Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 3 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 3 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 3 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 Câu 1. Tính: P 2005 : 11 12 . 3 . 5 5 1,5 1 0,75 0,625 0,5 11 12 a 1 b 3 c 5 Câu 2. Cho và 5a – 3b – 4c = 46. Xác định a, b, c. 2 4 6 Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2020 x 2018 2019 x 2020 x khi x thay đổi. Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm) 213 Câu 1. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của 70 chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. Câu 2. Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. y 2 a) Tính tỉ số 0 . x0 4 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC. Bài 3 : ( Hình học : 2 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE. Tìm số đo các góc nhọn của tam giác ABC biết EC – EA = AB. Bài 4 : ( Hình học : 5 điểm) Cho x·Ay = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Câu 1. Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = 2 Câu 2. Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Hết
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm) 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 Câu 1. Tính: P 2005 : 11 12 . 3 . 5 5 1,5 1 0,75 0,625 0,5 11 12 3 3 3 3 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 3 5 8 10 11 12 2 3 4 P 2005: 8 10 11 12 . 2 3 4 2005: . 5 5 5 5 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 5 3 8 10 11 12 2 3 4 8 10 11 12 2 3 4 3 5 2005: . 2005 5 3 a 1 b 3 c 5 Câu 2. Cho và 5a – 3b – 4c = 46. Xác định a, b, c. 2 4 6 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a 1 b 3 c 5 5a 5 3b 9 4c 20 5a 3b 4c 5 9 20 46 6 Ta có: 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 26 a 1 2 2 a 3 b 3 2 b 11 4 c 7 c 5 2 6 Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2020 x 2018 2019 x 2020 x khi x thay đổi. Ta có: x 2018 2020 x x 2018 2020 x 2 x 2019 x 0 x x 2018 2020 x 2019 x 2 x 2020 x 2018 2020 x 2019 x 2018 x GTLN của A là 2018. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2018 0 x 2018 2020 x 0 x 2020 x 2018 2020 x 0 2018 x 2020 x 2018 0 x 2018 x 2019 2019 x 0 l x 2019 2020 x 0 x 2020 x 2019 x 2019 Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm)
3. 213 Câu 1. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của 70 chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. a b c a b c 213 Gọi ba phân số cần tìm là: ; ; . Ta có: x y z x y z 70 a b c x y z Ta có: và 3 4 5 5 1 2 a b c a b c y 3 4 5 x z x y z 3 4 5 5 1 2 5 1 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: b a b c a c 213 y x y z 3 x z 70 3 4 5 3 5 71 4 7 5 1 2 5 2 10 a 3 3 9 . x 7 5 35 b 3 12 .4 y 7 7 c 3 5 15 . z 7 2 14 Câu 2. Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. y 2 a) Tính tỉ số 0 . x0 4 Điểm A(2;1) thuộc đồ thị hàm số y = a.x Suy ra 1 = a.2 => a = ½ y 1 Suy ra y = ½.x => x 2 Lại có B(x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = a.x y 1 2 y 2 Suy ra 0 0 x0 2 4 x0 4 y 2 1 Vậy 0 x0 4 2 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC. 1 x0 = 5 => y .5 2,5 0 2 Tính diện tích tam giác OBC là: CB.CO:2 = 2,5.5:2 = 25/4 (đvdt) Bài 3 : ( Hình học : 2 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE. Tìm số đo các góc nhọn của tam giác ABC biết EC – EA = AB. Lấy F thuộc CE sao cho EA = EF
4. EC EA AB EC EF AB CF AB C Mà AB BF => FB = FC => Bµ Cµ 1 1 1 µ µ µ µ F1 B1 C1 2B1 µ µ A 2B1 µ µ 0 A B1 90 F µA 600 Cµ 300 1 E 1 1 B A Bài 4 : ( Hình học : 5 điểm) Cho x·Ay = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh: a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. y M t z 1 C H K 1 2 A B x a) A1 = A2 và A1 = BCA (so le trong) => A2 = BCA => tg ABC cân Lại có BK là đường cao nên KA = KC => K là trung điểm của AC b) tg AMC vuông tại M có MK là đường trung tuyến => MK = KA = KC đồng thời MC đối diện với A1 = 300
5. => MC = 1/2AC Vậy MK = KC = MC => tg MKC đều c) BK =2cm => AB = 4cm => AK = 2 3 cm => KM = MC = 2 3 cm => AC = 4 3 cm => AM = 6cm Bài 5 : ( Số học : 3 điểm) Câu 1. Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = 2 => 4xy – 2x – 2y = 4 => 2x(2y – 1) – (2y – 1) = 5 => (2x – 1) (2y – 1) = 5 2x – 1 -1 1 -5 5 2x 0 2 -4 6 x 0 1 -2 3 2y – 1 -5 5 -1 1 2y -4 6 0 2 y -2 3 0 1 Các cặp (x;y) thỏa mãn là: {(0;-2);(1;3);(-2;0);(3;1)} Câu 2. Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. abcabc abc.1001 abc.91.11M11