Đề thi giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Trường Tộ (Có đáp án)

28 trang thaodu 47982

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Trường Tộ (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_thi_giua_hoc_ki_ii_mon_toan_lop_9_truong_thcs_nguyen_truo.pdf

Nội dung text: Đề thi giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Trường Tộ (Có đáp án)

1/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2013 - 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút 3x 2 1 1 Bài 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức với xx 0, 1 A : x 1 x 1 x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị của biểu thức A với x 4 2 3 x 1 3) Với 01 x , hãy so sánh A với biểu thức x Bài 2(2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Người ta định cải tạo 1 mảnh vườn hình chữ nhật để trồng hoa. Nếu giảm chiều dàiđi 2m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn tăng 14m2. Nếu giảm mỗi chiều của mảnh vườn đi 1m thì diện tích của mảnh vườn giảm 38m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh vườn. Bài 3 (1,5 điểm). Cho phương trình ẩn xmxmxm: 1– 2 – 23 0 1 a) Giải phương trình với m 2 b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Bài 4 (3,5 điểm). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn OR; kẻ hai tiếp tuyến AB AC, tới đường tròn ( BC, là các tiếp điểm). Lấy điểm I thuộc dây BC sao cho I B I C . Kẻ đường thẳng d vuông góc với OI tại I , đường thẳng d cắt các tia AB AC, lần lượt tại E và F 1) Chứng minh các tứ giác OIBEOIFC, là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh O E F là tam giác cân. 3) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA, nó cắt tia AB, AC lần lượt tại P và Q . Tìm vị trí của A để diện tích APQ nhỏ nhất. Bài 5 (0,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA và MA (A, B là tiếp điểm). C là một điểm trên đường tròn tầm M bán kính MA và nằm trong đường tròn tâm (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PQ là đường kính của đường tròn (O). HẾT Nhóm Toán THCS:
2/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2013 - 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 3x 2 1 1 Bài 1.a) A : x 1 x 1 x x x 3211x : xxxx 111 xx 1 311xx21 x : xxxxxxxx 111111 3221xxxxx 12 xx 1 :. xxxxxx 11111 xx 21 2 b) Ta có: xTM 42331 x 3131 x 3 13 113 3 13 2 A 13 x 13 1 13 2 3 23 2 1 Vậy với x 423 thì A 13 x 11 x x x xx 1 c) Xét hiệu: A x x 1 x x x 11 x x x x x x 1 x x 11 x x x 1 1 x 1 Với 0 x 1 0 x 1 x 1 0 0 A x 1 x x 1 Vậy với 01 x thì A x Nhóm Toán THCS:
3/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 2. Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là x ( x >2;m) Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là y ( y > 1;m) Nếu giảm chiều dài đi 2m: x– 2 (m), tăng chiều rộng thêm 2m: y + 2 (m) thì diện tích mảnh vườn tăng 14m2 nên ta có phương trình : xyxy – 2 2 14 (1) Nếu giảm mỗi chiều đi 1m, ta có: chiều dài là x– 1 (m), chiều rộng là y– 1 (m) thì diện tích mảnh vườn giảm 38m2 nên ta có phương trình : (1)(1)38xyxy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (2)(2)1422414221824xyxyxyxyxyxyx ()tmdk (1)(1)381383915xyxyxyxyxyxyy Vậy, chiều dài ban đầu của mảnh vườn là 24m Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là 15m Bài 3a) Thay m 2 vào phương trình (1) ta được: 3–xx2 4 – 1 0 27 Tính được: '70'7 x 1,2 3 27 Vậy khi m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x 1,2 3 m 1 a 0 b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 3 '0 m 2 Vậy Bài 4. 1) Ta có vì d OI EIO 90  , AB, AC là tiếp tuyến nên OB AE, OC AC Tứ giác OIBE có BI, nhìn OE dưới một góc vuông, nên OIBE,,, cùng thuộc đường tròn đường kính OE hay OIBE là tứ giác nội tiếp. Tương tự tứ giác OIFC có IC, cùng nhìn OF dưới một góc vuông, nên OIFC,,, Nhóm Toán THCS:
4/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê cùng thuộc đường tròn đường kính OF hay O I F C là tứ giác nội tiếp 2) Ta có tứ giác O I B E nội tiếp nên O E I O B I (1) Tứ giác O I F C nội tiếp nên O C I O F I (2) Mặt khác tam giác O B C cân tại O O C I O B I (3) Từ (1) (2) và (3) ta có O E I O F I nên O E F cân tại O 1 3) Ta có SSOB APOB22 AP APQOAP 2 Vậy S R APQ A P . , ta có R cố định để S APQ nhỏ nhất thì AP nhỏ nhất APABBPABBP 2. (Cô si) Mà AB. BP OB 2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) Nên APOBR 222 dấu "" sảy ra ABBP Khi đó tam giác AOP vuông cân tại O (Tam giác vuông có đường cao tương ứng với cạnh huyền vừa là trung tuyến) R OAR 2 sin 45 2 Vậy MinSR APQ 2 với điểm A cách tâm O một khoảng bẳng R 2 Bài 5. 1 Xét đường tròn (O) có: BO11 (hệ P 2 A quả góc nội tiếp) 1 1 Xét đường tròn (M) có: BM 1 112 C 1 M O (hệ quả góc nội tiếp) 2 2 1 Suy ra: OM(1)11 1 Xét đường tròn (O) có: AO (hệ B 122 Q quả góc nội tiếp) 1 Xét đường tròn (M) có: AM (hệ quả góc nội tiếp) 122 Nhóm Toán THCS:
5/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Suy ra: O M22 ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra: OOMMAMB1212 (3) Tứ giác MAOB nội tiếp AMBAOB180 0 (4) 0 Từ (3) và (4) suy ra O12 O AOB 180 suy ra: P, O, Q thẳng hàng. Vậy PQ là đường kính của đường tròn (O). Nhóm Toán THCS:
6/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2014 - 2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút x 111 Bài 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức P : x 9 xxx 33 a) Rút gọn biểu thức P 8 b) Tính giá trị của biểu thức P với x 35 1 c) Tìm giá trị của x để P 3 Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình (năm 2014– 2015) Từ hai địa điểm A và B cách nhau 150km có hai ô tô ngượcđi chiều nhau. Nếu cùng khởi hành thì sau 1 giờ 30 phút hau xe gặp nhau. Nếu xe đi từ A khởi hành trước xe đi từ B1 giờ thì 2 xe gặp nhau sau khi xe đi từ B đi được 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 3 (1,5 điểm). Cho Parabol :Pymx 1 2 và đường thẳng dymxm : 2 – 1 (m là tham số). 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m 2 b) Tìm giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là 2 tiếp điểm). Vẽ đường thẳng d đi qua S nhưng không đi qua tâm O, cắt (O) tại M và N với SM < SN. 1) Chứng minh: SO  AB; 2) Gọi H là giao điểm của SO và AB. Gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp; 3) Chứng minh: OI.OE R 2 ; 4) Cho biết SO = 2R và MN = R3. Tính diện tích ∆ ESM theo R. Bài 5 (0,5 điểm) Tìm GTLN của biểu thức: A x y z xy xz yz . Biết x2 y 2 z 2 3 . HẾT Nhóm Toán THCS:
7/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2014 - 2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1. ĐKXĐ: xx 0 ; 9 x 111 1) P : x 9 xxx 33 xxx 13 : xxxxxx 3333 x 3 xxxx 33 : xxxxxx 33333 xx 3 xx 3 . xx 333 3 xx 3 . xx 33 3 x x 3 824 8 58 3 5 2 2) Ta có: xTM 6 2 55 1 35 3 5 3 5 4 x 51 x 5 15 11 3 5 35 5 1 1 5 4 P x 3 5 1 3 5 4 5 4 5 4 1111 8 3 5 1 Vậy với x thì P 35 11 Nhóm Toán THCS:
8/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 11x 33xx 3) P P 00 0 3 33x 3 xxxx 33 33xx 23x 0 0 xx 3 xx 3 Với xxxxx 003030 1 39 Để P thì 230xxx 3 24 9 1 KHĐK: Với x và x 9 thì P 4 3 Bài 2. + Gọi vận tốc xe ô tô đi từ A là x ( x > 0; km/h ) Vận tốc xe ô tô đi từ B là y ( y > 0; km/h ) + Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ Quãng đường xe đi từ A đi được đến lúc gặp xe đi từ B là 1,5x (km) Quãng đường xe đi từ B đi được đến lúc gặp xe đi từ A là 1,5y (km) Vì quãng đường AB dài 150km nên ta có phương trình: 1,51,5150xy (1) + Thời gian xe đi từ A đi được đến lúc gặp xe đi từ B là 2 (h) Quãng đường xe đi từ A đi được đến lúc gặp xe đi từ B là 2x(km) Quãng đường xe đi từ B đi được đến lúc gặp xe đi từ A là y (km) Vì quãng đường AB dài 150km nên ta có phương trình: 2150xy (2) + Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 1,5xyx 1,5 yx 15010050 ()tmdk 2150215050x yx yy Vậy, vận tốc của xe đi từ A và xe đi từ B là 50km/h Bài 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : m 1 x22 2 mx – m 1 m 1 x 2 mx m – 1 0 * Nhóm Toán THCS:
9/2 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 a) Thay m vào phương trình (*) ta được : 2 xx2 – 2 1 0 Phương trình có nghiệm kép xx12 1 1 Khi đó y 2 1 Vậy tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) khi là A(1; ) 2 b) Xét phương trình (*). Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt m 1 a 0 1 '0 m 2 Bài 4. 1) Vì SA và SB là 2 tiếp tuyến của (O) A SA = SB và SO là phân giác B SA Có: ∆ ASB cân tại S SO là phân giác đồng thời là đường cao. H S SO  AB. O M 2) Vì I là trung ểđi m của MN I OE MN tại I (liên hệ giữa đường N B kính và dây cung) EIS90 0 Có: SO AB tại H EHS90 0 Xét tứ giác IHSE có: EHSEIS90 0 Tứ giác IHSE nội tiếp. E OHOE 3) Chứng minh: ∆OHE ∽ ∆OIS (g.g) OI.OE = OH.OS OIOS Xét ∆OBS vuông tại B, đường cao BH có: OB2 OH.OS OI.OE = OB22 R Nhóm Toán THCS:
10/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê MNR3 4) Vì I là trung ểđi m của MN IM 22 2 2 2222 R3RR Xét ∆OMI vuông tại I có: OIOMIMROI 242 R Có: O I . O E R 2 OE.ROE =2 2R 2 R 3R IE = 2R 22 2 2 222 2 R15RR15 Xét ∆OIS vuông tại I có: SISO IO2RSI 242 R15R3 R153 SMSIIM 222 2 113R R1533R153 Có: S.SM.IE SME 22228 Bài 5. xyxy22 2 22222 Cách 1: Ta có: yzyzxyzxyyzzx 2 22 zxzx 2 Suy ra: xyyzzx 3(1) Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y z 12 1 2 1 2 x 2 y 2 z 2 3 3 3(2) . Từ 1 và 2 suy ra: A 3 3 6 . x y z,3 xyz222 Dấu = xảy ra khi: 1 1 1 x y z 1. xy z Vậy GTLN của A 61 khi x y z Cách 2: xyz2 2 2 3 ( xyz ) 2 2( xyyzzx ) 3. Nhóm Toán THCS:
11/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê t 2 -3 Đặt txyztsuy raxyyzzx,3: 2 2 t -3 1 Suy ra: A t ( t 1)2 2 22 11 tttt 314(1)8(1)26 22. 22 Su y ra A:6 . Vậy GTLN của Akhixyz 61. Nhóm Toán THCS:
12/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút xxxx 323 Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức P xxxx 632 1) Rút gọn và tìm ĐKXĐ của P 2) Tính giá trị của P với x 20 6 11 1 3) So sánh P với 3 Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Có một mảnh vườn hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn giảm đi 54m2. Nếu giảm chiều dài đi 4m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m2. Hãy tính diện tích của mảnh vườn đó. Bài 3 (2 điểm). Cho phương trình x22 (2m 1)x m m 6 0 (m là tham số) 1) Giải phương trình với m5 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 3) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x 2 thỏa mãn: 5xx512 Bài 4 (4 điểm). Nguyễn Trường Tộ - Năm 2014 – 2015 Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là 2 tiếp điểm). Vẽ đường thẳng d đi qua S nhưng không đi qua tâm O, cắt (O) tại M và N với SM < SN. 1) Chứng minh: SO  AB; 2) Gọi H là giao điểm của SO và AB. Gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp; 3) Chứng minh: OI.OE R 2 ; Nhóm Toán THCS:
13/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 4) Cho biết SO = 2R và MN = R3. Tính diện tích ∆ ESM theo R. HẾT UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1. 1) ĐKXĐ xx 0 ; 4 xxxxxxxx 323323 P xxxxxx 63 232 xx 32 xxxxxxxx 3223321 xxx 21 xxxxxx 323232 x 3 2 2 1131 113 111211 2 11 2) Với x 20611113 ta có P 2 113 311 11 1133 11121xx 3) Xét hiệu PP 0 333 x 3 33 x Bài 2. - Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là: x, y (x, y > 0, m) - Diện tích mảnh vườn ban đầu là: xy (m2) - Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn giảm đi 54m2 nên ta có phương trình: xyxyxy 83543830 (1) - Nếu giảm chiều dài đi 4m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m2 nên ta có phương trình: x 4 y 2 xy 32 2 x 4 y 40 (2) Nhóm Toán THCS:
14/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 8xy 3 0 - Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 4xy 4 0 x 50 - Giải hệ phương trình ta được: (TMĐK) y 15 - Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là: 50m và 15m - Vậy diện tích của mảnh vườn là: 50.15 = 750 (m2) Bài 3. x(2m1)xmm6022 (1) 1) Thay m5 vào phương trình (1) ta được: x(101)x(5)(5)6022 x11x2402 x3x8x2402 x(x3)8(x3)0 (x3)(x8)0 x3 x8 Vậy S3;8   2) x(2m1)xmm6022 (1) (2m1)4(mm6)22 4m4m14m4m2422 250m Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 3) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2m 1 5 2m 1 5 x m 3; x m 2 1222 Nhận thấy m 3 m 2  m nên theo bài ra 5 x12 x 5 m 3 5 m 2 2 m 3 m 2 5 m 3 Vậy 2 m 3thì phương trình có hai nghiệm x1 và x 2 thỏa mãn: 5 x12 x 5 Nhóm Toán THCS:
15/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 4: 1) Vì SA và SB là 2 tiếp tuyến của (O) A SA = SB và SO là phân giác B SA Có: ∆ ASB cân tại S SO là phân giác đồng thời là đường cao. H SO  AB. O S M 2) Vì I là trung điểm của MN I OE MN tại I (liên hệ giữa đường kính N và dây cung) E I S 9 0 0 B Có: SO AB tại H E H S 9 0 0 Xét tứ giác IHSE có: E H S E I S 9 0 0 Tứ giác IHSE nội tiếp. E OHOE 3) Chứng minh: ∆OHE ∽ ∆OIS (g.g) OI.OE = OH.OS OIOS Xét ∆OBS vuông tại B, đường cao BH có: OBOH.OS2 OI.OE = OBR22 MNR3 4) Vì I là trung điểm của MN IM 22 2 2 2222 R 3RR Xét ∆OMI vuông tại I có: OIOMIMROI 242 R Có: OI.OER 2 OE.ROE =2 2R 2 R 3R IE = 2R 22 2 2 222 2 R15RR 15 Xét ∆OIS vuông tại I có: SI SO IO2RSI 242 R 15 R 3 R 15 3 SM SI IM 2 2 2 2 113R R 15 33R 15 3 Có: S.SM.IE SME 22228 Nhóm Toán THCS:
16/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút x 251 Bài 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức P xxxx 362 1) Rút gọn và tìm ĐKXĐ của P 2) Tính giá trị của P với x 1 4 6 5 3) Tìm giá trị của x để PP Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một xà lan chuyên chở hàng hóa trên sông với vận tốc riêng không thay đổi. Nếu xà lan xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 1,5 giờ thì được tổng cộng 66km. Khúc sông xà lan xuôi dòng trong 1,5 giờ ngắn hơn khúc sông xà lan ngược dòng trong 2,5 giờ là 15km. Tính vận tốc riêng của xà lan và vận tốc dòng nước. Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình mx2 2(m 1)x m 1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình với m2 b) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm Bài 4 (3,5 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) dựng các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với đường tròn (A, B là các tiếp điểm, MC < MD). Gọi E là trung điểm của CD a) Chứng minh 5 điểm M, A, E, O, B cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh MC. MDMB 2 c) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA, nó cắt AB tại F. Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp 1 1 2 d) Gọi H là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: MC MD MH Nhóm Toán THCS:
17/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 Bài 5: (0,5 điểm). Tìm GTNN của biểu thức A x x 2 với x > 0 x HẾT UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1. 1) ĐKXĐ xx 0 ; 4 xx 251251 P xxxxxx 36 232 xx 32 xxxxx 22 5343 xxx 124 xxxxxx 323232 x 2 2 2 354 3545135 2) Với x 146535 ta có P 2 35215 2 352 x 4 x 16 3) ĐKXĐ của P là 0 x 2 04 x x 42 Ta có P P P PPxx2 11002 04 xx 22 Kết hợp với điều kiện 04x Bài 2. - Gọi vận tốc riêng của xà lan và vận tốc dòng nước lần lượt là: x, y (x > y > 0, km/h) - Vận tốc xà lan xuôi dòng là: xy (km/h) - Vận tốc xà lan ngược dòng là: xy (km/h) Nhóm Toán THCS:
18/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê - Nếu xà lan xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 1,5 giờ thì được tổng cộng 66km nên ta có phương trình: xyxy 1,5.66 (1) - Khúc sông xà lan xuôi dòng trong 1,5 giờ ngắn hơn khúc sông xà lan ngược dòng trong 2,5 giờ là 15km nên ta có phương trình: 2,5.1,515 xyxy (2) xyxy 1,5.66 - Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (I) 2,5.1,5.15 xyxy - Đặt xyaxyb ; aaxyx 1,5b66303027 Hệ (I) (TMĐK) 2,51,51524243babxyy Vậy vận tốc riêng của xà lan và vận tốc dòng nước lần lượt là: 27 km/h và 3km/h. Bài 3. a) mx2(m1)xm102 (1) Thay m2 vào phương trình (1) ta được: 2x2(2 21)x( 2)10 2x6x102 3(2 1)( 2)9270 37373737 x;x 12 2222  3737 Vậy S;  22 b) Trường hợp 1: m = 0, phương trình (1) trở thành: 0x2 2(0 1)x 0 1 0 1 2x 1 x 2 Phương trình có một nghiệm Trường hợp 2: m0 (1) (m1) 2 m(m 1) m 2 2m 1 m 2 m 3m 1 Để phương trình (1) có một nghiệm Nhóm Toán THCS:
19/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 03m10 1 m(TM) 3 1 Vậy m0 hoặc m thì phương trình có một nghiệm. 3 A D Bài 4. E C a) Chứng minh 5 điểm M, A, E, O, B cùng thuộc đường tròn O * Xét (O) có OE là 1 phần đường kính M E là trung điểm CD O E C D (liên hệ giữa đường kính và dây cung) B * Xét tứ giác MAEO có: MAOMEO 900 A, E là 2 ỉđ nh kề nhau cùng nhìn cạnh MO dưới 1 góc không đổi MAEO nội tiếp * Tương tự MEOB nội tiếp Vây 5 điểm M, A, E, O, B cùng thuộc đường tròn. b) Chứng minh MC. MD MB2 Xét M C B và M B D có: CMBchung BD11 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn CB ) MC MB MCB MBD(.). g g MC MD MB2 MB MD c) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA, nó cắt AB tại F. Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp A D Ta có: CF// MA M11 C (đồng vị) F E 1 MO (góc nội tiếp cùng chắn AE ) 1 11 C H 1 1 O BO21 (góc nội tiếp cùng chắn ) M 2 1 Nhóm Toán THCS: B
20/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê CB12 C, B là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh EF dưới góc không đổi Tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp 112 d) Gọi H là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: MCMDMH MAMH MAHMEAg gMAMH(.). ME 2 MEMA MAMC MACMDAg gMAMD(.). MC 2 MDMA MH 2 2 ME MC MDMH MEMC MD MH ME ED ME ECMC 2 2 MDMH MD MCMC MD MD MC 2112 MC. MDMHMC MDMH Bài 5. 1 12 1 1 Cách 1: Axx 2 Axx 2 Axx 2 AAxxx 22 2 2 x x x x 11 AAxAxA243 22 2 CosiAAAA .2 24.282 xx 1 2Ax 1 Vậy MinAx 2 x 2 A 2 Cách 2: Áp dung BĐT Cô si Nhóm Toán THCS:
21/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1111111111 8 229 9 xx 9.9 246 8888888882xxxxxxxxxx 1913 xx22 xx3 282x 3 16x 131111 xxxxx 2 4.24 xx333316161616xxxx 16 A 2 11 Vậy MinA 2 x2 x 82x UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2017 - 2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (2 điểm): Cho các biểu thức: 1 x 1521 xx A xx 0; 25 và B : với 1 x x 25 xx 55 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 625 . 2) Rút gọn B. 3) Tìm a để phương trình ABa có nghiệm. Bài 2: (2 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định. Nếu tăng thêm 10 công nhân thì công việc hoàn thành sớm được hai ngày. Nếu bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày? 11 3 x 1 y 2 Bài 3 (2 điểm). 1) Giải hệ phương trình sau 32 1 x 1 y 2 2) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng dyx :23 a) Chứng minh rằng đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B và tìm tọa độ của và . Nhóm Toán THCS:
22/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của parabol P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) với dây AB < 2R cố định. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn, M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác BMHI nội tiếp 2) NI. NB = NH. NM 3) KH là phân giác của góc AKI, IA là phân giác cảu KIH. 4) Khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng 2 bán kính của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác NAH và NBH có giá trị không đổi. Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số thực không âm a b,, c thỏa mãn abc 3. abc Tìm GTNN của biểu thức P . 111 bca222 Hết . UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2017 - 2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1. 2 1) Ta có: x 6 2 5 5 2 5 1 5 1 (thỏa mãn điều kiện) 2 x 5 1 5 1 5 1 1 5 1 25 Thay vào biểu thức A ta được: A . 1 5 1 5 2) Rút gọn B: Nhóm Toán THCS:
23/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1525 xx B . xx 55xx 51 15 xx25 x 5 . x 5 x 5 x 5 x 5 x 1 xx 55 = . xx 55 x 1 1 = (với xx 0 ; 2 5 ). x 1 3) Với thì: 11 x x ABaa a xax 1 axa1 11 xx 1 x *) Trường hợp 1: Với a 1: Phương trình vô nghiệm. a *) Trường hợp 2: Với a 1: Phương trình có dạng x a 1 Phương trình này có nghiệm thỏa mãn xx 0; 25 a 0 10a a 1 aa 10 10a 5 a aa51 65a a 5 6 a 1 10a Do nên giá trị cần tìm của a là: 5 a 6 Bài 2. Gọi số công nhân cần theo dự định là x (người) ( x N; x 10 ) Số ngày dự định để hoàn thành công việc là y (ngày) ( yN ; y 2 ) Khi đó: ốs công cần làm là: xy . Ta có bảng: Số công nhân Số ngày làm Số công làm được Nhóm Toán THCS:
24/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dự định x y xy Thêm 10 người x 10 y 2 xy 10 2 Bớt đi 10 người x 10 y 3 xy 10 3 Vì vẫn làm cùng một công việc nên số công làm được là không đổi. Do vậy, ta có hệ phương trình: xyxy 102 xyxy 103 xyxyxy 21020 xyxyxy 31030 21020xy 31030xy x 50 (thỏa mãn điều kiện). y 12 Vậy, theo dự định cần 50 công nhân làm trong 12 ngày. Bài 3. 1) Điều kiện xác định xy 1,2 1 1 Đặt aa ,0; bb ,0 x 1 y 2 a b 31 a Hệ pt đã cho trở thành 3a 2 b 1 b 2 1 1 x 2 x 1 5 (tmđk) 1 y 2 2 y 2 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là xy; 1; 4 2a) Phương trình hoàng độ giao điểm của d và P là Nhóm Toán THCS:
25/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê xxxx22 23230 1 Để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ta có 1230 phương trình có hai nghiệm x1 1 và x2 3 Khi đó y1 1 và y2 9 Vậy tọa độ giao điểm của d và P là AB 1;1,3;9. Bài 4.1) Ta có: ANNCABNNMC => Tứ giác BMHI nội tiếp. M A H K O B N I C 2) Theo câu a, tứ giác BMHI nội tiếp HMBHIB 1800 mà NIHHIB 1800 => HNBHIB Xét ∆NIH và ∆NMB có: MNB chung Nhóm Toán THCS:
26/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê H M B H I B (cmt) => ∆NIH∽∆NMB (g.g) NI NH NI NB NH NM NM NB 3) Ta có: MAMBACMMNB => tứ giác KINC nội tiếp K I N K C N (cùng chắn KN ) mà K C N A B N (cùng chắn AN ) => K I N A B N mà chúng ở vị trí đồng vị => KI // AH (1) Theo câu a) Tứ giác BMHI nội tiếp I M B I H B (cùng chắn IB ) mà IMB CAB (cùng chắn BC ) IHBCAB , mà chúng ở vị trí đồng vị => IH // AK (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác AHIK là hình bình hành. 1 Lại có AHK (sđ MB + sđ AN ) 2 1 AKH (sđ AM + sđ NC ) AKHAHK 2 => ∆ AHK cân tại A => AH = AK Hình bình hành AHIK có AN = AK => Tứ giác AHIK là hình thoi => KH là đường phân giác A K I , IA là phân giác KI H 4) Gọi OO12, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ANH và ∆BNH => ∆O1 AH cân tại O1 và ∆O2 BH cân tại O2 Có AO1 HANH 2 => O1122 AHO HA O HBO BH BO2 H 2 BNH => AO12 H BO H mà ANH BNH Nhóm Toán THCS:
27/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Gọi D là giao của AO1 và BO2 => ∆ ADB cân tại D => M, O,D thẳng hàng 0 Có AMDMABANM => MA là tiếp tuyến của O1 => M A D 90 => MD là đường kính của (O) => D cố định Ta chứng minh được AOHADBHODO112 // AOBHOBHODO 221 // => Tứ giác H O12 D O là hình bình hành O21 H D O Có RRO121211 AOHO AOAD A, D cố định => AD không đổi => RR12 không đổi Bài 5. aaababababab 2222 Ta có: aaa (Vì 121.2 bbb22). 11122 bbbb222 bbbcbcbcbcbc 2222 Tương tự: bbb . 11122 cccc222 cccacacacaca 2222 ccc . 11122 aaaa222 Cộng vế theo vế ta được: 1 P a b c ab bc ca 2 1 hay P 3 ab bc ca 1 . 2 Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: abbcca abcbca2 2 2 2 2 2 abc 2 2 2 ab bc caa b cab 2 bc2 ca 39 ab bc ca ab bc ca 3 2 . Nhóm Toán THCS:
28/ 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 3 Từ 1 và 2 suy ra: P 3 . 3 hay P . 2 2 abc222 1 Dấu = xảy ra khi abc abc1. bca 3 Vậy GTNN của P bằng . 2 Nhóm Toán THCS: