Đề thi học sinh giỏi cấp quận vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp quận vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 QUẬN LONG BIÊN NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 14/11/2020 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: 4202831520xxxx22 . 2) Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : x y z 0. Chứng minh rằng: xyzxyz333 3 . 3) Cho các số nguyên abc,, thoả mãn điều kiện: ()()()378abbcca 333 . Tính giá trị của biểu thức Aabbcca . Câu 2: (3,0 điểm). 1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 12 Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12. 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện : xyzxyz333 2020. Câu 3: ( 3,0 điểm). xyxy2233 1) Cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh rằng: 40 yx22yx 2) Cho số thực x thỏa mãn 02 x . Tìm GTNN của biểu thức: 4100 A 2021. 2 xx Câu 4: (7,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh: BHBDBC BK và BH BDCH CEBC 2 . 2) Chứng minh BHACABC .cot . 3) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P. Chứng minh : MPMQ . Câu 5: ( 1,0 điểm). Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng ab 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? Hết Họ tên Thí sinh: SBD Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh nộp lại đề khi thi xong.
2. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM QUẬN LONG BIÊN Năm học 2020-2021 Môn thi : Toán Câu ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 Giải phương trình: 4202831520xxxx22 3,0 đ Đặt txxt 2 57,0 xxt2257 . ĐKXĐ: xR 0,5 đ 2 Phương trình trở thành: 2tt 3 1 t 1 1,0 đ 2 32101310tttt 1 t 3 1 +/ Ta có : t 0 ( loại), t 1( thỏa mãn ) 0,5 đ 3 +/ Với t = 1, ta có : 0,5 đ xxxx22 571560 x 2hoặc x 3. Vậy phương trình có tập nghiệm là S 2;3 0,5 đ 2 Cho xyz 0. Chứng minh rằng: xyzxyz333 3 1,5 đ Ta có : xyzzxy 0 0,5 đ 3 VTxyzxyxyxyxx 33333333223 yxyy 33 0,5 VT 33 xy x y xyz VP 0,5 đ 333 3 Cho các số nguyên abc,, thoả mãn ()()()378abbcca . 1,5 đ Tính giá trị của biểu thức Aabbcca . Đặt abx ; bcy ; caz xyz 0 . 0,5 đ 333 Ta có: xyzxyz 3783378 xyz 126 . Do xyz,, là số nguyên có tổng bằng 0 và xyzx y126. z .( 2).( 7).9 0,25 đ x 2 x 2 x 7 x 7 x 9 x 9 Nên y 7; y 9; y 2; y 9; y 7; y 2. z 9 z 7 z 9 z 2 z 2 z 7 0,25 đ Suy ra : A a b b c c a 18. 0,5 đ 2 1 Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 1,5 đ 12.Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12.
3. Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) – 6abc (*) Do (a + b)(b + c)(c + a)= (a+b+c)(ab+bc+ca) – abc 0,5 đ Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1) Mà a + b + c 12 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai 0,5 đ Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 0,25 đ 6abc 12 ( ) Từ (*) và ( ) P 12. 0,25 đ 2 Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y , z thỏa mãn : 1,5 đ 333 xyzxyz 2020 . 32 Ta có: xxxxxxx 1113 0,5 đ 3 3 Tương tự ta có: yy 3 ;3zz 0,5 đ xxyyzz333 3 Biến đổi PT thành: xxyyzz333 2020. Mà 2 0 2 0 3 Vậy không tồn tại ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện : 0,5đ 1 Cho x,y là hai số thực dương. 2,0 đ xyxy2233 3 Chứng minh rằng: 40 yx22yx 2 xyxyxy 22 2 xy Ta có: 20 với mọi x, y > 0. yxxyxy 0,5 đ x y x y 0,5 đ 2 0; 1 0 y x y x xyxy 0,5 đ 210 yxyx xyxy2233 0,5 đ 40 yxyx22 4 100 2 Cho 02 x . Tìm GTNN của biểu thức A 2021. 1,0 đ 2 xx 4 100 4 100 0,25 đ Ta có : A 2021 36 2 x 36 x 1949 22 x x x x Mà suy ra : 20 x a b2 ab ab,0 Áp dụng BĐT : với , dấu bằng xảy ra khi ab ta có:
4. 100 5 36x 120 ,dấu bằng xảy ra khi x . x 3 0,25 đ 4 36 2 x 24 , dấu bằng xảy ra khi . 2 x 41004100 Suy ra Axx 202136 23619492093 22 xxxx 0,25 đ 5 x 0,25 đ Vậy MinA = 2093 khi và chỉ khi 3 2 ab22 ab a, b R xy,0 Cách 2: Sử dụng BĐT: xyxy với và . 4 Q A P D 0,5 đ E H B K M C 2 1 Chứng minh: BHBDBC BK và BH BDCH CEBC . 4,0 đ Xét tam giác: BHK đồng dạng BCD có: KBH chung 0,25 đ BKH BDC 900 0,25 đ BHK đồng dạng BCD ( g.g) 0,5 đ BHBK nên 0,5 đ BCBD BH BDBC BK 0,5 đ Tương tự: CHK đồng dạng CBE 0,5 đ CHKC nên CH CEBC KC 0,5 đ BCCE Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được : 0,5 đ BH BD CH CE BC BK BC KC 2 hay BH () BD CH CE BC BK KC BC 0,5 đ 2 Chứng minh BH AC.cot ABC . 1,5 đ
5. BH BE Chứng minh : BEH đồng dạng CEA( g .g ) 0,5 đ CA CE BE Xét BEC vuông tại E cot ABC 0,5 đ CE BHBE cot.cotABCBHACABC 0,5 đ CACE 3 Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần 1,0 đ lượt tại Q và P. Chứng minh : M P M Q . PAAH Chứng minh PAH đồng dạng AMBgg(.) 0,25 đ AMMB QAAH Chứng minh: QAH đồng dạng MACgg(.) 0,25 đ AMMC QA PA Do MB MC( gt) 0,25 đ AM AM PA QA QMP cân tại M MP MQ 0,25 đ 5 Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó 1,0 đ thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng ab 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? Tổng tất cả các số ban đầu trên bảng: S 123 991005050 0,5 đ Qua mỗi bước ta thấy tổng giảm đi 2. 0,25 đ Lúc đầu tổng S 5050 sau 99 bước số còn lại sẽ là 50502.994852 . 0,25 đ Tổ giám khảo thống nhất để chia nhỏ điểm thành phần nhưng không được thay đổi tổng điểm . Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Bài thi làm tròn 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy theo quy định