Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

1. Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M1 và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2. c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M3 và M4. Câu 2: ( 5 điểm) Giải các phương trình sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1) 2 b)4 X = (2x2 – x +1)2x (2) Câu 3: ( 4 điểm) Tính tích phân sau: 2 sin x I = dx 3 3 0 sin x cos x Câu 4: ( 5 điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: ( 6 điểm) a) ( 2 điểm) TXĐ: D =R (0,25đ) Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 8x + 4 2 y’ = 0 x = -2; x= - 3 2 2 Hàm số đồng biến (- ; -2)  ( ; ) , nghịch biến ( 2; ) (0.25). 3 3 Cực đại, cực tiểu: Cực đại tại :) xCĐ = -2; yCĐ = 1. 2 5 Cực tiểu tại: xCT = - ; yCT = - 3 27 Giới hạn lim y ; lim y (0.25đ) x x Tính lồi lõm và điểm uốn: 4 y’’ = 6x + 8 = 0 x= - 3 4 4 Hàm sô lồi từ (- ; ), lõm (- ; + ) 3 3 4 11 Điểm uốn: I(-; ) (0.25đ) 3 27 Bảng biến thiên: (0,5đ) x 4 2 - -2 - - + 3 3 y’ + 0 - - 0 + y 1 + 11 27 5 - 27 Đồ thị (0,5 đ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 4 2 -5 A 5 -2 -4 -6 b) ( 2điểm) Gọi d qua M có hệ sô gọc k : d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương 3 2 3 2 trình: x + 4x + 4x +1 = k(x-x0) + x0 + 4x0 + 4x0 +1 x=x0 (0, 5 đ) 2 2 x + ( 4 + x0)x + x0 + 4x0 + 4 – k = 0 (1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) => x1, x2 lần lượt là hoành độ của M1, M2 => x0 4 xI = - (0,75 đ) 2 3x0 4 yI = y0 + k( ) 2 x 4  I x = 0 2 Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt 0 f(x0) 0 3x 2 8x k > 0 0 (0,5) 4 2 k x0 8x0 4 b) ( 2đ) Để thỏa mãn YCBT: – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. y’ = 3x2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ) 4 a> - (0,25đ) 3 x 4 8x 7 Nhận xét: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)( )- (0,5đ) 8 9 9 Gọi M3(x3; y3), M4(x4; y4) x3 4 8x3 7 y3 = a( ) (0,5đ) 8 9 9 x4 4 8x4 7 y4 = a( )- 8 9 9 Vậy phương trình đường thẳng đi qua M3; M4 là: x 4 8x 7 y= a( ) + (0,5đ) 8 9 9 Câu 2: (4 đ) Đ/K : x k (k z) (0,25đ) 2 Chia 2 vế của phương trình cho cos2x (1) tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) (1đ) tgx=-1 x=- k (k z ) (0,5đ) 4 tgx= 3 x= k (k z ) (0,5đ) 3 Vậy nghiệm của phương trình : x=- k (k z ) 4 x= k (k z ) (0,25đ) 3 2 a) (2) 22x x 2x 2 x 1 (0.5đ) 1 Đặt 2x2 – x = t (t ) (0.25đ) 8 Phương trình trở thành: 2t t 1 2t t 1 0 Khảo sát f(t) = 2t t 1 (0.25đ) 1 f’(t) = 2tln2 – 1 =0 2t = = ln 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. t f’(t) - 0 + f(t) Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = 0  Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ) 1  x= 0 ; x= ; x=1 (0.25đ ) 2 Câu 3: (4 đ) 2 cos x Xét J= dx (0.25đ) 3 3 0 sin x cos x Ta CM được I = J (đặt x= t ) (0.75đ) 2 I+J = 2 dx 4 dtgx 2 d cot gx = (0.75đ) 2 2 2 2 0 sin x sin x cos x cos x 0 tg x tgx 1 cot g x cot gx 1 4 Đặt tgx(cotgx) = t 1 1 1 d(t ) dt  I + J = 2 =22 (0.75đ) 2 t t 1 1 2 3 0 0 (t ) 2 4 1 3 Đặt t - = tgy 2 2 4 => I + J = (0.75đ) 3 3 2 => I= (0.75) 3 3 Câu 4: ( 6 điểm) Đặt x OM 4OG (0.5đ) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta có 4OA' OM OB OC OD OM 4OG OA x OA (1đ) 4OB' = x OB 4OC' x OC 4OD' x OD (1đ) Ta có: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2 2 2 2 16OA' 16OB' 16OC' 16OD' – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. (x OA) 2 (x OB) 2 (x OC) 2 (x OD) 2 xOA xOB xOC xOD => x 0 (1.5đ) => OM 4OM O => GM 5GO (0.5đ) Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra. (0.5đ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất