Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 2 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm) a) Cho hàm số y x2 2mx 3m và hàm số y 2x 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương. b) Giải bất phương trình: x2 8x 12 10 2x Câu 2 (2 điểm) 3 3 3 3 a) Giải phương trình: (4x x 3) x 2 b) Giải phương trình: 2x2 11x 23 4 x 1 Câu 3 (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x 2)2 (y 3)2 9 và điểm A(1; 2) . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Câu 4 (3 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 . 1 1 1 b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 (trong đó AB=c; AC=b; đường cao ha b c qua A là ha ). Câu 5 (1 điểm) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a 3 b c c a a b a b c 2 Hết . Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: .Chữ ký của giám thị 2: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm Tìm m: y x2 2mx 3m và y 2x 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt 1 a 1,00 và hoành độ dương Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt 0,25 x2 2mx 3m 2x 3 x2 2(m 1)x 3m 3 0 ' 0 3(m 1) 0 2(m 1) 0 0,25 m 1 ' 0 0,25 m 4 Kết hợp nghiệm, kết luận m 4 0,25 2 b Giải bất phương trình: x 8x 12 10 2x 1,00 TXĐ: x2 8x 12 0 2 x 6 0,25 Nếu 5 x 6 thì x2 8x 12 0 10 2x , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 5 x 6 0,25 10 2x 0 Nếu 2 x 5 bất pt đã cho 2 x 8x 12 0 28 x2 8x 12 4x2 40x 100 5x2 48x 112 0 4 x 0,25 5 Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4 x 5 Tập nghiệm của bpt đã cho: (4;6] 0,25 3 3 3 3 Giải phương trình: (4x x 3) x (1) 2 a 2 1,00 2y3 2x3 3 Đặt y 4x3 x 3 . (1) có dạng: (I) Khi đó nghiệm của 3 4x x 3 y 0,25 (1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 3 3 2y3 2x3 3 2y 2x 3(2) (I) 3 3 2 2 2x 2y (x y) 0 (x y)(2x 2xy 2y 1) 0(3) 0,25 3 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): x 3 0,25 4 2 2 2 2 TH2: 2x 2xy 2y 1 0; 'x 2 3y . Nếu có nghiệm thì y . 3 3 2 2 8 2 Tương tự cũng cóx . Khi đó VT (2) 4 3 . Chứng tỏ 3 3 3 3 3 TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm x 3 4 0,25 b Giải phương trình: 2x2 11x 23 4 x 1 1,00 ĐK: x 1 . (1) 2(x2 6x 9) (x 1 4 x 1 4) 0 0,25 2(x 3)2 ( x 1 2)2 0(*) 0,25 x 3 0 2 Do a 0(a) nên pt(*) x 1 2 0 0,25 x 3 . Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3 0,25 M (1;4) . Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm 3 a 1,00 giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB()xA; yB 0 x y Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB: 1 0,25 a b 1 4 4 16 Vì AB qua M nên 1 1 2 1 0,25 a b ab ab ab 1 4 1 a 2 8;" " 2 a b 2 b 8 0,25 1 1 Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S OA.OB ab 8 . Vậy S 2 2 0,25 nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8) b (C): (x 2)2 (y 3)2 9 ;A(1; 2) . qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm 1,0 giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì IA2 (1 2)2 ( 2 3)2 2 9 0,25 Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có IH 2 HN 2 IN 2 9 MN 2 4HN 2 4(9 IH 2 ) 0,25 Mà IH  AH IH IA 2 MN 2 4(9 2) 28 MN 2 7 0,25 Vậy MN nhỏ nhất bằng 2 7 khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A 0,25 Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 4 a 1,5 AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2     Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành AB DC AB DC 0 0,25   2  2  2   AB DC 0 AB DC 2AB.DC 0 0,25    AB2 DC 2 2AB.(AC AD) 0 0,25 AB2 DC 2 (AB2 AC 2 BC 2 ) (AB2 AD2 BD2 ) 0 (*) 0,25 2 2 2 2 2 2 ( vì a b a 2a.b b 2a.b a b a b ) 0,25 (*) AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 (Đpcm) 0,25 ( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ) 1 1 1 4 b Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 (1) 1,5 ha b c Có a.ha 2S bcsin A 0,25 1 a2 4R2 2 2 2 2 2 2 ha b c sin A b c 0,25 (1) b2 c2 4R2 sin2 B sin2 C 1 0,25 1 cos2B 1 cos2C 2 cos2B cos2C 0 0,25 2cos(B C)cos(B C) 0 0,25 B C hay A 2 2 0 B C ;0 B C B C 2 0,25 Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có B C 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a 5 CMR : 3 ;a,b,c 0 1,00 b c c a a b a b c 2 2a 2b 2c XétM= 1 1 1 b c c a a b a b a c b c b a c a c b 0,25 b c c a a b 1 1 1 1 1 1 (a b)( ) (b c)( ) (c a)( ) b c c a c a a b a b b c 2 1 2 1 2 1 (a b) (b c) (c a) 0,25 (b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c) 1 4 4 1 Vì ; (b c)(c a) (a b 2c)2 (2a 2b 2c)2 (a b c)2 1 (a b)2 0,25 (a b)2 0 (a b)2 ;" " a b (b c)(c a) (a b c)2 Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại a b 2 b c 2 c a 2 Suy ra M (Đpcm); “=” a b c 0,25 a b c 2 Hình vẽ câu 3b: I A M N H Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất