Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Lê Việt Cường (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Lê Việt Cường (Có đáp án)

1. đề thi học sinh giỏi lớp 12 ( Thời gian 180 phút) Giáo viên:Lê Việt Cường Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình x x x 12 m 5 x 4 x a) Giải phương trình khi m = 12 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2005 1 10x.2006 1 100x 1 Bài 3: (4 điểm) Tính Lim x 0 x Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình 2 2 log3(x +x+1) - log3x = 2x-x Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4. CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi 16R m1+m2+m3+m4 = 3 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. hướng dẫn sơ lược toán HSG12 1b) Phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 (x-2m)(x2-3x-m)=0 x 2m 2 x 3x m 0(2) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt 7 2 m 0,m 2m 3.2m m 0 4 2m 9 9 4m 0 m 4 Bài 2:( 5 đ) a)(2 đ) Từ điều kiện 0 x 4 VP 12( 5 4 4 4) 12 VT 4 4 + 4 12 12 phương trình có nghiệm x=4 b). (3 đ ) Phương trình đã cho f(x) = x x x 12 5 x 4 x m (2) Xét hàm số f(x) trên [0;4] f(x)=f1(x)f2(x) với x 1 f1(x) = x x x 12 có f’1(x) = x >0 2 x 2 x 12 f1(x)  trên [0;4] và f1(x) 0  x [0;4] 1 1 4 4 x 5 x f2(x) = 5 x 4 x có f’2(x) = >0 2 5 x 2 4 x 2 5 x 4 x f2(x)  trên [0;4] và f2(x) 0  x [0;4] f(x) trên [0;4] Min[o;4] f(x) = f(0) = 12 5 4 và Max[o;4] f(x) =12 Từ đó (2) có nghiệm Min[o;4] f(x) m Max[o;4] f(x) 12 5 4 m 12 là điều kiện để (1) có nghiệm Bài 3:( 5 đ) n 1 ax 1 a Trước hết ta chứng minh: a 0, n N, n 2 thì Lim x 0 x n Đặt y = n 1 ax khi đó x 0 thì y 1 và n 1 ax 1 y 1 y 1 a Lim Lim n a Lim n (2 đ) x 0 x y 1 y 1 y 1 y 1 (y y 1) n – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 2005 1 10x.2006 1 100x 1 Ta có: Lim x 0 x 2005 1 10x.2006 1 100x 2006 1 10x 2006 1 100x 1 = Lim x 0 x 2005 1 10x 1 2006 1 100x 1 2006 = Lim 1 100x Lim x 0 x x 0 x 10 100 220560 = (3 đ) 2005 2006 2005.2006 x 0 x 0 2 2 Câu 4: Phương trình đã cho 2 x x 1 2 x x 1 Log 2x x 32x x 3 x x 2 x 1 xét hàm số y= x với x>0, Minf(x) = 3 với x=1 x 2 y= g(x)= 32x x với x>0, Maxf(x) =3 với x=1 Phương trình đã cho có nghiệm x=1. Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện 2 2 2 2 2 OA OB OC OD R Ta có: GA GB GC GD O 2 2 2 2 Mặt khác: 4R2 = OG GA OG GB OG GC OG GD (1 đ) 4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 (1 đ) 2 9 2 2 9 2 2 9 2 2 9 2 mà GA = m1 , GB = m2 ,GC = m3 ,GD = m4 16 16 16 16 2 2 9 2 2 2 2 4R = 40G + m1 m2 m3 m4 16 2 9 2 2 2 2 4R m1 m2 m3 m4 (1 đ) 16 2 Theo BĐT “ Bunhiacopxki” ta có m1 m 2 m3 m 4 4(m1 m2 m3 m4) 2 9 9 2 R m1 m2 m3 m4 m m m m ( 1 đ) 64 256 1 2 3 4 16R m m m m 1 2 3 4 3 O  G Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : Tứ diện ABCD đều (1đ) m1 m2 m3 m4 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất