Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9

1. Đề 1: 3 Bài 1- (4đ) a) Rút gọn: 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3 14 8 3 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì x4 6x3 11x2 6x 1 luôn có giá trị là số chính phương x y x y x y 2xy Bài 2 - (4đ) Cho biểu thức: P : 1 1 xy 1 xy 1 xy a) Rút gọn P 2 b) Tính giá trị của P với x 2 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 3- (4đ) Giải phương trình : a)x2 4x 2 2x 5 5 0 b) x 2 10 x x2 12x 40 Bài 4 (6đ) a) Cho ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b, Â = 2 ( < 450). 2bccos CMR: AD b c b) Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O. CMR: AC. cosA = BC.cosC Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có dạng: 2 m 1 x m 2 y 2 . Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất? Đề 2 Bài 1 (5 điểm). 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0 a 1 1 a a a a a 1 1. Rỳt gon biểu thức A.
2. 2. Thớnh giỏ trị của biểu thức A khi a = 2010 -22009 . Bài 2 (4 điểm). 1. Giải phương trỡnh (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x 3 y 3 3( x y) 2. Giải hệ phương trỡnh: x y 1 Bài 3 (4 điểm). 1. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: y2 = - 2(x6- x3y - 32) 2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú phõn giỏc AD. Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu của B, C lờn đường thẳng AD. Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài 4 (5 điểm). Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trờn cạnh BC; cỏc điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN. 1. Chứng minh gúc MCN bằng gúc MAL. 2. Chứng minh ∆LMN vuụng cõn 3. Diện tớch ∆ ABC gấp 4 lần diện tớch ∆MNL, hóy tớnh gúc CAP. a 2 b 2 Bài 5 (2 điểm).Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 4 3 a b Đề 3 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 1: (4,0 điểm) a) Rỳt gọn biểu thức A = x 5 x 6 x 2 3 x b) Cho x, y, z thoả món: xy + yz + xz = 1. (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 ) Hóy tớnh giỏ trị biểu thức: A = x y z (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tớnh f(a) tại a = 3 16 8 5 3 16 8 5 b) Tỡm số tự nhiờn n sao cho n2 + 17 là số chớnh phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
3. a) 1 x 4 x 3 b) x2 4x 5 2 2x 3 Bài 4: (3,0 điểm) a) Tỡm x; y thỏa món: 2 x y 4 y x 4 xy b) Cho a; b; c là cỏc số thuộc đoạn  1;2 thỏa món: a2 + b2 + c2 = 6 hóy chứng minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm)Cho tam giỏc ABC nhọn; cỏc đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. KC AC 2 CB2 BA2 a) Chứng minh: KB CB2 BA2 AC 2 1 b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 2 0 c) Giả sử SABC = 120 cm và BÂC = 60 . Hóy tớnh diện tớch tam giỏc ADE?