Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015

1. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2.0 điểm) a. Rút gọn các biểu thức sau: A = 2( 3 1) 2 3 ; b. B = 2 2 5 2 2 2 5 2 b. Tìm x; y Z biết: xy2 2xy 4y x 0 Câu 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau : a. 4 2x 2 3 2x 0 b. 4x2 5x 1 3 2 x2 x 1 9x Câu 3. (2.0 điểm) x y a. Tính giá trị của Q = biết y 0; x y 0 và x2 2y2 xy x y b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 2y2 2xy 2x 3y 1 a2 b2 c2 a b c c. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Câu 4. (3.0 điểm) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH, CH. a. Chứng minh MD // NE. b. Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH. c. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất? Câu 5. (1.0 điểm). Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có hình tròn bán kính R = 1 chứa toàn bộ đa giác đó. 4 Hết./ Họ và tên: Số báo danh 1
2. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 9 Câu Ý Nội dung Điểm a A = 2( 3 1) 2 3 = 0.5 ( 3 1) 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1)2 ( 3 1)( 3 1) 2 0.5 B2 = ( 2 2 5 2 2 2 5 2 )2 = 4 - 2 4 2 5 2 = 4 -2( Câu 5 1) = 6 - 2 5 = ( 5 - 1)2. vì B < 0 nên B = 1- 5 1 2 4y b xy 2xy 4y x 0 x(y2 2y 1) 4y x . Vì x; y 0. 5 (y 1)2 nguyên mà 0.5 (y; y+1) = 1 nên (y+1)2 là ước của 4 y +1 = 2, 0, 1, -1, -2; suy ra y = 1; -1; 0; -2 -3 từ đó HS tìm x tương ứng a ĐK: 3 2x 0 hay 0.5 3 x . 4 2x 2 3 2x 0 ( 3 2x 1)2 0 2 0.5 3 2x 1 x 1thỏa mẫn ĐK vậy nghiệm phương trình là x = 1 Câu b 1 0,25 ĐK 4x2 5x 1 0 (4x 1)(x 1) 0 x hoặc x 1 2 4 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 Đặt 0,25 0.25 4x2 5x 1 m va 2 x2 x 1 n 0.25 Ta có m – n = m2 – n2 (m - n)(m + n – 1) = 0 nên m= n hoặc m = 1- n từ đó HS tìm được x rồi đối chiếu ĐK để kết luận 2 2 a Ta có: x 2y xy x2 – y2 – y2 – xy = 0 (x + y)(x – 2y) 0.25 = 0 suy ra: x = 2y 0.25 ta có Q = 1/3 Câu b M = x2 2y2 2xy 2x 3y 1= (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 – 0,25 3 y +1/4 – 1/4 0,5 M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4 -1/4. Vậy min M = -1/4 khi x = y = 1/2 2
3. c Ta có: a2 a2 b c b c a2 b c b c b c 4a b c 0.5 2 . a b c b c 4 4 b c 4 4 4 4 b2 4b a c c2 4c a b Tương tự và Cộng vế với vế ta a c 4 a b 4 0.25 có a2 b2 c2 a b c b c c a a b 2 A 0.25 E D O K G B M H N C a Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang 0.25 HS chứng minh MD  DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc 0.25 OHD) 0.25 Tương tự: NE  DE Câu 0.25 Suy ra: MD // NE 4 Kẻ MK  AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là 0.25 đường cao nên AH2 = HB.HC suy ra HB AH HB AH HB AH . Vậy HOB : HNA suy ra 0.5 1 1 b AH HC AH HC OH HN 2 2 góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH. 0.25 Ta có 0.5 AH.MN R R S R.MN R(HM HN) (HB HC) .2. HB.HC R.AH c AMN 2 2 2 0.25 2 2 = 2R . Vậy SAMN nhỏ nhất bằng 2.R khi HB = HC hay tam giác ABC 3
4. vuông cân Câu A E 0.25 5 O B D Lấy điểm A trên một cạnh của đa giác, lấy điểm B trên một cạnh khác của đa giác sao cho AB chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài bằng nhau và bằng 1/2. Gọi O là trung điểm AB. Lấy D là điểm tùy ý thuộc cạnh đa giác hoặc nằm trong đa giác. Lấy điểm E đối xứng với D qua O. Tứ giác AEBD là HBH và AD + DB < 1/2 mà DE < AD + DB <1/2. Nên OD < 1/4. nên D nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 1/4. 0.75 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình. 4