Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

1. đề xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi THPT - Môn Toán o0o Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5). d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến. Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau: 3 a) (7 5 2)cosx (17 12 2)cos x cos3x . 3 b) x2 3x 1 x4 x2 1 . 3 Câu 3: (4 điểm) a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 2 logm 11 log1 ( x mx 10 4)logm (x mx 12) 0 . 7 b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx + 1 + sin2x 2m – 1. Câu 4: (2,5 điểm) a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0: 3 1 ax 3 cosx vớix 0 f(x) . ln(1 2x) b 1 vớix 0 1 5 2 x2 1 b) Tính tích phân:I dx . 4 2 x 1 5 (x x 1)(1 2006 ) 2 Câu 5: (2,5 điểm) 2 2 2 2 x y x y 2 Cho 2 elíp (E1): 1 , (E2): 1 và parabol (P): y = 12x. 15 6 6 15 a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P). Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc SM với đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM  MD. Tính tỉ số . SB – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. đề xuất ngân hàng đề Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán o0o Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang. +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa. Câu ý Nội dung điểm 1 1a - Tập xác định: D = R. 0,25 - Sự biến thiên: x 0 + Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0 . x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; -2) và (0; + ); hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0). 0,25 + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5). 0,25 + Giới hạn: lim đồy thị hàm số không có tiệm cận. x + Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0 x = -1. Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (- ; -1), lõm trên khoảng (-1; + ) và có điểm uốn là (-1; 3). + Bảng biến thiên: 0,25 x - -2 -1 0 + y’ + 0 - - 0 + 5 + 0,25 y 3 - 1 - Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5). Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng. y 5 3 0,25 1 -3 -2 -1 0 1 x 1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có: 0,25 - Phương trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a 5 m > 1; a = 5 m = 1 hoặc m = -2 - a 1 hoặc m < -3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm. + Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm. + Với -3 < m < 1 và m -2, m 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 0,25 1c Gọi phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng: y = k(x – 1) + 5 y = kx + 5 – k. 0,25 Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có: x3 3x2 1 kx 5 k x 2,k 0 . 0,50 2 k 3x 6x x 1,k 9 Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là: 0,25 y = 5 và y = 9x – 4. 1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đường thẳng y = 9x – 4. Đường thẳng đi qua M có phương trình dạng: y = k(x – x0) + 9x0 – 4. 0,25 3 2 x 3x 1 k(x x0 ) 9x0 4 Ta có: . 2 k 3x 6x Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm 0,25 phương trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt: 2 (x – 1)[2x + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0. 0,25 x0 1/ 3 Từ đó ta có điều kiện của x0 là: x0 5 . x0 1 Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – 4) với điều kiện: 0,25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. x 1/ 3 x 5 x 1 2 2a Tập xác định: D = R. 0,25 Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3 (1 2)3cosx (1 2)4 cos x 4cos3 x 3cosx 3cosx 3 4 cos3 x (1 2) 3cosx 4cos x (1 2) 0,50 Xét hàm số f(t) = (1 2)t t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên 0,50 ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x k cos3x = 0 x = , k Z 0,25 6 3 2b Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0 0,25 x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) 0,25 x2 x 1 Đặt t , t > 0. Phương trình trở thành: 0,50 x2 x 1 3 t 0 3 2 3 x2 x 1 1 0,25 2t2 t 1 0 3 1 x2 x 1 3 t 3 x = 1 0,25 3 3a Điều kiện: m > 0 và m 1, x2 + mx + 10 0. 0,50 Bất phương trình đã cho tương đương với: 1 log ( x2 mx 10 4)log (x2 mx 12) 7 11 0 . (*) 0,50 log11 m Đặt u = x2 + mx + 10, u 0. + Với 0 1: Ta có: f(u) 1 = f(9) 0 u 9 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. x2 mx 10 0 (1) 0 x2 + mx + 10 9 . 2 x mx 1 0 (2) Xét phương trình x2 + mx + 1 = 0 có = m2 – 4. Nếu 1 2 > 0 phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) bất phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm. Nếu m = 2 (2) có nghiệm duy nhất x = -1 bất phương trình đã 0,50 cho có nghiệm duy nhất x = -1. Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2. 3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx . Bài toán trở thành: tìm m sao 0,25 cho maxf(x) 2m – 1. 0,25 Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 2 1 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 . Ta có: 0,25 f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 2 2t2 + 2t – 1 với 2 t 2 . Xét sự biến thiên của g(t) ta có: max g(t) 4( 2 1)2 0,75 2; 2 Vì f(x) 0 nên ta có: 0,25 maxf(x) = maxf 2 (x) maxg(t) 2( 2 1) 3 2 2 0,25 Vậy ta có: 2( 2 1) 2m 1 m . 2 4 4a Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0. 0,25 lim f(x) lim f(x) f(0) b 1 . 0,50 x 0 x 0 3 1 a x 3 cos x a 0,25 Ta lại có: f '(0 ) lim x 0 x 3 ln(1 2 x) Và f '( a0 = )6. lim 2 0,25 x 0 x 0,25 Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1. 4b Chứng minh được: 1 5 1 5 2 x2 1 2 x2 1 I dx dx 0,50 4 2 x 4 2 1 5 (x x 1)(1 2006 ) 1 5 x x 1 2 2 0,25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 1 5 1 2 1 2 I x dx . 1 5 1 2 (x ) 1 0,50 2 x 1 / 4 Đặt x tgt I dt . x / 4 2 5 5a Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E1) và (E2) là nghiệm của hệ phương x2 y2 1 15 6 2 2 60 trình: x y 0,50 x2 y2 7 1 6 15 Vậy đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là: 60 0,50 x2 y2 7 5b Gọi đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0), là tiếp tuyến chung của (E1) và (P). Ta có: 15A2 6B2 C 0 C 5A 1,0 2 6B 2AC C 5A Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3x 5y 5 3 0 . 0,50 6 S H A D 0,25 B C Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ. Suy ra ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a3 ) và a a 3 B = ; ;0 . Suy ra phương trình của SB là: 0,25 2 2 0,25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. 2x 2y z a 3 a a 3 a 3 0,25 Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có: y 0 3x0 0,25 . z0 a 3 2 3x0   0,25 Mặt khác AMDN AM.DM 0 0,50 2 2 2 3a x0 – 2ax0 + y0 + z0 = 0 x 0 8 3a 3a 3 a 3  3  SM 3 M ; ; SM SB hay . 8 8 4 4 SB 4 Hết – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất