Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng A (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng A (Có đáp án)

1. Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1: (7 điểm) 1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=3 (2 3x)2 (x-5) ax2 bx c 2) Cho hàm số y= x 2 Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ 1 x thị vuông góc với đường thẳng y= 2 3)Giải bất phương trình: 2 5x 3x 2 +2x > 2x.3x.2 5x 3x 2 + 4x2.3x Bài 2: (4 điểm) Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình: log 2 2 (x y) 1 x y Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất. Bài 3(5 điểm) Giải phương trình: 1) 1 1 x 2  (1 x)3 (1 x)3  2 1 x 2 1 2) sin3x.(1- 4sin2x) = 2 Bài 4:(4 điểm) ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h. 1) Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D = R 0,25 điểm 1 2 2 y'= (-3)(2 3x) 3 (x-5) + (2 3x) 3 0,25 3 điểm 6x 30 5x 12 = + 3(2-3x) = 0,25 33 2 3x 3 2 3x điểm 2 12 Điểm tới hạn: x= ; x= 0,25 3 5 điểm x - 2/3 12/5 + y' + -0+ y 0,5 điểm Hàm số đồng biến trong khoảng (- ; 2/3)  (12/5; + ) 0,25 điểm Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25 điểm Câu 2: (2 điểm) ax2 bx c Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k = lim =a 0,25 x x 2 điểm 1 1 Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y= x 2 2 ta có a=2 0,25 điểm – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 2x 2 bx c Xét y= x 2 2x 2 8x 2b c y' = 0,25 (x 2)2 điểm Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là: y'(1) 6 2b c 0 0,5 điểm y(1) (2 b c) 1 b 3 => 0,25 c 0 điểm Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số 2x 2 3x y= thoả mãn điều kiện 0,25 x 2 điểm Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25 điểm Câu 3: (3 điểm) Bất phương trình trở thành: (2 5x 3x 2 +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 điểm 1 Tập xác định: -2 x 0,25 3 điểm 2 5x 3x 2 2x 0 (1) (I) x 1 2x.3 0 (2) (*) 0,5 điểm 2 5x 3x 2 2x 0 (3) (II) x (4) 1 2x.3 0 Xét hệ (I): Giải (1) ta được -1 1 0,25 điểm 1 Khi 0<x 1/3 0 3x 33 3 3 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 1 0 2x.3x 2. .3 3 1 3 Do đó f(x) =1-2x.3x > 0 1 Nghiệm của (I) là: 1 x 0,25 3 điểm Xét hệ (II): Giải (3) ta được 2 x 1 0,25 điểm Nhưng f(x) = 1-2x.3x > 0 x 0 nên bất phương trình (4) không thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm 0,25 điểm 1 Tóm lại, bất phương trình đã cho có nghiệm 1 x 0,25 3 điểm Bài 2: (4 điểm) Xét 2 trường hợp: +TH1: x2+ y2 > 1 khi đó dễ thấy bất phương trình log 2 2 (x y) 1 (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm x y Ta có (1) x+y x2+ y2 x+2y x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta được S (S-2y)2 +y2+y 5y2 -(4S-1)y +S2 - S 0 (3) 0,5 điểm Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0, 3 10 3 10 Vậy S 0,5 điểm 2 2 3 10 4S 1 1 2 Với S = thì = 0 khi đó (3) y= 0,25 điểm 2 10 2 10 1 2 Suy ra x= S -2y = (thỏa mãn x2+ y2 > 1) 0,5 điểm 2 10 +TH2: 0 S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2< (do x2 + y2 < 1, y 1 ) 0,5 điểm 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 1 1 x 2 10 Tóm lại: với nghiệm thì tổng x+2y lớn nhất 0,25 điểm 1 2 y 2 10 Bài 3: (5 điểm) Câu 1:(3 điểm) TXĐ: -1 x 1 0,25 điểm 1 x 1 x Pt đã cho 1 x 2  (1 x)3 (1 x)3  2 1 x 2 1,0 điểm 2 2 2 1 x 1 x 2 2  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 0,75đ 2 (1 x +1 x )(1 x -1 x )= 2 0,5 điểm 2 1+x-1+x = 2 x= (thỏa mãn) 0,5 điểm 2 Câu 2: (2 điểm) Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phương trình: 1 Vì cosx=0 => x= k thì sin3( k ).[1-4sin2( k )] 0,25 điểm 2 2 2 2 Nhân hai vế của phương trình với cosx ta được: 1 Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) = cosx 2 2sin3x(4cos3x-3cosx) = cosx 0,25 điểm 2sin3x.cos3x = cosx 0,5 điểm sin6x =sin( -x) 0,5 điểm 2 k2 6x x k2 x 2 14 7 , (k Z) 0,5 điểm k2 6x x k2 x 2 10 5 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Bài 4: (4 điểm) x S h A H C L O J I S ' B a) (2 điểm) Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI  BC, SA  mp(ABC) Nên SI  BC (định lý 3 đường vuông góc) 0,5 điểm Kẻ CL  SB thì SI  CL = H Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ABC Ta có CJ  mp(SAB) => CJ  SB (1) Mặt khác CL  SB (2) Từ (1) và (2) suy ra SB  HO 0,5 điểm Vì OH trong mp(SAI) nên OH  BC => OH  mp(SBC) 0,5 điểm Hay OH là đường thẳng Hy. Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5 điểm b) (2 điểm) Xét SIS' ta có IA  SS', S'H  SI Do đó O là trực tâm của SIS' 0,5 điểm a 2 Nên AS.AS' = AI.AO => AS' = 0,5 điểm 2h a 2 a Vậy SS' = SA + AS' = h+ 2 =a 2 0,75 điểm 2h 2 a 2 a 2 Dấu "=" xảy ra khi h= => h= 0,25 điểm 2h 2 Chú ý: 1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm 2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì người chấm cho điểm tương ứng phần đúng đó. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất