Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 - Ngô Quốc Khánh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 - Ngô Quốc Khánh (Có đáp án)

1. ĐỀ BÀI Bài 1: ( 4 điểm ) 1 Cho hàm số : y x 1 ( C ) x 1 1/ Khảo sát hàm số . 2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất . Bài 2: (2 điểm ) x 1 1 Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình : t dt m 1 t 2 Bài 3: (2 điểm ) Giải phương trình : x 3 x. 4 x 4 x. 5 x 5 x. 3 x Bài 4: (2 điểm ) Tìm các giá trị thực của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm x 0; : 4 4 6m Sin3 x 3 2m 1 Sinx 2 m 2 Sin 2 xCosx 4m 3 Cosx 0 Bài 5: (2 điểm ) Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp . Bài 6: (2 điểm ) Tìm đa thức P x có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau : x 2 x 2 4 P'' x 2x x 2 P' x 12P x 0 ;x R P 1 27 Bài 7: (2 điểm ) 3 Cos2x log 3 y 4 2 2 3 Giải hệ sau : 2 2 y y 1 y 3 8 Bài 8: (2 điểm ) Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc  . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp . Bài 9: (2điểm ) Cho các số thực a,b,c 2 chứng minh bất đẳng thức sau : 2 2 2 Log b c a Log c ab Log a bc 3 Họ và tên thí sinh : Số báo danh Thanh hóa; Ngày 22 tháng 04 năm 2005 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Lời giải chi tiết và biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Lời giải chi tiết Điểm Bài 1 1 a) TXĐ : D = R b) Sự biến thiên: 1 CBT: y' 1 ; y’ = 0 có 2 nghiệm x = 0 ; x = 2 x 1 2 HS đồng biến trên ;0 ; 2; và nghịch biến trên các khoảng 0;1 ; 1;2 1 điểm Cực trị : Cực đại tại x =0 và yCD 0 Cực tiểu tại x=2 và yCT 4 Nhánh vô cực và tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận xiên y = x+1 và Lim y ; Lim y x x BBT : x o 1 2 y’ + 0 - ‖ - 0 + y 1 điểm c) Đồ thị : y Đồ thị đi qua gốc toạ độ O=(0;0) Tâm đối xứng I=( 1;2 ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 1 O x -1 1 2 1 a 2 Gọi M a; y a C ;a 0 thì y a a 1 a 1 a 1 a 2 2a a 2 PTTT của ( C ) tại M là: y y a y' a x a y x a a 1 2 a 1 0.5 (d) điểm Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1 Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 ) 2a Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là A 1; a 1 Với tiệm cận xiên là : B 2a 1;2a 2 Ta có AI ; BI 2 2 a 1 , nên AI.BI 4 2 vì a > 1 a 1 0.5 Lại có AIB suy ra điểm 4 AB 2 AI 2 BI 2 2AI.BICos AI 2 BI 2 2AI.BI 4 Theo bất đẳng thức Cô si : AB 2 2AI.BI 2AI.BI 2 2 AI.BI AB 2 2 2 1 (1) Đặt p là chu vi tam giác ABI thì : p AB AI BI AB 2 AI.BI 2 2 2 1 44 2 0.5 1 Dấu đẳng thức xảy ra AI BI a 1 điểm 4 2 1 Vậy Minp 2 2 2 1 44 2 a 1 4 2 1 1 Hay điểm cần tìm là M 1 ;2 2 4 2 4 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 0.5 điểm Bài 2 x x 1 x x 1 t 2 1 1 Ta có t dt tdt dt Ln t x 2 ln x 0.5 t t 2 2 2 1 1 1 1 điểm 1 PT đã cho tương đương với x 2 ln x m (1) 2 Số nghiệm dương của PT là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị 1 hàm số f x x 2 ln x với hoành độ dương. 2 1 Xét hàm số : f x x 2 ln x trên 0; 0.5 2 điểm 1 Đạo hàm y' x ; y' 0 x 1 x Lim y Lim y x x 0 BBT x o 1 y’ | - o + y | 1 2 0.5 điểm Từ BBT ta được : 1 +/ Với m thì PT vô nghiệm 2 1 +/ Với m thì PT có nghiệm dương duy nhất x = 1 2 1 +/ Với m thì phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0.5 2 điểm Bài 3 ĐK : x 3 Đặt a 3 x;b 4 x;c 5 x 0.5 x 3 a 2 4 b 2 5 c 2 ab bc ca Ta có điểm – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 3 a 2 ab bc ca a b c a 3 2 Do đó 4 b ab bc ca b c a b 4 5 c 2 ab bc ca c a b c 5 0.5 Nhân vế với vế các PT ta được a b b c c a 2 15 ( * ) điểm 2 15 a b 5 2 15 Thay lần lượt các phương trình của hệ vào PT ( * ) sẽ có : b c 3 2 15 c a 4 Cộng các vế phương trình của hệ, có PT mới và thay lần lượt mỗi PT của hệ 1 điểm vào PT vừa có.Ta được nghiệm của phương trình đã cho là: 671 x 240 Bài 4 Nhận thấy Cosx=0 không thoả mãn PT , bằng các chia cả 2 vế cho Cos 2 x 0 ta được phương trình : tgx 1 tg 2 x 2mtgx 4m 3 0 Đặt tgx = t , ta có PT : t 1 t 2 2mt 4m 3 0 (1) 0.5 điểm Để PT đã cho có nghiệm x 0; thì PT (1) phải có nghiệm 0 t 1 4 Do PT (1) luôn có 1 nghiệm t 1 0;1 nên PT t 2 2mt 4m 3 0 Chỉ có 1 nghiệm t = 1 hoặc không có nghiệm nào thuộc đoạn [ 0 ; 1 ] 0.5 điểm t 2 3 Để ý rằng t = 2 không thoả mãn . Do đó f t m 2t 4 Xét f(t) trên [0;1] ta có : 1 t 2 4t 3 f ' t 0;t 0;1 2   2 t 2 m 1 1 điểm 3 Lập bảng biến thiên và từ BBT ta được : m 4 Bài 5 Ta chứng minh bổ đề: Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC có B= 2A là b 2 a 2 ac (1) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. Thật vậy: Theo định lý CôSin trong tam giác b 2 a 2 c 2 2acCosB a 2 ac c 2aCosB a c a 2aCosB 1 điểm áp dụng định lý Sin, ta được 2RSinC 2RSinA 4RSinACosB SinC SinA Sin A B Sin A B SinA Sin B A Do đó B = 2A và 0 A, B Vì 3 cạnh là 3 số nguyên liên tiếp nên với x N * và a < b, ta có các trường hợp sau : a) Nếu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi đó từ (1) ta được x=1 suy ra a=1,b=2,c=3. Không thoả mãn tính chất cạnh của tam giác 1 điểm b) Nếu a=x,b=x+2,c=x+1 : Từ (1) ta có PT x 2 3x 4 0 Suy ra a=4,b=6,c=5 ( thoả mãn ) c) Nếu a=x+1,b=x+2,c=x : Tương tự thì x 2 x 3 0 , PT không có nghiệm nguyên dương nên không thoả mãn. Vậy có 1 tam giác duy nhất thoả mãn bài ra là tam giác có độ dài các cạnh là : a = 4,b = 6,c =5 . Bài 6 n n 1 Giả sử đa thức cần tìm là: P x an x an 1 x a1 x a0 ;an 0 P' x na x n 1 n 1 a x n 2 2a x a n n 1 2 1 0.5 n 2 n 3 P'' x n n 1 an x n 1 n 2 an 1 x 2a2 điểm Từ yêu cầu , ta có điều kiện cần là : Hệ số của luỹ thừa bậc (n + 1) phải bằng 0. mà hệ số đó là n n 1 an 2nan n n 3 an Lại do a 0;n 1 nên n n 3 a 0 n 3 n n 0.5 điểm 3 2 Do vậy đa thức phải có dạng P x a3 x a2 x a1 x a0 ;a3 0 Thay đa thức vào điều kiện (1) : 3 2 12a3 2a2 x 8a2 24a3 2a1 x 8a1 8a2 48a3 x 12a0 16a2 0;x 6a3 a2 0 a2 6a3 4a2 12a3 a1 0 a1 12a3 a a 6a 0 1 2 3 a 8a 0 3 0.5 3a0 4a2 0 điểm 3 2 Nên P x a3 x 6x 12x 8 Mặt khác P 1 27 ; Suy ra 27a3 27 a3 1 P x x 3 6x 2 12x 8 Vậy đa thức cần tìm là : – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. 0.5 điểm y 4 3 Cos2x Log 3 2 Log 3 Log 3 Bài 7 Với x R ta có 3 2 2 2 2 2 2 3 (y 4) 1 y 5 (1) 1 điểm Đẳng thức xảy ra khi 1 Cos2x 0 Cosx 0 x k ;k Z (2) 2 2 Với điều kiện (1) thì 2 / y / / y 1/ (y 3) 8 trở thành : 0.5 y 2 5y 0 5 y 0 , kết hợp với (1) ta có y = - 5 (3) điểm Kết hợp (1);(2) và (3) ta có nghiệm của hệ đã cho là : x k ;k Z 0.5 2 y 5 điểm Bài 8 Đặt 2 hình chóp tam giác đều là : O.ABC và O’.A’B’C’ với O là tâm của tam giác ABC và O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Theo bài ra thì OO’ là đường cao chung của 2 hình chóp . Đặt D,E,F là các giao điểm của các cặp cạnh bên tương ứng của 2 hình chóp . Phần thể tích chung của 2 hình chóp là thẻ tích của khối đa diện ODEFO’. Ký hiệu V là 0.5 1 thể tích đó thì V OO'.S điểm 3 DEF OO'C vuông tại O’ nên OO' l cos Do tính đối xứng nên OO’ đi qua tâm I của DEF . Trong IOE ta có : OI IE cot g Trong cóIO:' E O' I IE cot g OO' l cos Suy ra OO' IE(cot g cot g ) IE cot g cot g cot g cot g 0.5 điểm 3 Tam giác DEF đều , đường cao EJ EI 2 DE 2 3 2EJ 3 Diện tích S với DE EI 3 DEF 4 3 3l 2 3 cos 2 Do đó S DEF 4(cot g cot g ) 2 l 3 3 cos3 0.5 Vậy thể tích phần chung của 2 hình chóp là : V điểm 4(cot g cot g ) 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. C' A' O B' D F I E 0.5 điểm C A O' B Bài 9 Log a 2 Log b 2 Log c 2 Bất đẳng thức 2 2 2 3 (1) Log 2 b c Log 2 c a Log 2 a b 1 1 Do anên.b.c 2 1 a,tương b a tựb ta cũng được : a b 1 điểm b c bc & c a ac 2Log a 2Log b 2Log c 2x 2y 2z Khi đó VT 1 2 2 2 (2) Log 2bc Log 2ca Log 2 ab y z z x x y Với x Log 2 a; y Log 2b; z Log 2c 2x 2y 2z Ta chứng minh: 3; x, y, z 1 y z z x x y 2x 2y 2z 2 2 2 9 y z z x x y 0.5 1 1 1 2x 2y 2z . 9 điểm x y y z z x áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái , ta được điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi 0.5 x; y; z 1 Log 2 a Log 2b Log 2c a b c 2 điểm x y z a b c 2 Chú ý : Nếu thí sinh có lời giải theo các cách khác mà đúng vẫn cho điểm theo biểu điểm của từng bài . – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
10. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất