. m m 2 D m2 m 2 m 1 m 2 1 m 2 m 2 D m2 x m m m 2 D m2 2 y 1 m Hệ có nghiệm duy nhất khi m 1 và m 2 D m2 x x D m2 m 2 Khi đó: D m2 2 y y D m2 m 2 2 x y m2 m 2 Câu 2: Đáp án A.
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing D 0 Hệ vô nghiệm Dx 0 D 0 y 2 m 2m 7m 3 0 m 3 3m 0 1 m 2 m 4m 3 0 Câu 3: Đáp án C. Ta có: m 1 2 D 2m2 m 1 m2 1 1 2 m 1 m 2 m 1 2 D 2m2 3m 1 x m2 2m 1 1 2 m 1 m 2 m 1 m 1 D 4m2 2m y m2 m2 2m 1 4m m 2 + Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm 1 D D D 0 m ¢ x y 2 + Trường hợp 2: m 1 1 D 0 1 m ¢ m 2 2 Lúc đó hệ có nghiệm duy nhất: | 87
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book D m 1 2 x x 1 D m 1 m 1 D 2m 2 y y 2 D m 1 m 1 m 1 2 m 1 m 1 1 m 0 x, y ¢ m 1 là ước nguyên của 2 m 1 2 m 3 m 1 1 m 2 Câu 4: Đáp án D. Từ (2) ta có: y 5 2x thế vào (1) ta có: 5 2x x2 4x 2 x 1 x 6x 5 0 x 5 - Với x 1 y 3 - Với x 5 y 5 Hệ có nghiệm là 1;3 ; 5; 5 x1 x2 y1 y2 4 . Câu 5: Đáp án A. Đặt S x y, P x.y Ta có: x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS S 3 3PS P3 17 Ta có hệ: S P 5 Lại đặt: S P S1, S.P P1 ta có: 3 3 3 2 S P S P 3SP S P S1 3P1S1 S 3 3PS 3P 17 Ta có hệ: 1 1 1 1 S1 5
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing S 2 S1 5 P 3 P1 6 S 3 P 2 S 3 Vì S 2 4P nên chỉ có P 2 x y 3 thỏa mãn xy 2 x, y là nghiệm phương trình: 2 X 1 X 3X 2 0 X 2 Nghiệm của hệ là 1;2 ; 2;1 x1 x2 1 2 3 Câu 6: Đáp án C. Ta có: x3 y3 x y 3 3xy x y S 3 3PS S 3 3P.S 2 Ta có hệ: S.P 2 S 3 8 S 2 S P 3 S.P 2 P 1 Câu 7: Đáp án D. u x 4 Đặt: v y 1;u,v 0 Khi đó hệ trở thành: | 89
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book u v 4 u v 4 2 2 21 3m u v 3m 5 u.v 2 Suy ra u, v là nghiệm không âm của phương trình: 21 3m X 2 4X 0 (*) 2 Theo đề bài hệ đã cho có nghiệm Phương trình (*) có nghiệm không âm 13 m 13 3 m 7 3 m 7 Câu 8: Đáp án B. Điều kiện: x 0; y 0 . Khi đó ta có hệ: x y 1 x y 1 3 3 x x y y Q x y Q Đặt: x y S, x. y P S 0, P 0 S 2 4P S 1 S 1 Ta có hệ: 2 1 Q S 3PS Q P 3 (thỏa mãn ĐK) 2 1 Q S 4P 1 4. 3 3 4 4Q P 0 1 Q Q 1 S 0 0 3 1 4Q 1 Q 4 Q 1 Q 1
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 1 Q 1,Q max min 4 Câu 9: Đáp án C. Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được: x2 y2 3x 3y 2y 2x x y x y 1 0 x y 0 x y 1 0 - TH1: x y ta có hệ: 2 x 0 x 3x 2y x 5 x y x y Hệ có nghiệm là 0;0 , 5;5 . - TH2: x y 1 0 ta có hệ: x2 3x 2y x2 x 2 1 x x y 1 y 1 x x2 x 2 0 y 1 x x 1 x 2 hoặc y 2 y 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm. Câu 10: Đáp án D. Trừ vế theo vế hai phương trình ta có: x3 y3 x y x y x2 y2 xy 1 0 | 91
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x y 2 2 x y xy 1 0 - TH1: Với x y thay vào (1) ta có: x 0 y 0 x3 3x 0 2 x 3 y 3 Hệ có nghiệm là 0;0 , 3; 3 , 3; 3 . - TH2: x2 y2 xy 1 0 . Kết hợp với phương trình mà ta cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho ta được: 2 2 x y xy 1 0 3 3 x y 3 x y 2 x y xy 1 0 3 x y 3xy x y 3 x y 0 x y S Đặt ta có hệ: xy P 2 S 2 P 1 0 S P 1 0 3 2 S 3PS 3S 0 S S 3P 3 0 S 0 2 S P 1 0 S 0 2 S 3P 3 0 P 1 2 S P 1 0 x, y là nghiệm phương trình: X 2 SX P 0 hay X 2 1 0 X 1 Hệ có nghiệm là 1; 1 , 1;1 .
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm 0;0 , 3; 3 , 3; 3 , 1; 1 , 1;1 . Câu 11: Đáp án A. Nhận xét: Vế trái của hai phương trình đều là bậc hai; vế phải là hằng số nên ta có thể nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đẳng cấp. Ta có: 1 y2 3xy 4 x2 4xy y2 4x2 13xy 3y2 0 + Với y 0 x 0 không là nghiệm của hệ 2 2 x x + Với y 0 chia hai vế cho y ta được: 4 13 3 0 y y x Đặt t ta có phương trình: y t 3 3 4t 13t 3 0 1 t 4 x 1 - Với t 3 3 x 3y thay vào (1) ta được y2 vô nghiệm. y 2 1 x 1 - Với t ta có: y 4x thay vào (1) 4 y 4 x 1 x 1 hoặc y 4 y 4 x1 x2 y1 y2 0 . Câu 12: Đáp án B. Đặt S x y, P x.y (S 2 4P ) Hệ phương trình đã cho có dạng | 93
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book S 2a 1 2 2 S 2P a 2a 3 S 2a 1 3 P a2 3a 2 2 Để hệ có nghiệm thì S 2 4P 2 3 2 2a 1 4 a 3a 2 0 2 2a2 8a 7 0 2 2 2 a 2 (*) 2 2 Điều kiện (*) là điều kiện có nghiệm của hệ phương trình. 3 2 2 2 Xét: P xy a 3a 2 ta có bảng biến thiên trên đoạn 2 ;2 là: 2 2 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 a 2 . 2 Câu 13: Đáp án B. Hệ đã cho biến đổi thành: 5 x2 y xy x2 y xy 4 2 5 x2 y xy 4
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing S x2 y Đặt , P xy hệ phương trình có dạng: 5 5 S PS P P S 2 4 4 5 1 S 2 P S 3 S 2 S 0 4 4 1 S 0 S 2 5 hoặc P 3 4 P 2 S 0 - TH1: Với 5 P 4 5 x2 y 0 x 3 4 3 xy 25 2 y 3 16 1 1 S x2 y 2 2 - TH2: Với 3 3 P xy 2 2 2 1 x 1 y x 2 3 3 y 2x x 3 0 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 5 25 3 3 3 ; ; 1; 4 16 2 9 x3 x3 . 1 2 4 | 95
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 14: Đáp án C. Dùng máy tính cầm tay nhập biểu thức: X 2 2X Y 4 4X Y 1 X 1 Ấn: SHIFT SOLV gán Y 100 Máy luận: 11,0489 tức là (11,0489 , 100) là 1 cặp nghiệm của phương trình. - Nhập tiếp: 4X Y 1 ấn “=” ta được kết quả là 12,0489 =11,0489 +1 = x 1 - Nhập tiếp: X 2 2X Y 4 ấn bằng máy hiện 2 ta hiểu: X 2 2X Y 4 2 tại x 11,0489; y 100 . Phương trình (1) của hệ phương trình với x2 2x y 4 2 4x y 1 x 1 0 Nhân liên hợp ta có: x2 2x y x2 2x 1 4x y 1 0 x2 2x y 4 2 x 1 4x y 1 1 x2 2x y 4 2 x2 2x y 0 1 x 1 4x y 1 Vì trong ngoặc vuông lớn hơn 0 nên y x2 2x thế vào phương trình (2) của hệ ta được: 4x2 24x 35 5 3x 2 5 x 3 Đến đây dùng máy tính nhẩm được x 1 hoặc x 6 .
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy x1 x2 7 . V. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 3 Câu 1: Đáp án A. Thay x 1; y 2 vào phương trình của 4 đáp án ta thấy đáp án A. Câu 2: Đáp án D. Câu 3: Đáp án A. Nhận dạng hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn theo công thức: a1x b1 y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d2 trong đó mỗi phương trình là 1 phương trình bậc nhất 3 ẩn a3 x b3 y c3 z d3 với các hệ số không đồng thời bằng 0. Câu 4: Đáp án A. Câu 5: Đáp án A. Phân tích phương án nhiễu: B. Sai do tính nhầm x 1 0 x 1 C. Sai do tính nhầm x2 1 0 x 1. D. Sai do không nhìn ra điều kiện. Câu 6: Đáp án B. x2 2 3 6 0 có 0 S 2 3 0 P 6 0 Phương trình có 2 nghiệm dương Câu 7: Đáp án A. | 97
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 0 ĐKXĐ: 1 x 5 15 3x 0 Câu 8: Đáp án D. ĐKXĐ: x 2 . Ta có: 2x 0 x 2 2x 2 x 2 4x x 0 1 33 1 33 x x 8 8 1 33 x 2 4x2 x 8 Do đó, x 2 2x và x 2 4x2 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 9: Đáp án C. 2x 1 x 2 +) x 3 x 3 x 3 0 x 3 2x 1 x 2 x 1 Phương trình (1) vô nghiệm. 2 x +) x 3 . x 2 ĐKXĐ: x 2 0 x 2 x 0 x 2 x 2 2 mà x 3 0 x ¡ Phương trình (2) vô nghiệm. +) x 1 x 3 x 1
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing x 1 0 x 3 x 3 Phương trình (3) có nghiệm 3x 1 +) x 3 x 2 x 2 0 x 2 x 3 0 x 3 Phương trình (4) vô nghiệm. Câu 10: Đáp án A. 2x2 3x 2 x 2 2x2 3x 2 x 2 2 2x 3x 2 x 2 x 1 3 2 2x 4x 4 0 x 1 3 2x2 2x 0 x 0 x 1 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3. Câu 11: Đáp án B. Phương trình đã cho có 2 hai nghiệm là 1 và 2. x x 1 Suy ra 1 và 2 là một trong hai giá trị và 1. x2 1 x1 1 3 4 1 Hai số có tổng bằng và tích bằng 3 3 x x Do đó 1 và 2 là nghiệm của phương trình x2 1 x2 1 4 1 X 2 X 0 3X 2 4X 1 0 . 3 3 | 99
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 12: Đáp án B. Điều kiện: x y Hệ phương trình 4 x 3x 3y 2 3 x 2y 0 2 y 3 Câu 13: Đáp án A. Gọi x là số xe chở được 4 khách và y là số xe chở được 7 khách (x, y nguyên và 0 x, y 85 ) Ta có hệ phương trình: x y 85 x 50 4x 7y 445 y 35 Câu 14: Đáp án A. 9 ĐKXĐ: x 10 10x 9 2x 1 2x 1 0 2 10x 9 4x 4x 1 1 x 1 2 x 2 x 1 4x2 14x 10 0 5 x 2 x 1 5 (TMĐK) x 2 2 2 5 29 Vậy A 1 . 2 4
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Câu 15: Đáp án A. 8 x 3 5 2x x x 3 5 2x 3 x 3 5 2x x 2 Thử lại vào phương trình ta thấy x 2 thỏa mãn nên x 2 là nghiệm. Câu 16: Đáp án B. Đặt t x2 3x 1,t 0 . t 2 x2 3x 1 x2 3x t 2 1 Khi đó, phương trình ban đầu trở thành t 2 t 1 0 . Câu 17: Đáp án D. x4 3x2 4 0 x2 1 x 1 . Vậy S 0 . 2 x 4 vn x 1 Câu 18: Đáp án B. ĐKXĐ: x 1 . Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 x 1 2x 1 x 1 hoặc x 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x 2 . Câu 19: Đáp án C. x 0 2 Ta có 2x x 0 1 . x 2 1  Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 0;  . 2 Xét các đáp án: * Đáp án A. Ta có | 101
