Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2012 - 2013 Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. (5,0điểm)Thực hiện phộp tớnh. 2 2 1 10 10 2 .13 2 .65 a. b. 3 7 14 8 3 3 2 .104 1 7 28 2012.2013 1 3 8 15 624 c. d. . . 20122 2011 4 9 16 625 Cõu 2. (4,0điểm) a. Cho A 32013 32012 32011 32001 32000 Chứng tỏ rằng A chia hết cho 12. b. So sỏnh C 3450 và D 5300 Cõu 3. (4,0điểm) a. Tỡm số nguyờn n sao cho 2.n 5 chia hết cho n 1 . b. Tỡm số tự nhiờn a, biết rằng 264 chia cho a dư 24, cũn 363 chia cho a dư 43. Cõu 4.(3,0điểm) 1 1 1 1 1 a. Chứng tỏ rằng: 1 2 22 23 29 29 b. Tỡm 10 số tự nhiờn liờn tiếp nhỏ nhất khỏc 0 mà tớch của chỳng chia hết cho 2013. Cõu 5. (4,0điểm) a. Cho đoạn thẳng AB =12cm, điểm C nằm giữa A và B, cỏc điểm D và E thứ tự là trung điểm của AC và CB. Tớnh độ dài đoạn thẳng DE. b. (Sử dụng mỏy tớnh cầm tay Casio, Vinacal, ). Tớnh chớnh xỏc : 20112012 20122013 . Hết
2. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MễN:TOÁN 6 Cõu Đỏp ỏn Điểm a. (1,25điểm) 210 13 65 28.23.13 0,5 210.78 0,5 211.13 3 0,25 b. (1,25điểm) 2 2 2 0,5 3 7 28 3 3 3 3 7 28 1 1 1 2. 3 7 28 0,5 1 1 1 3. Cõu 1 3 7 28 (5,0điểm) 2 0,25 3 c. (1,25điểm) 2012. 2012 1 1 0,5 20122 2011 20122 2011 0,5 20122 2011 1 0,25 d. (1,25điểm) 1.3 2.4 3.5 24.26 . . 2.2 3.3 4.4 25.25 0,5 1.2.3 24 3.4.5 26 . 2.3.4 25 2.3.4 25 0,25 1 26 . 25 2 0,25 13 25 0,25 a. (2,0điểm) Tổng trờn cú 14 số hạng nờn ta nhúm thành 7 cặp như sau: 0,5 Cõu 2 0,5 (4,0điểm) 0,5
3. A (32013 32012 ) (32011 32010 ) (32001 32000 ) 0,5 A 32012 (3 1) 32010 (3 1) 32000 (3 1) A 32012.4 32010.4 32000.4 A 32011.12 32009.12 31999.12 A 32011 32009 31999 .12 A12 b. (2,0điểm) a) Biến đổi C 3450 33.150 27150 0,75 và D 5300 52.150 25150 0,75 Vỡ 27150 25150 nờn C>D 0,5 a. (2,0điểm) 2.n 5n 1 2 n 1 3n 1 0,5 Vỡ 2 n 1 n 1 3n 1 0,5 Do đú n+1 là ước của 3 0,5 n 2;0; 4; 2 0,5 Cõu 3 b.(2,0điểm) (4,0điểm) Vỡ 264 chia cho a dư 24 nờn a là ước của 0,5 264 24 240 a 24 Vỡ 363 chia cho a dư 43 nờn a là ước của 0,5 363 43 320 a 43 Do đú a là ước chung của 240 và 320 đồng thời a > 43. Mà ƯCLN(240, 320) = 80, ước chung lớn hơn 43 là 80. 0,5 Vậy a = 80. 0,5 a.(2,0điểm) 1 1 1 1 Đặt A 2 22 23 29 Khi đú 1 1 1 1 2A 2 2 3 9 0,5 2 2 2 2 1 1 1 1 2 22 28 0,5 Cõu 4. Vậy (3,0điểm) 1 1 1 1 1 1 2A A 1 2 8 2 9 2 2 2 2 2 2 0,5 1 A 1 0,5 29 b.(1,0điểm) Ta cú 2013=3.11.61 0,25 Để tớch 10 số tự nhiờn liờn tiếp khỏc 0 chia hết cho 2013 thỡ 10 số đú sẽ cú ớt nhất 1 số chia hết cho 3 và ớt nhất một số chia hết cho 11 và ớt nhất một số chia hết cho 61.
4. Vỡ tỡm 10 số tự nhiờn liờn tiếp nhỏ nhất khỏc 0 nờn ta chọn 0,25 số lớn nhất trong 10 số đú là số 61. Vậy 9 số liờn tiếp cũn lại là 60, 59, ,52 trong 9 số này cú 0,25 số 55 chia hết cho 11 và số 60 chia hết cho 3. Kết luận: 10 số tự nhiờn liờn tiếp cần tỡm là 61, 60, , 52. 0,25 a. (2,0điểm) Vỡ D là trung điểm của AC nờn 1 0,5 DC AC 2 Vỡ E là trung điểm của CB nờn 1 CE CB 2 Vỡ C nằm giữa A và B nờn 0,5 Cõu 5 AC CB AB 12cm (4,0điểm) Vỡ điểm D thuộc tia CA và điểm E thuộc tia CB mà 2 tia CA, CB đối nhau nờn C nằm giữa D, E Khi đú 0,5 1 1 DE DC CE AC CB 2 2 1 1 AC CB .12 6cm 0,5 2 2 b. (2,0điểm) Kết quả : 404694166920156 2,0 Hết
5. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2013 – 2014 MễN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phỳt (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Lưu ý: Thớ sinh khụng giải toỏn trờn mỏy tớnh cầm tay, trừ cõu 2b. Cõu 1 (4,0 điểm). Tỡm x, biết a) 2x 8 4 55 :53 x 5 x 5 b) 0 . 6 3 1 1 1 1 Cõu 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức P . 1.3 3.5 5.7 29.31 a) Khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay, hóy tớnh giỏ trị của P; b) (Giải toỏn trờn mỏy tớnh cầm tay) Trỡnh bày cỏch tớnh giỏ trị của P bằng cỏch sử dụng mỏy tớnh cầm tay. Cõu 3 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng vớin N* , n 1 3n 2 là một số chẵn; b) Chứng minh rằng vớix ,y Z , nếu6 x 11y chia hết cho 31 thỡx 7y cũng chia hết cho 31. Cõu 4 (6,0 điểm). Vẽ cỏc gúc xOy và xOz cựng cú số đo bằng 120 o (hai tia Oy và Oz khụng trựng nhau). a) Bờn trong gúc xOy vẽ tia Ot sao cho gúc xOt là gúc vuụng. Tớnh số đo gúc yOt; b) Tớnh số đo gúc yOz. Cõu 5 (2,0 điểm). Tỡm ba số nguyờn tố liờn tiếp x, y, z (với x y z ) sao cho số A x2 y2 z2 là một số nguyờn tố. Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ Số bỏo sinh: danh: Chữ ký của giỏm thị Chữ ký của giỏm thị 1: 2:
6. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2013 – 2014 MễN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm a) (2,0 điểm) 2x 8 4 55 :53 2x 8 4 52 1,0 2x 4 25 8 2x 37 37 1,0 Cõu 1 x (4,0 2 điểm) b) (2,0 điểm) x 5 x 5 x 5 x 5 Vỡ x 5 0 nờn 0, 0 0 1,0 6 3 6 3 x 5 x 5 Vậy để 0 thỡ ta phải cú 6 3 1,0 x 5 0 x 5 0 x 5. a) (2,0 điểm) 1 1 1 1 2 2 2 2 P 2P 0,5 1.3 3.5 5.7 29.31 1.3 3.5 5.7 29.31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30 2P 1 1 3 3 5 5 7 29 31 31 31 1,5 15 Cõu 2 P . (4,0 31 điểm) b) (2,0 điểm) Sử dụng chức năng tớnh tổng của MTCT 14 1 Nhập vào màn hỡnh  , ấn =, ta được kết quả hiển X 0 2X 1 2X 3 2,0 15 15 thị trờn màn hỡnh là . Vậy P . 31 31 (Học sinh cú thể sử dụng quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh tổng P) a) (2,0 điểm) Nếu n là một số chẵn, tức n 2k,k N thỡ 1,0 n 1 3n 2 2k 1 6k 2 2 2k 1 3k 1 2 Cõu 3  (4,0 Nếu n là một số lẻ, tức n 2k 1,k N thỡ điểm) n 1 3n 2 2k 1 1 6k 3 2 2 k 1 6k 5 2 1,0 Vậy với n N* , n 1 3n 2 là một số chẵn. b) (2,0 điểm)
7. 6x 11y 31 6x 11y 31y 31 6x 42y 31 1,0 6 x 7y 31. Vỡ 6,31 1 nờn suy ra x 7y 31 . 1,0 t y 1,0 x O x' z a) (2,0 điểm) Cõu 4 Vỡ tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy nờn ta cú x Ot t Oy x Oy (6,0 1,0 o điểm) Vỡ gúc xOt là gúc vuụng nờn x Ot 90 Vậy ta cút Oy x Oy x Ot 120o 90o 30o . 1,0 b) (3,0 điểm) Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox. Ta cú x Oy y Ox' 180o y Ox' 180o x Oy 180o 120o 60o 2,0 Tương tự ta cú z Ox'=60o . Vỡ tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy và Oz nờn ta cú 1,0 y Oz y Ox' z Ox' 60o 60o 120o Bổ đề: Một số chớnh phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1. Chứng minh: Xột số nguyờn a bất kỡ. 2 TH1: a3 thỡ a 3 . 0,5 TH2: a chia cho 3 dư 1 hoặc 2 thỡ a 1 3 hoặc a 1 3 . Suy ra 2 2 a 1 a 1 3 hay a 1 3 . Do đú a chia cho 3 dư 1. Quay trở lại bài toỏn ban đầu. Cõu 5 Nếu x, y, z đều khụng chia hết cho 3 thỡ x2 ,y2 ,z2 đều chia 3 dư 1. Khi (2,0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 điểm) đú x y z 3 . Mà x y z 3 nờn x y z là một hợp số. Vậy trong ba số nguyờn tố liờn tiếp x, y, z phải cú ớt nhất một số chia hết cho 3. Do đú bộ số x;y;z chỉ cú thể nhận một trong hai giỏ trị sau 2;3;5 hoặc 3;5;7 . Khi đú ta được hai giỏ trị tương ứng của A 1,0 là 38 hoặc 83, trong đú chỉ cú số 83 là số nguyờn tố. Vậy x;y;z = 3;5;7 . Chỳ ý: Hướng dẫn trờn chỉ đưa ra một cỏch làm, nếu thớ sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ cho điểm tối đa, tương đương. Hết
8. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2014 – 2015 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (5,0 điểm ): 1. Tớnh nhanh: 7 7 5 21 49 8 5 4 3 1 1 1 a) - + . b) ( + - ) ( - - ). 13 15 12 39 91 15 2014 2015 2016 2 3 6 2. So sỏnh: a) 3200 và 2300 b) 7150 và 3775 c) 2016014 và 2016016014 . 2017015 2017017015 Cõu 2 (4,0 điểm): 1 1 1 1 a) Cho A = + + + + . Chứng minh rằng: A < 1. 22 32 42 20152 b) Cho B = 21 + 22 + 23 + + 22016. Chứng minh rằng: Bchia hết cho 21. Cõu 3 (3,0 điểm): Đoàn học sinh của một trường gồm 48 nam và 32 nữ được chia vào cỏc tổ để vệ sinh đường làng ngừ xúm. a) Hỏi cú bao nhiờu cỏch chia tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều cho mỗi tổ. b) Cỏch chia nào để mỗi tổ cú số người trong mỗi tổ là ớt nhất ? Cõu 4 (5,0 điểm): Trờn đường thẳng x'x lấy điểm O tuỳ ý. Vẽ hai tia O yvà O znằm trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ x'x sao cho: xOz = 400, x’Oy = 3.xOz. a) Trong ba tia Ox,Oy,Oz tia nào nằm giữa hai tia cũn lại ? b) Gọi Oz ' là tia phõn giỏc của gúc x’Oy. Tớnh gúc zOz’ ? Cõu 5 (3,0 điểm): a) Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đú chia cho 2737 dư bao nhiờu? b) Trỡnh bày cỏch tớnh giỏ trị của P bằng cỏch sử dụng mỏy tớnh cầm tay Casio. P = 201420152016 . 20142015 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
9. PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014- 2015 MễN: TOÁN 6 ý Điể Cõu Túm tắt lời giải m 7 7 5 21 49 8 7 7 5 7 7 8 Cõu1 1. a) - + = - + 5.0đ 2.0đ 13 15 12 39 91 15 13 15 12 13 13 15 = 7 ( 7 - 5 +8 ) 13 15 12 15 0.5 = 7 (1-5 ) 13 12 7 7 49 = = 13 12 156 0.5 5 4 3 1 1 1 b) ( + - ) ( - - ) 2014 2015 2016 2 3 6 5 4 3 3 2 1 = ( + - ) ( - - ) 2014 2015 2016 6 6 6 0. 5 5 4 3 = ( + - ) 0 = 0 2014 2015 2016 0. 5 2. a. So sỏnh 3200 và 2300 3.0đ Ta cú: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 0.5 mà 8100 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 (2) 0.5 mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 0.5 c. So sỏnh 2016014 và 2016016014 . 2017015 2017017015 Ta cú: 2016014 = 2014 . 1001 = 2014 0.5 2017015 2015 1001 2015 2016016014 = 2014 .1001001 = 2014 2017017015 2015 1001001 2015 Vậy 2016014 = 2016016014 . 0.5 2017015 2017017015 1 1 1 1 Cõu2 a. Chứng minh: A = + + + + 4.0đ 2.0đ 22 32 42 20152 Ta cú: 1 < 1 = 1 - 1 22 1.2 1 2 1 < 1 = 1 - 1 0.5 32 2.3 2 3 1 < 1 = 1 - 1 42 3.4 3 4
10. 1 1 1 1 0.5 20152 2014.2015 2014 2015 1 1 1 1 Vậy: A = + + + + < 22 32 42 20152 1 1 1 1 1 1 - + - + + 0.5 1 2 2 3 2014 2015 1 2014 = 1 1 2015 2015 0.5 b. B = 21 + 22 + 23 + + 22016 2.0đ Ta cú: B = 21 + 22 + 23+ + 22016 = (21 + 22) + (23 + 24) + +(22015+22016) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + + 22015.(1+2) 3 2015 = 3.( 2 + 2 + + 2 ) suy ra B  3 (1) 0.75 Ta cú: B = 21 + 22 + 23+ + 22016 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + (22014 +22015 + 22016) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + + 22014.(1+2+22) 4 2014 = 7 (2 + 2 + + 2 ) suy ra B  7 (2) 0.75 Mà 3 và 7 là 2 số nguyờn tố cựng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B  21 0.5 Cõu3 a) Tỡm ƯCLN (48; 32) = 16. 3.0đ 1,5đ 0.5 ƯC (16) = {1; 2; 4; 8; 16} Loại trường hợp là 1 tổ. 0.5 Vậy đội cỳ thể cỳ 4 cỏch chia tổ sau: 2 tổ, 4 tổ, 8 tổ hoặc 16 tổ. 0.5 b) Số tổ phải nhiều nhất để số người trong mỗi tổ là ớt nhất. 1,5đ 0.5 Vậy phải chia thành 16 tổ. Mỗi tổ cú số nam là: 48 : 16 = 3 (nam) 0.5 Mỗi tổ cú số nữ là: 32 : 18 = 2 (nữ) Vậy mỗi tổ cú ớt nhất là: 3 + 2 = 5 (người). 0.5 Cõu4 a. 5.0đ 3.0đ z, y z 0.5 x, 400 x O
11. a. Theo bài ra: x 'Oy = 3. x Oz nờn: x 'Oy = 3.400 = 1200 0.5 0 Hai gúc x Oy và x 'Oy là 2 gúc kề bự nờn x Oy = 180 - x 'Oy 0.5 = 1800 -1200 = 600 0.5 Hai tia Oy, Oz nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x 0.5 lại cú x Oz nhỏ hơn x Oy nờn tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy. 0.5 b. Ta cú: x Oz + z Oy = x Oy 0.5 2.0đ 0 0 0 hay z Oy = x Oy - x Oz = 60 - 40 = 20 0.5 1 1 Mà yOz ' = . x 'Oy = . 1200 = 600 (Oz, là tia phõn giỏc x 'Oy ) 2 2 0.5 Vậy: z Oz ' = yOz ' + yOz = 600 + 200 = 800 0,5 Cõu5 a) Gọi số đó cho là A. Theo bài ra ta cú: 3.0đ 1đ A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 ( với a,b,c N ) Mặt khỏc: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39 0.25 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. 0.25 Nhưng 7,17 và 23 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn: (A + 39)  7.17.23 nờn (A+39)  2737 0.25 Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nờn 2698 là số dư của phộp chia số A cho 2737 0.25 b) P = 201420152016 . 20142015 2đ = (201.109 420.106 152.103 16).20142015 0.5 = 20142015.201.109 20142015.420.106 20142015.152.103 20142015.16 0.5 = 4 0 4 8 5 4 5 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 8 4 5 9 6 4 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 + 3 0 6 1 5 8 6 2 8 0 0 0 0 0.5 + 3 2 2 2 7 2 2 4 0 = 4057007723208552240 0.5 Ghi chỳ: - Bài hỡnh học nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm. - Mọi cỏch giải khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết
12. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2015 – 2016 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1: (4,0 điểm) 1. Thực hiện phộp tớnh 5 4 1 1 a) A 2 1 : 10 9 6 9 12 2 12 12 10 10 b) B = 2 .13 2 .65 + 3 .11 3 .5 210.104 39.24 1 1 1 1 1 1 c) C 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2016 Cõu 2: (5,0 điểm) 102001 1 102002 1 1. So sỏnh cỏc biểu thức sau: A= và B = . 102002 1 102003 1 2. Tỡm cỏc chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. 3. Cho a và b là hai số nguyờn dương và khụng chia hết cho nhau. Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tỡm hai số a và b. Cõu 3: (6,0 điểm) 1. Tỡm số tự nhiờn x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. 2. Chứng minh rằng: 12n 1 5 15 a) D = là phân số tối giản. b) E = 16 2 chia hết cho 33. 30n 2 1 1 1 1 1 1 1 c) F = 2 4 8 16 32 64 3 Cõu 4: (3,0 điểm) Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trờn đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm. a) Tớnh BC. b) Giả sử cho gúc O AB 80o , tớnh gúc O AC . c) Trờn đường thẳng d lấy thờm 2015 điểm phõn biệt (khỏc A, B, C). Hỏi cú bao nhiờu gúc cú đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d. Cõu 5: (2,0 điểm) Giải bằng mỏy tớnh cầm tay a) Cho a = 2419580247 và b = 3802197531. Tỡm ƯCLN(a;b), BCNN(a, b) b) Tỡm số dư khi chia 20122013201420152016 cho 2016 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
13. PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015- 2016 MễN: TOÁN 6 Cõu ý Túm tắt lời giải Điểm 5 4 1 1 A 2 1 : 10 9 6 9 12 2 0,5 17 13 121 19 A : 1a 6 9 12 2 0,5 1,5đ 77 7 22 A : 18 12 3 0,5 22 Vậy C 3 212.13 212.65 310.11 310.5 B = + Cõu1 1.b 210.104 39.24 4,0đ 1.5đ 212.78 310.16 0,75 = + 10 9 2 .104 3 .16 0,75 = 3 + 3 = 6 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2016 2 1 3 1 4 1 2014 1 2015 1 2016 1 1.2 2 3 4 2014 2015 2016 0,5 1đ 1.2.3 2013.2014.2015 1 2.3.4.5 2014.2015.2016 2016 0,5 1 Vậy A 2016 102002 10 9 0,75 Ta cú: 10A = = 1 + (1) 102002 1 102002 1 1.b 102003 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 2,0 đ 102003 1 102003 1 0,75 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy : 2002 2003 10A > 10B A > B Cõu 2 10 1 10 1 0,5 5,0đ Do B =x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nờn y = 1. Ta cú B = x1831 0,5 2. Vỡ B = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 - 1  9 x1830  9 0,25 1,0 đ x + 1 + 8 + 3 + 0  9 x + 3  9, mà x là chữ số nờn x = 6 0,25 Vậy x = 6; y = 1 3 ƯCLN a,b 18 nờn a = 18x; b = 18y và x, y nguyờn tố cựng nhau 0,25 2,0 đ +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 0,25 18x.18y = 18.630 xy = 630 : 18 = 35 0,25 +) Vỡ a, b là hai số nguyờn dương và khụng chia hết cho nhau nờn x, y cũng 0,25
14. là hai số nguyờn dương và khụng chia hết cho nhau: x.y = 35 = 5.7 x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5 0,25 Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90 0,25 (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . . . . . + x + 100 = 5750 0,5 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 0,5 5750 1 2,0 0,5 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 0,5 5050 100 x = 700 x = 7 12n 1 2.a Chứng tỏ rằng là phân số tối giản 1,5đ 30n 2 Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có Cõu3 0,5 5(12n+1)-2(30n+2) =1 chia hết cho d 6 đ 0,5 vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 12n 1 do đó là phân số tối giản 30n 2 0,5 5 15 2.b Chứng minh: S = 16 2 chia hết cho 33 1,5đ Có S = 165 215 = (24 )5 215 0,5 = 220 215 = 215.25 215 0,5 15 5 15 = 2 (2 1) = 2 .33 S chia hết cho 33 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt A= 0,25 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A=1 0,25 2.c 2 22 23 24 25 1,0đ 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 0,25 26 26 1 3A < 1 A < 0,25 3
15. O 0,25 d 2 cm C A 6 cm B Hỡnh 1 O 0,25 d 2 cm C A 6 cm B Hỡnh 2 a. Tớnh BC. 1 đ Vỡ A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nờn xảy ra 2 trường hợp 0,25 TH1: C nằm giữa A và B (hỡnh 1),0 AB = AC + CB BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm 0,25 Cõu4 TH2: A nằm giữa B và C (hỡnh 2) 0,25 3.đ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm 0,25 b. b) Tớnh O AC . 1,0đ TH1: C nằm giữa A và B (hỡnh 1) 0,25 Tia AC và tia AB trựng nhau O AC O AB 80o TH2: A nằm giữa B và C (hỡnh 2) 0,25 Tia AC và tia AB đối nhau O AC; O AB là hai gúc kề bự O AC O AB 180o Suy ra: O AC 180o O AB 180o 80o 100o 0,25 Vậy O AC 80o hoặc O AC 100o 0,25 +) Trờn đường thẳng d cú 2018 điểm phõn biệt +) Cứ 2 điểm trờn đường thẳng d nối với điểm O được một gúc đỉnh O. Cú bao nhiờu đoạn thẳng trờn đường thẳng d thỡ cú bấy nhiờu gúc đỉnh O. c Số gúc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỡ trờn đường thẳng d là : 0,5 0,5đ 2018.2017 2035153 (gúc) 2 Vậy cú 2035153 gúc đỉnh O
16. 2419580247 7 Ghi vào màn hỡnh: được kết quả phõn sụ tối giản ; 3802197531 11 0,5 a. Suy ra ƯCLN(A, B) = 2419580247 ữ 7 = 345.654.321; 1đ BCNN(A, B) = 2419580247 x 11 = 26.615.382.717. 0,5 Cõu 5 2 điểm Ta cú 20122013 chia 2016 được thương 9981 dư 317 3172014 chia 2016 được thương 1573 dư 846 8462015 chia 2016 được thương 4187 dư 863 0,5 b. 8632016 chia 2016 được thương 4187 dư 863 1đ 8632016 chia 2016 được thương 428 dư 1520 kết quả là 1520 Nờu chia số lớn quỏ 201220132014 cỏc bước làm ngắn nhưng kết quả cú thể sai do bộ nhớ của mỏy tớnh khụng đủ( chi chia tối đa 9 chữa số) 0,5 Ghi chỳ: - Bài hỡnh học nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm. - Mọi cỏch giải khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết
17. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2016 – 2017 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (5,0 điểm). Thực hiện phộp tớnh: 2 5 1 3 28.43 28.5 28.21 1 2 22 23 22017 a) : 5 .( 3) 2 ; b) ; c) 3 6 18 5 5.56 5.24 5.63 22019 2 Cõu 2 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng: 102017 + 8 chia hết cho 72; b) Cho p là số nguyờn tố. Hỏi p + 7 là số nguyờn tố hay hợp số? c) Tỡm tất cả cỏc chữ số a, b, c thỏa món: abc cba 6b3 . Cõu 3 (5,0 điểm). 2 1 1 a) Tỡm x biết: x 0 3 16 n 2 b) Cho A = ( n Z). Tỡm n để giỏ trị của A là một số nguyờn. n 3 c) Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng cú 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thỡ vừa đủ ( khụng cú hàng nào thiếu, khụng cú ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị cú bao nhiờu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000? Cõu 4 (5,0 điểm). Cho gúc xBy = 550. Trờn cỏc tia Bx; By lần lượt lấy cỏc điểm A; C ( A B; C B). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a. Tớnh AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tớnh số đo của gúc DBC. c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz = 900. Tớnh số đo gúc ABz. Cõu 5 (1,0 điểm). Sử dụng mỏy tớnh cầm tay 3 3 5 6 3 .5 Viết quy trỡnh bấm phớm tỡm 2,5% của: A= 5 14 6 (21 1,25) : 2,5 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
18. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2016 - 2017 MễN: TOÁN Chỳ ý: HS trỡnh bày theo cỏch khỏc mà đỳng thỡ giỏm khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối cũn sai sút thỡ giỏm khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. Cõu Đỏp ỏn Điểm a. (1,5 điểm) 2 5 1 : 5 .( 3) 2 3 6 18 2 1 1 = 3 6 2 0,5 = 4 1 3 6 0,5 2 1 = 6 3 0,5 b. (2,0 điểm) 3 28.43 28.5 28.21 = 5 5.56 5.24 5.63 3 28 43 5 1 .( ) 0,5 5 5 56 24 3 3 28 129 35 56 .( ) 0,5 5 5 168 168 168 3 28 108 Cõu 1 . 0,5 (5,0điểm) 5 5 168 3 18 5 5 3 0,5 c. ( 1,5 điểm) Đặt A = 1+2+22+23 + +22017 2A = 2+22+23 + +22018 0,5 2A – A = 22018 - 1 2018 0,25 Hay A = 2 - 1 0,25 2018 1 2 22 23 22017 2 1 1 Do đú: = = 0,5 22019 2 2(22018 1) 2 a. (1,5 điểm) *) Chứng minh 102017 + 8 chia hết cho 8 102017 = 103.102014 = 1000.102014 0,25 2014 2017 10008 1000.10 8 10 8 0,25 2017 10 88 (vỡ cả 2 số hạng đều chia hết cho 8) 0,25 *) Chứng minh 102017 + 8 chia hết cho 9 2017 10 + 8 = 10 0 + 8 = 10 08  9(vỡ cú tổng cỏc chữ số là 9, 0,25
19. chia hết cho 9) 0,25 Ta cú 102017 + 8 chia hết cho cả 8 và 9, mà (8,9) = 1 2017 Vậy 10 + 8  72 0,25 b. (1,0 điểm) Cõu 2 + Nếu p = 2 p + 7 = 9 là hợp số. 0,25 (4,0điểm) + Nếu p ≠ 2 p là số nguyờn tố lẻ, p > 2. 0,25 p + 7 là số chẵn. 0,25 Mà p + 7 > 2 p + 7 là hợp số. Vậy nếu p là số nguyờn tố thỡ p + 7 là hợp số. 0,25 c. (1,5 điểm) Điều kiện a 0,c 0 Vỡ abc cba 6b3 100a 10b c 100c 10b a 6b3 0,25 0,25 99 a c 6b3 6b399 b 9 a c 693:99 7 a 7 c 0,25 Do 0 a 9 0 c 7 9 c 1 hoặc c 2 (vỡ c 0 ) 0,25 Với c = 1 suy ra a = 8 Với c = 2 suy ra a = 9 0,25 Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 0,25 a. (1,5 điểm) 2 1 1 x 0 3 16 2 1 1 x 0,25 3 16 1 1 1 1 x hoặc x 0,5 3 4 3 4 1 1 1 1 x hoặc x 0,25 4 3 4 3 7 1 Cõu 3 x hoặc x (5,0điểm) 12 12 7 1 Vậy: x ; x 12 12 0,5 b. (1,5 điểm) n 2 (n 3) 5 5 A = 1 ( n ≠ -3) n 3 n 3 n 3 0,5 Với n Z để A Z thỡ n + 3 Ư(5) n + 3  -1; 1; -5; 5 0,5 n  -4; -2; -8; 2 0,25 Đối chiếu với điều kiện, ta được: n  -4; -2; -8; 2 0,25 c. (2,0 điểm) Gọi số người của đơn vị bộ đội là x ( x N* , x < 1000 ). Ta cú: 0,25 x – 15  20; x – 15  25; x – 15  30 suy ra x - 15 là BC(20, 25, 30) ; x  41 và x -15 < 985 0,5 BCNN(20, 25, 30) = 300
20. BC(20, 25, 30) = {0; 300; 600; 1200; } 0,5 suy ra x – 15 {0; 300; 600; 1200; } x { 15; 315; 615; 1215; } 0,5 Mà x  41. Do đú x = 615. Vậy đơn vị bộ đội cú 615 người. 0,25 a. (1,5 điểm) Hỡnh vẽ : 0,5 Cõu 4 x (5,0điểm) A z D B C y Vỡ điểm D thuộc đoạn thẳng AC nờn điểm D nằm giữa hai điểm A và C 0,5 => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm 0,5 b) (1,5 điểm) Vỡ điểm D nằm giữa hai điểm A và C nờn tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 0,5 ta cú : ABC ABD D BC 0,5 => D BC ABC ABD = 550 – 300 = 250 0,5 c) (2,0 điểm) Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia BA nờn tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tớnh được: ABz 900 ABD = 900 300 600 1,0 - Trường hợp 2: Tia Bz và BD nằm về cựng nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia BA nờn tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tớnh được: ABz, = 900 + ABD = 900 300 1200 1,0 Viết quy trỡnh ấn phớm đỳng: 0,5 Cõu 5 Kết quả: A = 2,5 2,5% .A = 0,0625 0,5 (1,0điểm) ( Lưu ý: Nếu HS viết quy trỡnh bấm phớm sai hoặc chưa viết mà ghi kết quả đỳng thỡ vẫn cho 0,5 điểm) Hết
21. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2017 – 2018 MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (5,0 điểm). Tớnh cỏc giỏ trị của biểu thức. a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 1 3 3 4 4 4 4.(3 ) 4 1 b) B = 1 . 3 7 53 : 17 19 21 . 1 3 3 5 5 5 5 3 5 3 7 53 17 19 21 1 1 1 1 1 c) C = 1.2 2.3 3.4 4.5 2017.2018 Cõu 2 (4,0 điểm). a) 32x = 81 ; b) 52x-3 – 2.52 = 52.3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 c) Tỡm x biết: 12 20 30 42 56 72 9 Cõu 3 (5,0 điểm). a) Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất sao cho a chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. b) Người ta viết cỏc số tự nhiờn liờn tiếp bắt đầu từ số 1 đến số 2018 liền nhau thành một số tự nhiờn A. Hỏi số tự nhiờn A cú bao nhiờu chữ số . 3 3 3 3 3 c) Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14 Cõu 4 (4,5 điểm) Cho ABC cú BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm. a) Tớnh độ dài BM b) Cho biết B AM 800 , B AC 600 . Tớnh C AM . c) Vẽ cỏc tia Ax, Ay lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BAC và CAM. Tớnh x Ay . d) Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tớnh độ dài BK. Cõu 5 (1,5 điểm). a. Tỡm hai chữ số tận cựng của cỏc số sau: 2100; 72018 b.Tỡm bốn chữ số tận cựng của số sau: 52020 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
22. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2017 - 2018 MễN: TOÁN Chỳ ý: HS trỡnh bày theo cỏch khỏc mà đỳng thỡ giỏm khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối cũn sai sút thỡ giỏm khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. Cõu Đỏp ỏn Điểm a) (2,0 điểm) S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) cú 50 cặp. 1,0 = 50 . 100 = 5050 1,0 b) (1,5 điểm) 1 3 3 4 4 4 (3 ) 4 6 4 Ta cú : A = . . 3 7 53 : 17 19 21 1 3 3 5 5 5 5 1 3 5 0,5 3 7 53 17 19 21 Cõu 1 6 4 4 6 4.5 = - . : . 6 (5,0điểm) 5 1 5 5 4 1,0 c) (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 0,5 Ta cú : C = 1 - + - + - + + 2 2 3 3 4 2017 2018 1 2017 1,0 = 1 2018 2018 a) (1,0 điểm) => 32x = 34 0,5 => 2x = 4 => x = 2 0,5 b) (1,5 điểm) 52x: 53 = 52.3 + 2.52 0,5 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 0,5 52x = 56 => 2x = 6 => x=3 0,5 c) (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 16 (x 2) 12 20 30 42 56 72 9 Cõu 2 1 1 1 1 1 1 16 (4,0điểm) (x 2) 0,5 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 (x 2) 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 16 (x 2) 3 9 9 0,5 2 16 (x 2) 9 9 x 2 8 x 10 0,5 Vậy x = 10 a) (2,0 điểm)
23. a 120.q1 58 Ta cú (q1, q2 N ) 0,5 a 135.q2 88 9a 1080q1 522 1 Cõu 3 8a 1080.q2 704 2 0,5 (5,0điểm) Từ (2), ta cú: 9.a = 1080.q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp (1) với (3), ta được a = 1080.q – 182 0,5 Vỡ a là số tự nhiờn nhỏ nhất, cho nờn q phải nhỏ nhất => q = 1 => a = 898 0,5 b) (2,0 điểm) Cú 9 số cú 1 chữ số từ 1 đến 9 Cú 90 số cú 2 chữ số từ 10 đến 99 Cú 900 số cú 3 chữ số từ 100 đến 999 1.0 Cỏc số cú 4 chữ số là từ 1000 đến 2018 cú: 2018 - 1000 + 1 = 1019 số. 0,5 Số chữ số của số tự nhiờn A là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1019.4 = 6965 (chữ số ) 0,5 c) (1,0 điểm) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 0,5 S = => S > 1 (1) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = => S 1 C nằm giữa B và M. 0,5 ->BM = BC + CM = 8 (cm) 0,5 b) (1,0 điểm) C nằm giữa B và M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM 0,5 C AM B AM B AC 200 0,5 c) (1,0 điểm) 1 1 Cú x Ay x AC C Ay B AC C AM 2 2 0,5 1 1 1 = (B AC C AM ) = B AM = .800 = 400 2 2 2 0,5 d) (1,0 điểm) TH1: Nếu K thuộc tia CM -> C nằm giữa B và K ->BK = BC + CK = 6 (cm) 0,5 TH2: Nếu K thuộc tia CB -> K nằm giữa B và C
24. -> BK = BC - CK = 4(cm) 0,5 a) (1,0 điểm) * Tỡm hai chữ số tận cựng của 2100 0,5 Cõu 5 2100 = (210)10= (1024)10 = (10242)5 = ( 76)5 = 76. (1,5điểm) Vậy hai chữ số tận cựng của 2100 là 76. * Tỡm hai chữ số tận cựng của 72018. 72018= 72016. 72 = (74)504.49 = ( 01)504. 49 = ( 01).49 = 49 0,5 Vậy 72018 cú hai số tận cựng là 49 b) (0,5 điểm) Tỡm 4 số tận cựng của 52020. Ta cú : 52020 = (54)505 = 0625505 = 0625 0,5 Hết