Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Giao Thủy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Giao Thủy (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (5,0 điểm) 4x3 8x2 3x 6 Cho biểu thức: A 2x2 3x 2 a. Rút gọn A. b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (3,0 điểm) a. Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn. x 1 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = với x là số nguyên. x 2 Bài 3 (3,0 điểm) x2 1 x 5 Giải phương trình: . x x2 1 2 Bài 4 (3,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a. 5x2 + y2 = 17 + 2xy. b. x 2 x 1 3 (y 2)2 . Bài 5 (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB MD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H. a. Chứng minh: KF // EH. b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy. c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF . Hết Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (5,0điểm) Rút gọn A a) - Phân tích được 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = (x - 2)(4x2 + 3) 1,0 (3,0điểm) - Phân tích được 2x2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) 1,0 4x2 3 - Rút gọn được kết quả A 1,0 2x 1 Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên b) - Tìm ĐKXĐ: (2,0điểm) 1 0,25 x ; x 2 2 4x2 3 4 A 2x 1 1,0 2x 1 2x 1 -Lập luận để A có giá trị nguyên x Z và 2x + 1 là ước lẻ của 4 0,5 - Tìm được x = 0; -1 0,25 Bài 2 (3,0điểm) Vì n chẵn nên n = 2k (k Z) Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k 0,5 = 8k3 + 4024k a) = 8k3 - 8k + 4032k 0,5 (1,5 điểm) = 8k(k2 - 1) + 4032k 0,25 = 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k và lập luận suy ra điều phải chứng minh 0,25 b) x 1 Nhận xét : B = với x 2 mà x 2 > 0 với mọi x 2 nên: (1,5 điểm) x 2 Nếu x + 1 0 x > -1 thì B > 0 Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1 Do x là số nguyên, x 2 , x > -1 Nên ta xét các trường hợp sau 1 x = 0 thì B = (1) 2 0,5 x = 1 thì B = 2 (2) x 1 x > 2 thì B = x 2 x 1 3 Với x > 2 ta có B = = 1 x 2 x 2 3 0,25 B lớn nhất khi lớn nhất x 2 mà 3 > 0 và x > 2 x - 2 > 0
3. 3 nên: lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên x - 2 = 1 x 2 x = 3 B = 4 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3 0,25 Bài 3 (3,0 điểm) ĐKXĐ: x 0 0,25 x2 1 x 1 Đặt y (y 0) Khi đó ta có phương trình x x2 1 y 0,5 1 5 y (2) y 2 1 Giải (2) tìm được y = 2 (tmđk); y (tmđk) 0,5 2 x2 1 Với y = 2 2 . Tìm được x = 1 (tmđk) 0,75 x 1 x2 1 1 Với y . Lập luận chứng tỏ phương trình này vô nghiệm 0,75 2 x 2 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 0,25 Bài 4 (3,0 điểm) a) 17 17 5x2 y2 17 2xy (x y)2 4x2 17 x2 0 x2 0,5 (1,5 điểm) 4 4 Do x nguyên nên x2 0;1;4 0,25 + x2 = 0 (x - y)2 = 17 (loại) + x2 = 1 (x - y)2 = 13 (loại) 0,25 + x2 = 4 (x - y)2 = 1 Với x = 2 thì (2 - y)2 = 1 tìm được y = 1 ; y = 3 0,25 Với x = - 2 thì (- 2 - y)2 = 1 tìm được y = -1 ; y = -3 Vậy các cặp số nguyên (x; y) là (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) 0,25 b) Chứng tỏ được x 2 x 1 3 với mọi x 0,25 (1,5 điểm) Dấu bằng xảy ra -2 x 1 2 Chứng tỏ được 3 (y 2) 3 với mọi y 0,25 2 Do đó x 2 x 1 3 (y 2) 3 2 3 (y 2) 3 tìm được y = - 2 x 2 x 1 3 khi -2 x 1 mà x Z 0,75 x = -2; -1; 0; 1 Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2) 0,25 Bài 5 (6,0 điểm) Hình vẽ
4. P A K B I O E M F N Q G D H C a, Chứng minh: KF // EH (2,0 điểm) BK MF Chứng minh được: 0,5 AK ME MF BF BF Chứng minh được: (hệ quả định lý Ta - lét) 0,5 ME DE FC BK BF Suy ra KF // AC (Định lý Ta - lét đảo) 0,25 AK FC Chứng minh tương tự ta có EH // AC 0,5 Kết luận KF // EH 0,25 b, Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy (2,0điểm) Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD OK QE 0,75 Chứng minh được 1 OF QH Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P’. 1,0 Chứng minh được P và P’ trùng nhau Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy 0,25 c, Chứng minh: S = S (2,0 điểm) MKAE MHCF Kẻ EG và FI vuông góc với HK, I và G thuộc HK 0,5 Chỉ ra được : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI MK KB Chứng minh được: 0,25 MH HD MK MF Suy ra 0,25 MH ME MF FI Chứng minh được: 0,25 ME EG MK FI Suy ra , suy ra MK.EG = MH.FI 0,5 MH EG Suy ra điều phải chứng minh 0,25 Chú ý: - Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu bài hình phần trên (a) sai thì vẫn chấm điểm phần dưới (b, ).