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 x 0 2x 0 1 x 2x 1 x x 0 x 1 x 0 x 0 1 1 x x 2 2 1  Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1 0;   S0 . 2 * Đáp án B. Ta có x 0 3 4x x 0 1 . x 2 1 1  Do đó, tập nghiệm của phương trình là S2 ;0;   S0 . 2 2 * Đáp án C. Ta có 2 2x2 x x 5 2 0 2x2 x 0 2x2 x 0 (vô nghiệm). x 5 0 x 5 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3   S0 . * Đáp án D. Ta có x 0 1 2x3 x2 x 0 x . 2 x 1 1  Do đó, tập nghiệm của phương trình là S2 1;0;   S0 . 2 Câu 20: Đáp án D. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2x 3y 4 0 x 1 3x y 1 0 y 2 2x 3y 4 0 Hệ phương trình 3x y 1 0 2mx 5y m 0 có nghiệm duy nhất khi 1; 2 là nghiệm của phương trình 2mx 5y m 0 tức là: 2m.1 5. 2 m 0 m 10 . Câu 21: Đáp án C. m2 4m 3 x m2 3m 2 Nếu m 1 0x 0 Phương trình có vô số nghiệm Nếu m 3 0x 2 Phương trình vô nghiệm m 2 Nếu m 3 và m 1 x Phương trình có 1 nghiệm duy nhất. m 3 Câu 22: Đáp án A. m 2 2 x 4 4x m m m 4 x 4 m (1) Với m 0 : 1 0x 4 : Phương trình vô nghiệm Với m 4 : 1 0x 0 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x ¡ Với m 0 và m 4 : 1 1 (1) x , 0 m 0 m m Do đó phương trình có nghiệm âm khi và chỉ khi m 0 . Câu 23: Đáp án A. | 103
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Hệ phương trình có vô số nghiệm 1 1 1 m 1 m 1 m 1 m 1 1 m 1 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 m m2 1 m 1 m 1 x y 1 Với m 1 ta có hệ hệ vô nghiệm. x y 1 Câu 24: Đáp án D. x7 14x5 49x3 36x 0 x x6 14x4 49x2 36 0 6 4 4 2 2 x x x 13 x x 36 x 1 0 4 2 2 2 2 x x x 1 13x x 1 36 x 1 0 x x2 1 x4 13x2 36 0 2 2 2 x x 1 x 1 x x 4 9 x 4 0 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 0 Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm số là: x 0 ; x 1; x 2; x 3 . Câu 25: Đáp án D. Gọi A, B, C lần lượt là số học sinh của 3 nhóm A, B, C. 0 A, B,C 36; A, B,C ¥ A B C 36 Theo đề ta có B 2 A A C 2B
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing A B C 36 A 10 B A 2 B 12 A 2B C 0 C 14 Câu 26: Đáp án D. Đặt t x2 5x 28 , (với t 0 ) Ta có: t 2 5t 24 0 t 3 t 8 0 t 8 Với t 8 x2 5x 28 8 x 4 2 2 T 4 9 97 x 9 Câu 27: Đáp án C. x 0 x 0 ĐK (*) 2 1 21 x x 5 0 x 2 x2 x 5 Với điều kiện (*) ta đặt y x2 y 1 x 5 0 (1) x Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*) x 0 1 21 y 0 ( ) x 2 3 Với điều kiện ( ), phương trình đã cho trở thành: y 4 0 y 2 y 1 y 4y 3 0 y 3 Với y 1 , ta có: | 105
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 6 (1) x2 2x 5 0 x 1 6 Với y 3 , ta có: 2 x 1 1 x 4x 5 0 x 5 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt: x 1 6, x 1 6, x 1; x 5 Câu 28: Đáp án B. 2m 2 4. m2 4m 1 16m 4 1 0 m 4 Theo bài ra m 2; 1;0 Câu 29: Đáp án A. x2 2mx m2 m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dương khi 2 2 ' 0 m m m 1 0 S 0 2m 0 P 0 m2 m 1 0 m 1 0 m 0 2 m m 1 0 m ¡ m 1 m 1 m 0 Câu 30: Đáp án B. 4m 1; 0 1 4m 1 0 m 4
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2 2 2 x1 x2 5 x1 x2 2x1x2 5 2m 3 2 2 m2 2m 2 5 m 0 n 2m2 8m 0 m 4 l Câu 31: Đáp án A. Gọi vận tốc trung bình của Thảo là x (km/h), x 0 Gọi vận tốc trung bình của Châu là x 3 (km/h) 30 Thời gian Thảo đi từ A đến B là (h) x 30 Thời gian Châu đi từ A đến B là (h) x 3 30 30 1 Ta có phương trình: x x 3 2 x 12 n x2 3x 180 0 x 15 l Vậy Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h. Câu 32: Đáp án C. Gọi A, B, C lần lượt là số đo 3 góc của tam giác (0 A, B,C 180 ), đơn vị độ. Không mất tính tổng quát ta giả sử A B Theo đề ta có A B C 180 A B C 180 A B hoặc A B C 2A A 2C A B C 180 A B C 180 A B 0 hoặc A B 0 2A C 0 2C A 0 | 107
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book A 45 A 72 B 45 hoặc B 72 C 90 C 36 Câu 33: Đáp án B. Đặt t x2 (t 0 ) (1) thành at 2 bt c 0 (2) Phương trình (1) vô nghiệm phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm 0 0 hoặc S 0 P 0 Câu 34: Đáp án C. 2x 1 x 3 4 2x 1 4 x 3 2x 1 2 16 8 x 3 x 3 2 4x2 4x 1 16 8 x 3 x2 6x 9 3x2 10x 24 8 x 3 + Nếu x 3 thì phương trình trở thành 3x2 10x 24 8 x 3 2 x 2 3x 18x 48 0 x 8 x 2 Kết hợp với x 3 có nghiệm x 8 + Nếu x 3 thì phương trình trở thành 3x2 10x 24 8 x 3 x 0 3x2 2x 0 2 x 3 Kết hợp với x 3 ta có phương trình vô nghiệm.
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Kết luận phương trình có nghiệm x 2; x 8 Câu 35: Đáp án A. 1 x 0 x 1 ĐKXĐ: 1 x 0 x 1 x 0 x 0 Với điều kiện trên ta có: 1 1 1 3 1 x 1 x 1 x 0 1 x x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 3 0 x x 1 x x 1 x 2x 5 1 x2 2 1 x 2 2 1 x 2 0 2 x 3 x 9 0 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3; x 3 Câu 36: Đáp án D. x2 mx 2 x 1 2 1 x 1 mx 3 m 0 m 0 m 0 3 m 3 1 m Câu 37: Đáp án D. Điều kiện: x 2 0 x 2 . | 109
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 x2 2m 3 x 6m 0 (2), phương trình luôn có nghiệm là x 3 và x 2m , để phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì 2m 2 m 1 m 2; 1;0;1 Câu 38: Đáp án D. 4m 3 2 4.2. 1 2m 4m 1 2 2 2 x2 2x 4m 3 x2 2x 1 2m 0 1 x2 2x 1 2 2 x 2x 2m 1 2 1 1 x2 2x 0 2 2 6 x  3;0 2 2 6 x  3;0 2 2 2 x 1 2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn  3;0 khi 2 6 phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn  3;0 và khác 2 2m 0 m 0 1 3 1 2m 0 m 2 3 1 2m 0 m 2 1 0 m . 2 Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn. Câu 39: Đáp án C. ' m 1 2 2m2 3m 1 m2 m
Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Để phương trình có hai nghiệm ' 0 0 m 1 . (*) Theo định lí Viet, ta có x1 x2 2 m 1 2 x1.x2 2m 3m 1 Khi đó P x1 x2 x1x2 2 m 1 2m2 3m 1 2 2 m 1 1 9 2 m 2 m 2 2 4 16 1 1 3 Vì 0 m 1 m 4 4 4 1 9 0 m 4 16 2 1 9 m 0 4 16 2 9 1 9 m 0 16 4 16 2 1 9 9 0 m 4 16 16 2 2 1 9 9 1 P 2 m 2 m 4 16 16 4 2 9 1 9 2 m . 8 4 8 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m : thỏa mãn (*). 4 Câu 40: Đáp án D. Đồ thị y f x như hình vẽ: | 111
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book m f x x  4;4 m 2 m 2;3;4;5 Câu 41: Đáp án B. 2m 3 m D 5 2m 3 3m 2 m 2 Dx 6 m 1 5 2m 3 2m 3 3m 2 D 5 m 1 y 5 5 m 1 Với m 1 4m 9 0 9 m 4 6 m 1 x 4m 9 hệ có nghiệm duy nhất 5 y 4m 9 Ta có 2x 3y 27 12 m 1 15 27 4m 9 4m 9 4 m 1 5 9 4m 9 m 2 Câu 42: Đáp án A.