Đề thi học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2011-2012

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2011-2012

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 2 điểm) 1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất: 2010.2011 1005 A = 2010.2010 1005 2. Thực hiện phép tính: 2 2 2 B = 33 1 1 1 3 5 99 Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + + 220 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M. Bài 3: ( 2 điểm ) 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n + 5  n – 2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( 3 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm a của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = . 2 2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC. Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 điểm) 1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: 2010 x 2011 1005 2010 x (2010 1) 1005 2010 x 2010 2010 1005 A = = 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 = 1 2010 x 2010 1005 2) Thực hiện phép tính: 2 2 2 1 3 5 97 1 1 B = 33 1 1 1 = 33. = 33. = 3 5 99 3 5 7 99 99 3 Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + + 220 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 22 + 23 + + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + +217.(1 + 2 + 22 +23) = 2. 15 + 25.15 + + 217.15 = 15. 2(1 + 24 + + 216) 4 16 = 3 . 5 .2 .(1 + 2 + + 2 )  5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M  10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0. Bài 3: ( 2 điểm ) 1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7  n – 2 7  n – 2 n – 2 Ư(7) =  1 ; 7 n – 2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5 Vậy : n 3 ; 1 ; 9 ; 5 2) Ta có x , y N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2 2x 1 1 2x 1 5 Do đó : hoặc y 3 10 y 3 2 x 0 x 2 Suy ra : hoặc y 13 y 5 Bài 4: ( 3 điểm)
3. 1 1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = .AC 2 1 N là trung điểm của CB nên : CN = NB = .CB 2 1 Suy ra : MC + CN = ( AC + CB ) 2 C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N MC + CN = MN C nằm giữa A và B AC + CB = AB = a a Do đó : MN = . 2 2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD) 1 SBDH = SDBA (= S ABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau) 2 Do đó : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC . Bài 5 (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) = (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1) = [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1) = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1) = (28-1).(28+1).(216+1) = (216-1)(216+1) = 232 - 1 Biết 232 tận cùng là 2 A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS)