Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

1. Phòng giáo dục - đào tạo Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 Tiền hải Môn: Toán 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 3n 3n 2 270 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho biểu thức: A 22 32 42 52 62 72 82 92 102 Chứng tỏ rằng A < 1. Bài 2 (4 điểm) a) Tỡm x biết: x 6 2x 10 b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời hai điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1 Bài 3 (4 điểm) 1 a) Chứng minh rằng ba đơn thức x3y4 ; x4y3; 2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 2 b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5. Bài 4 (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của ÃBC cắt AC tại D, tia phõn giỏc của ÃCB cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K. a) Chứng minh rằng BA = BH và BD  AH b) AB + AC = BC + HK c) Tớnh số đo gúc HAK Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho DãAE Ã BD . Chứng minh EãBC EãCA –––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––
2. Phòng giáo dục - đào tạo kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 Tiền hải đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 3n 3n 2 270 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho biểu thức: A . Chứng tỏ rằng A < 1. 22 32 42 52 62 72 82 92 102 Cõu Nội dung Điểm Ta cú: 3n 3n 2 270 3n 1 32 270 0.5 3n.10 270 0.5 n a) 3 27 0.25 3n 33 0.25 n 3 0.25 Vậy n = 3 0.25 Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 22 32 42 52 62 72 82 92 102 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 b) A 0.5 1 2 2 3 3 4 9 10 1 A 1 0.5 10 9 A 1 0.25 10 Vậy A < 1 0.25 Bài 2 (4 điểm) a) Tỡm x biết: x 6 2x 10 b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời 2 điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1 Cõu Nội dung Điểm *) Nếu x 6 thỡ |x – 6| = x – 6 nờn từ x 6 2x 10 x 6 2x 10 0.5 16 3x 16 x < 6 (loại) 0.25 a) 3 *) Nếu x < 6 thỡ |x – 6| = 6 – x nờn từ x 6 2x 10 6 x 2x 10 0.5 6 x 10 x 4 (thỏa món điều kiện x < 6) 0.25 Vậy x = 4 0.25 2 2 x y x y x2 y2 b) Từ 4x = 5y ị 0.5 5 4 5 4 25 16
3. x2 y2 x2 y2 1 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 0.5 25 16 25 16 9 x2 1 25 5 5 ị x2 x hoặc x = 0.5 25 9 9 3 3 5 5 4 *) Với x = 4. 5y y 0.25 3 3 3 5 5 4 *) Với x 4. 5y y 0.25 3 3 3 5 4 5 4 Vậy cỏc cặp số (x, y) cần tỡm là: ; ; ; 0.25 3 3 3 3 Bài 3 (4 điểm) 1 a) Chứng minh rằng ba đơn thức x3y4 ; x4 y3;2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 2 b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5. Cõu Nội dung Điểm Giả sử cả 3 đơn thức cựng cú giỏ trị õm 0,5 ị tớch của 3 đơn thức cú giỏ trị õm (1) 1 3 4 4 3 1 3 4 4 3 8 8 Mặt khỏc: x y x y 2xy . 1 .2. x .x .x y .y .y x y 0,5 2 2 a) 8 8 1 3 4 4 3 Vỡ x y 0  x; y nờn x y x y . 2xy 0  x; y (2) 0,5 2 Ta thấy (1) mõu thuẫn với (2) ị điều giả sử sai. 1 Vậy ba đơn thức x3y4 ; x4y3;2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 0,5 2 Khi 2 xe gặp nhau lần thứ 2 ở C thỡ: Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: AB+BC (1) 0,5 Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: BA+AC (2) Quóng đường 2 xe đó đi đến khi gặp nhau ở C là: (AB+BC)+(BA+AC)= 3AB 0.25 Trong cựng một thời gian, quóng đường và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ thuận. Vỡ vận tốc xe đi từ A và B tỉ lệ thuận với 4 và 5 nờn quóng đường 0.25 b) xe đi từ A và B đó đi tỉ lệ thuận với 4 và 5. ị Khi gặp nhau tại C thỡ: 4 4 0.25 Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: .3AB AB 4 5 3 5 5 Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: .3AB AB 0.25 4 5 3 ị Quóng đường xe đi từ B hơn quóng đường xe đi từ A là: 0.25
4. 5 4 1 .AB .AB .AB (3) 3 3 3 1 1 Từ (1), (2), (3)ị (BA+AC)–(AB+BC)= .AB ị AC–BC = .AB 3 3 Theo bài ra: quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km nờn ta 1 0.25 cú: .AB = 50 ị AB = 150 (km) 3 Bài 4 (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của ÃBC cắt AC tại D, tia phõn giỏc của ÃCB cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K. a) Chứng minh rằng BA = BH và BD  AH b) AB + AC = BC + HK c) Tớnh số đo gúc HAK Cõu Nội dung Điểm GT, KL và hỡnh vẽ đỳng A D E I 0.5 B K H C Chứng minh BDA = BDH (ch, gn) 0.5 ị BA = BH (Tương ứng) (đpcm) 0.5 Gọi I là giao điểm của BD và AH, chứng minh BIA = BIH (cgc) 0.5 a) Bã IA Bã IH (Tương ứng) 0.5 Mà Bã IA Bã IH 1800 (Kề bự) Bã IA Bã IH 900 BI  AH hay BD  AH (đpcm) 0,25 Theo chứng minh trờn ta cú: AB = BH 0.5 Chứng minh tương tự ta cú: AC = CK b) ị AB+AC = BH + CK = BK + KH + CK 0.5 Vậy AB+AC = BC+HK (đpcm) 0.5 1800 ÃBC BAH cõn tại B ị BãAH 0.25 2 1800 ÃCB CAK cõn tại C ị CãAK 0.25 2 ã ã ã ã c) Mà BAH CAK BAC HAK 0.25 1800 ÃBC 1800 ÃCB 900 HãAK 2 2 0.25 1800 ÃBC 1800 ÃCB 1800 2HãAK 0 ÃBC ÃCB 1800 2HãAK 0.25
5. 0 900 1800 2HãAK 2HãAK 900 0.25 Vậy HãAK 450 0.25 Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho DãAE Ã BD . Chứng minh EãBC EãCA Cõu Nội dung Điểm Vẽ hỡnh, ghi GT-KL đỳng A F 0.25 D G E H B C Kẻ AF và CG cựng vuụng gúc với BD, CH  AE 0.25 Ta cú: ABF = CAH (ch-gn) ị AF = CH Ta cú: ADF = CDG (ch-gn) ị AF = CGị CH=CG 0.25 Chứng minh CEH= CEG ị CãEH CãEG 0.25 Mà CãEH EãCA EãAC; CãEG EãBC EãCB (gúc ngoài tam giỏc) 0.25 ị EãCA EãAC EãBC EãCB Hay EãCA EãBA EãBC EãCB (vỡDãAE Ã BD nờn EãAC EãBA (1) 0.25 ABC cõn tại A Ã CB Ã BC EãCA EãCB EãBC EãBA (2) 0.25 Cộng vế với vế của đẳng thức (1) và (2) ị EãCA EãBC (đpcm) 0.25