Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 1 - Trường THCS Chính Lý (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 1 - Trường THCS Chính Lý (Có đáp án)

1. Đề 1 Trường THCS Chính Lý MễN: TOÁN - LỚP 8 THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Đề bài Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc . Chứng minh rằng a b c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) 4 3 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2a 3a 4a 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. 1
2. Đề 1 Trường THCS Chính Lý hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A=: 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5đ (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ KL b, (1 điểm) 2 5 5 2 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25đ 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5đ 9 3 27 27 KL c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; 0,5đ Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân 2
3. Đề 1 Trường THCS Chính Lý x số cần tìm là (x là số nguyên khác -11) x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 0,5đ x 15 (x khác -15) x x 15 Theo bài ra ta có phương trình = 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 Từ đó tìm được phân số 0,5đ 6 KL Bài 4 (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5đ Vì a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nên (a 2 2)(a 1) 2 0a do đó 0,5đ (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) B M N A a,(1 điểm) D I C Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 3
4. Đề 1 Trường THCS Chính Lý 8 3 1 4 3 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5đ Tính được AI = cm 3 Bài 6 (5 điểm) A B O M N a, (1,5 điểm) D C OM OD ON OC Lập luận để có , 0,5đ AB BD AB AC OD OC Lập luận để có 0,5đ DB AC OM ON OM = ON 0,5đ AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) 0,5đ AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON.( ) 1 0,5đ AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON).( ) 2 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) 4
5. Đề 1 Trường THCS Chính Lý 5