Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A (Có đáp án)

1. đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: toán Thời gian: 180 phút Bài1: ( 4 điểm) Cho hàm số y 2x m x 2 2x 2 1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm xo 2 Bài 4: ( 2 điểm) Tìm các đa thức f(x) thoả mãn: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bài 5: ( 6 điểm) 1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1). 2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy ABC. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a) OH 2 OA2 OB 2 OC 2 2 2 2 2 b) S ABC S OBC S OAC S OAB – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. đáp án đề thi hsg lớp 12 Môn: toán - bảng A Bài1: 1) (1,5điểm): Với m =3 ta có: y 2x 3 x 2 2x 2 TXĐ: D = R Tiệm cận xiên bên phải 2x 3 x 2 2x 2 a lim 1 (0,25điểm) x  x b lim  2x 3 x 2 2x 2 x 3 (0,25 điểm) x  Ta có tiệm cận xiên bên phải y= x-3 (0,25điểm) Tiệm cận xiên bên trái 2x 3 x 2 2x 2 a lim 5 (0,25điểm) x  x b lim  2x 3 x 2 2x 2 5x 3 (0,25điểm) x  Ta có tiệm cận xiên bên trái y = -5x+3 (0,25điểm) / 2) (2,5 điểm):y (xo) = 0 Hàm số đạt cực đại tại xo (0,25điểm) // y (xo) < 0 m(x0 1) 2 0 2 2 2 x0 2x0 2 x0 2x0 2 m (1) x 1 (0,5 điểm) m 0 0 2 3 m 0(2) (x0 2x0 2) 2 2 x0 2x0 2 Đặt g(x0 ) với xo<-2 (0,25 điểm) x0 1 / 2 g (x0 ) 0 g(x) giảm (0,5 điểm) 2 2 (x0 1) x0 2x0 2 2 10 lim g(x0 ) 2 và g(-2) = (0,5 điểm) x  3 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 2 10 Vậy < m < -2 (0,5 điểm) 3 Bài 2: 5 1.( 2 điểm): Với x 1;2 x 2 3x 1 1 (0,25 điểm) 4 5 Đặt t x 2 3x 1 1 t (0,25 điểm) 4 2 2 Ta có bất phương trình: mt 0 m (0,25 điểm) t 1 t 2 t 2 5 Xét f (x) với t 1; (0,25 điểm) t 2 t 4 4t 2 5 f / (t) 0;t 1; (0,25 điểm) (t 2 t) 2 4 Ta có bảng sau: t 1 5/4 f/(t) f(t) 2 32/45 32 Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn 1;2 là m (0,25 điểm) 45 2.(2 điểm): 2 Vì (1 m 2 ) x 4x 6 0 với x;m (0,25 điểm) 2 2m 2 1 m 2 Ta có: ( ) x 4x 6 ( ) x 4x 6 1 (1) (0,25 điểm) 1 m 2 1 m 2 t Đặt m tg với 0 t . Bất phương trình (1) có dạng: (0,25 điểm) 2 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 2 2 (sin t)(x 2) 2 (cost)(x 2) 2 1 (2) (0,25 điểm) Vì (x 2) 2 2 2;x R (0,25 điểm) 2 Và (sin t)(x 2) 2 sin 2 t (0,25 điểm) 2 (cost)(x 2) 2 cos 2 t (0,25 điểm) Ta suy ra vế trái của (2) sin 2 t cos 2 t 1;t (0,25 điểm) Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R (0,25 điểm) Bài 3: 1.(2 điểm): Điều kiện: 2k x 2k ;k Z (0,25 điểm) 2 Ta có 1 + cosx > 0 ; 1 + sinx > 0 (0,25 điểm) Phương trình log cos x sin x ln(1 cos x) logsin x cos x ln(1 sin x) (0,25 điểm) lnsin x ln cos x ln(1 cos x) ln(1 sin x) ln cos x lnsin x (0,25 điểm) (lnsin x) 2 (ln cos x) 2 (*) ln(1 sin x) ln(1 cos x) ln 2 t Xét hàm số: f (t) với t (0;1) (0,25 điểm) ln(1 t) lnt2(t)ln(t) t lnt f / (t) 0 với t (0;1) (0,25 điểm) t(t 1)ln(t 1) Hàm số f(t) nghịch biến phương trình (*) có nghiệm sin x cos x (0,25 điểm) x k2 k Z (0,25 điểm) 4 2.(2 điểm): Từ giả thiết, theo định lý sin ta có: a2 + b2= kc2 (0,25 điểm) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. Theo định lý cosin ta được: a2 + b2= k ( a2+b2-2abcosC ) (0,25 điểm) k 1 a 2 b 2 cosC . (0,25 điểm) k 2ab k 1 a 2 b 2 k 1 cosC . theo côsi (0,25 điểm) k 2ab k 2k 1 sin 2 C 1 cos 2 C (0,25 điểm) k 2 2k 1 Do sinC>0 sin C (0,25 điểm) k Dấu bằng xảy ra  a = b hay A = B (0,25 điểm) 2k 1 max(sinC) (0,25 điểm) k Bài 4: Ta có: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1) Cho x = 0 f(0) = 0 (2) (0,25 điểm) Cho x = 1 f(1) = 0 (3) (0,25 điểm) Cho x = 2 f(2) = 0 (4) (0,25 điểm) Từ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm) Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm) Thay vào (1) ta được: x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm)  P(x-1) = P(x) ; x P(x) = C hằng số (0,25 điểm) Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C với C là hằng số (0,25 điểm) Bài 5:1.(1 điểm) Đường thẳng SF là trục của (P) có phương trình: x – y - 1 = 0 (0,25 điểm) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Đường chuẩn ( ) của (P) có phương trình: x + y - 1 = 0 (0,5 điểm) Gọi điểm M(x;y) (P)  FM = d(M; ) (0,25 điểm) (x y 1) 2 (x 3) 2 (y 2) 2 (0,5 điểm) 2  x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0 (*) (0,25 điểm) (*) là phương trình của Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh và F là tiêu điểm (0,25 điểm) 2.(4điểm): Gọi A1=AHBC ; B1=BHAC O C1= CHAB (0,25điểm) Theo giả thiết OA(OBC) OABC Và OH(ABC) OHBC BC(OAH) BCAH (0,5điểm) A B1 C Tương tự BHAC; CHAB H H là trực tâm của ABC (0,25điểm) C A Xét vuông AOA1 tại O ta có: B (0,5điểm) 1 1 1 2 2 2 (1) (0,25điểm) OH OA OA1 1 1 1 OBC vuông tại O, ta có: 2 2 2 (2) (0,25điểm) OA1 OB OC Từ (1) và (2) ta có: 1 1 1 1 (đpcm) (3) (0,25điểm) OH 2 OA2 OB 2 OC 2 2 Nhân hai vế của (3) với 9.V OABC ta có: (0,25điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9.V OABC =OH .(SABC) = OA . (SOBC) = OB . (SOAC) = OC . (SOAB) (0,5điểm) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. Ta được: OH 2 (S ) 2 OA2 .(S ) 2 OB 2 .(S ) 2 OC 2 .(S ) 2 ABC ABC ABC ABC (0,5 điểm) OH 2 OA2 OB 2 OC 2 2 2 2 2  S ABC S OBC S OAC S OAB (đpcm) (0,5 điểm) (Chú ý: cách khác có thể chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O) Lưu ý: Những cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa thoe mỗi ý, mỗi bài. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất